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1、中点弦问题专题练习一选择题（共8小题）1已知椭圆，以及椭圆内一点P（4，2），则以P为中点的弦所在直线的斜率为（）ABC2D22已知A（1，2）为椭圆内一点，则以A为中点的椭圆的弦所在的直线方程为（）Ax+2y+4=0Bx+2y4=0C2x+y+4=0D2x+y4=03AB是椭圆（ab0）的任意一条与x轴不垂直的弦，O是椭圆的中心，e为椭圆的离心率，M为AB的中点，则KABKOM的值为（）Ae1B1eCe21D1e24椭圆4x2+9y2=144内有一点P（3，2）过点P的弦恰好以P为中点，那么这弦所在直线的方程为（）A3x+2y12=0B2x+3y12=0C4x+9y144=0D9x+4y14
2、4=05若椭圆的弦中点（4，2），则此弦所在直线的斜率是（）A2B2CD6已知椭圆的一条弦所在直线方程是xy+3=0，弦的中点坐标是（2，1），则椭圆的离心率是（）ABCD7直线y=x+1被椭圆x2+2y2=4所截得的弦的中点坐标是（）A（）B（，）C（，）D（，）8以椭圆内一点M（1，1）为中点的弦所在的直线方程为（）A4x3y3=0Bx4y+3=0C4x+y5=0Dx+4y5=0二填空题（共9小题）9过椭圆内一点M（2，0）引椭圆的动弦AB，则弦AB的中点N的轨迹方程是_10已知点（1，1）是椭圆某条弦的中点，则此弦所在的直线方程为：_11椭圆4x2+9y2=144内有一点P（3，2）过点
3、P的弦恰好以P为中点，那么这弦所在直线的斜率为_，直线方程为_12椭圆4x2+9y2=144内有一点P（3，2）过点P的弦恰好以P为中点，那么这弦所在直线的方程为_13过椭圆=1内一定点（1，0）作弦，则弦中点的轨迹方程为_14设AB是椭圆的不垂直于对称轴的弦，M为AB的中点，O为坐标原点，则kABkOM=_15以椭圆内的点M（1，1）为中点的弦所在直线方程为_16在椭圆+=1内以点P（2，1）为中点的弦所在的直线方程为_17直线y=x+2被椭圆x2+2y2=4截得的线段的中点坐标是_三解答题（共13小题）18求以坐标轴为对称轴，一焦点为且截直线y=3x2所得弦的中点的横坐标为的椭圆方程19已
4、知M（4，2）是直线l被椭圆x2+4y2=36所截的弦AB的中点，其直线l的方程20已知一直线与椭圆4x2+9y2=36相交于A、B两点，弦AB的中点坐标为M（1，1），求直线AB的方程21已知椭圆，求以点P（2，1）为中点的弦AB所在的直线方程22已知椭圆与双曲线2x22y2=1共焦点，且过（）（1）求椭圆的标准方程（2）求斜率为2的一组平行弦的中点轨迹方程23直线l：x2y4=0与椭圆x2+my2=16相交于A、B两点，弦AB的中点为P（2，1）（1）求m的值；（2）设椭圆的中心为O，求AOB的面积24AB是椭圆中不平行于对称轴的一条弦，M是AB的中点，O是椭圆的中心，求证：kABkOM为
5、定值25已知椭圆C：+=1和点P（1，2），直线l经过点P并与椭圆C交于A、B两点，求当l的倾斜角变化时，弦中点的轨迹方程26已知椭圆（1）求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；（2）过A（2，1）的直线l与椭圆相交，求l被截得的弦的中点轨迹方程；（3）过点P（）且被P点平分的弦所在的直线方程27已知椭圆（1）求过点且被点P平分的弦所在直线的方程；（2）求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；（3）过点A（2，1）引直线与椭圆交于B、C两点，求截得的弦BC中点的轨迹方程28已知某椭圆的焦点是F1（4，0）、F2（4，0），过点F2并垂直于x轴的直线与椭圆的一个交点为B，且|F1B|+|F2B|=10，椭
6、圆上不同的两点A（x1，y1）、C（x2，y2）满足条件：|F2A|、|F2B|、|F2C|成等差数列（）求该椭圆的方程；（）求弦AC中点的横坐标29（2010永春县一模）过椭圆内一点M（1，1）的弦AB（1）若点M恰为弦AB的中点，求直线AB的方程；（2）求过点M的弦的中点的轨迹方程30已知椭圆C方程为，直线与椭圆C交于A、B两点，点，（1）求弦AB中点M的轨迹方程；（2）设直线PA、PB斜率分别为k1、k2，求证：k1+k2为定值2014年1月panpan781104的高中数学组卷参考答案与试题解析一选择题（共8小题）1已知椭圆，以及椭圆内一点P（4，2），则以P为中点的弦所在直线的斜率为
7、（）ABC2D2考点：椭圆的简单性质专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：利用中点坐标公式、斜率计算公式、“点差法”即可得出解答：解：设以点P为中点的弦所在直线与椭圆相交于点A（x1，y1），B（x2，y2），斜率为k则，两式相减得，又x1+x2=8，y1+y2=4，代入得，解得k=故选A点评：熟练掌握中点坐标公式、斜率计算公式、“点差法”是解题的关键2已知A（1，2）为椭圆内一点，则以A为中点的椭圆的弦所在的直线方程为（）Ax+2y+4=0Bx+2y4=0C2x+y+4=0D2x+y4=0考点：直线的一般式方程专题：计算题分析：首先根据题意设出直线的方程，再联立直线与椭圆的方程，然后结合题意
