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1、武威六中 2019-2020 学年度第一学期第三次学段考试 高二理科数学试卷高二理科数学试卷 一、单选题一、单选题（共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分） 1若命题“”为假， “”为假，则（ ） ppq A真真 B假假 C真假 D假真 pqpqpqpq 2已知空间向量，且，则（ ） = (3,1,1) = (, 3,0)x ABC1D3 31 3某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ） ABCD 4 2 38 2 8 2 3 4 2 4设，为两条不重合的直线，为两个不重合的平面， mn m 既不在内，也不在内，则下列结论正确的是（ ） n A若，则B若，则 / /m/ /n/
2、mnm m C若，则D若，则 mnmn/mn/ /n/ /m 5是方程表示焦点在 y 轴上的椭圆的( ) mn0 22 mx1ny A充分不必要条件 B充要条件 C必要不充分条件 D既不充分也不必要条 件 6已知焦点在轴上的椭圆的离心率为，则（ ） x 22 1 3 xy m 1 2m A4BC6D2 6 7已知命题：关于的函数 在 上是增函数，命题：函数 p x 2 34yxax1)q 为减函数，若为真命题，则实数的取值范围是 ( ) 21 x ya pq ABCD 2 3 a 1 0 2 a 12 23 a 1 1 2 a 8如图所示，在三棱柱中， 111 ABCABC ，点，分别是棱 1
3、 AAABC 底面 1 ABBCAA 90ABCEF ，的中点，则直线和所成的角是（ ） AB 1 BB EF 1 BC A B C D 456090120 9若命题是真命题，则实数a的取值范围是（ ） 22 :,421pxaxxax R A B C D 2,)(,2( 2,)( 2,2) 10已知直线 ：与抛物线相交于、两点，且满足 l (1)0yk xk 2 :4C yx AB ，则的值是（ ） 2AFBF k ABCD 3 3 3 2 2 32 2 11在正方体 ABCD-A1B1C1D1中，点 M、N 分别在 AB1、BC1上，且 AM=AB1，BN=BC1，则下列结论：AA1MN；A
4、1C1/ 1 3 1 3 MN；MN/平面 A1B1C1D1；B1D1MN，其中，正确命题的个数是（ ） A1B2C3D4 12已知椭圆的短轴长为 2，上顶点为，左顶点为，分 22 22 1(0) xy ab ab AB 12 ,F F 别是椭圆的左、右焦点，且的面积为，点为椭圆上的任意一点，则 1 F AB 23 2 P 的取值范围为（ ） 12 11 PFPF ABCD 1,2 2, 3 2,41,4 二、填空题（共二、填空题（共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分）分） 13命题：“”的否定是 . 0 0 0,21 x x 14直线是双曲线的一条渐近线，
5、双曲线的离心率是_ 3yx 22 22 1 xy ab 15设为椭圆的两个焦点，为上一点且在第一象限.若 12 FF， 22 :+1 3620 xy C MC 为等腰三角形，则的坐标为_. 12 MFF M 16已知三棱锥的四个顶点均在同一个球面上，底面满足 PABCABC ，若该三棱锥体积的最大值为 3则其外接球的体积为 6BABC 2 ABC _. 三、解答题（三、解答题（6 6 小题，共小题，共 7070 分）分） 17 （10 分） 设命题：方程表示中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲 p 22 1 225 xy aa 线； 命题，.若“”为真命题，求实数的取值范围. 2 :,10qxR
6、xax pq a 18 （12 分）如图所示的几何体中，矩形和矩形所在平面互相垂直, ABCDABEF ,为的中点,. ADABAF22MAFCEBN （）求证: ； MBDCF平面 （）求证: . BDNCF平面 19 （12 分）如图，在三棱柱中，已知平面， ABCA B C CC ABC90ACB ，. 3BC 4ACCC （1）求证：； ACA B （2）求直线与平面所成角的正弦值. CC ABC 20 （12 分）已知焦点在x轴上的椭圆C1的长轴长为 8,短半轴为 2,抛物线C2的顶点在 3 原点且焦点为椭圆C1的右焦点 （1）求抛物线C2的标准方程； （2）过（1，0）的两条相互垂
7、直的直线与抛物线C2有四个交点,求这四个点围成四边形的 面积的最小值 21 （12 分）如图所示，直角梯形 ABCD 中， / /ADBCADAB ，四边形 EDCF 为矩形，平面 22ABBCAD3CF 平面 ABCD EDCF （1）求证：； ABEDF平面 （2）求平面 ABE 与平面 EFB 所成锐二面角的余弦值； （3）在线段 DF 上是否存在点 P，使得直线 BP 与平面 ABE 所成角的正弦 值为，若存在，求出线段 BP 的长，若不存在，请说明理由 3 4 22 （12 分）已知椭圆E：（ab0）的左，右焦点分别为F1，F2，且F1，F2 22 22 1 xy ab 与短轴的一个
8、端点Q构成一个等腰直角三角形，点P（）在椭圆E上，过点 23 22 ， F2作互相垂直且与x轴不重合的两直线AB，CD分别交椭圆E于A，B，C，D且M，N分 别是弦AB，CD的中点 （1）求椭圆的方程 （2）求证：直线MN过定点R（，0） 2 3 （3）求MNF2面积的最大值 2019202020192020 学年度第三学段考试高二数学试卷学年度第三学段考试高二数学试卷( (理理) ) 参考答案参考答案 1C2C3A4D5B6A7C8B9A10C 11B12D 131421516 (0,),21 x x 3, 15 32 3 17 【详解】 若为真命题，则 p 2250aa 得： 5 2 2
9、a 若为真命题：则： q 2 40a 得： 22a 所以由：，得：， 5 2 2 22 a aa或 5 2 2 a 所以实数的范围为. a 5 2 2 ， 18分析：（1）证明线面平行只需在面内找一线与已知线平行即可，连结交于 ,连结，可证；（2）线面垂直只需在面内找两条相交直线与已知线垂直 即可，由，可得结论. 详解：（I）证明：连结交于,连结 因为为中点，为中点, 所以, 又因为, 所以; 4 分 (II