8、与跟与系数的关系得到答案解答：解：设直线的方程为y2=k（x1），联立直线与椭圆的方程代入可得：（4+k2）x2+2k（2k）x+k24k12=0因为A为椭圆的弦的中点，所以，解得k=2，所以直线的方程为2x+y4=0故选D点评：解决此类问题的关键是熟练掌握直线与椭圆的位置关系的判定，以及掌握弦中点与中点弦问题3AB是椭圆（ab0）的任意一条与x轴不垂直的弦，O是椭圆的中心，e为椭圆的离心率，M为AB的中点，则KABKOM的值为（）Ae1B1eCe21D1e2考点：椭圆的简单性质专题：综合题分析：设出弦AB所在的直线方程，与椭圆方程联立消去y，根据韦达定理求得x1+x2，的表达式，根据直线方程
9、求得y1+y2的表达式，进而根据点M为AB的中点，表示出M的横坐标和纵坐标，求得直线OM的斜率，进而代入kABkOM中求得结果解答：解：设直线为：y=kx+c 联立椭圆和直线 消去y得b2x2+a2（kx+c）2a2b2=0，即 （b2+k2a2）x2+2a2kcx+a2（c2b2）=0 所以：x1+x2=所以，M点的横坐标为：Mx=（x1+x2）=又：y1=kx1+c y2=kx2+c 所以y1+y2=k（x1+x2）+2c=所以，点M的纵坐标My=（y1+y2）=所以：Kom=所以：kABkOM=k（）=e21点评：本题主要考查了椭圆的应用涉及弦长问题，利用弦长公式及韦达定理求解，涉及弦的
10、中点及中点弦问题，利用差分法较为简便4椭圆4x2+9y2=144内有一点P（3，2）过点P的弦恰好以P为中点，那么这弦所在直线的方程为（）A3x+2y12=0B2x+3y12=0C4x+9y144=0D9x+4y144=0考点：直线与圆锥曲线的关系；直线的一般式方程专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：利用平方差法：设弦的端点为A（x1，y1），B（x2，y2），代入椭圆方程，两式作差，利用中点坐标公式及斜率公式可求得直线斜率，再用点斜式即可求得直线方程解答：解：设弦的端点为A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=6，y1+y2=4，把A、B坐标代入椭圆方程得，两式相减得，4（）+9
11、（y22）=0，即4（x1+x2）（x1x2）+9（y1+y2）（y1y2）=0，所以=，即kAB=，所以这弦所在直线方程为：y2=（x3），即2x+3y12=0故选B点评：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系、直线方程的求解，涉及弦中点问题常运用平方差法，应熟练掌握5若椭圆的弦中点（4，2），则此弦所在直线的斜率是（）A2B2CD考点：直线与圆锥曲线的关系；直线的斜率专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：设此弦所在直线与椭圆相交于点A（x1，y1），B（x2，y2）利用中点坐标公式和“点差法”即可得出解答：解：设此弦所在直线与椭圆相交于点A（x1，y1），B（x2，y2）则，两式相减得=0，代入
12、上式可得，解得kAB=故选D点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、中点坐标公式和“点差法”等基础知识与基本技能方法，属于中档题6已知椭圆的一条弦所在直线方程是xy+3=0，弦的中点坐标是（2，1），则椭圆的离心率是（）ABCD考点：椭圆的简单性质专题：计算题分析：设出以M为中点的弦的两个端点的坐标，代入椭圆的方程相减，把中点公式代入，可得弦的斜率与a，b的关系式，从而求得椭圆的离心率解答：解：显然M（2，1）在椭圆内，设直线与椭圆的交点A（x1，y1），B（x2，y2），则 +=1，+=1，相减得：=0，整理得：k=1，又弦的中点坐标是（2，1），则椭圆的离心率是e=故选B点评：本题考查椭圆的标准方程和简单性质，中点公式及斜率公式的应用，以及直线方程，属于基础题本题解题中直接利用点差法巧妙用上了中点坐标公式与弦的斜率，方法极为巧妙，此方法即为通常所说的点差法，研究弦中点问题时经常采用此方法7直线y=x+1被椭圆x2+2y2=4所截得的弦的中点坐标是（）A（）B（，）C（，）D（，）考点：直线与圆锥曲线的关系专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：将直线y=x+1代入椭圆x2+2y2=4中，利用韦达定理及中点坐标公式，即可求得结论解答：解：将直线y=x+1代入椭圆x2+2y2=4中，得x2+2（x+1）2=4 3x2+4x2=0
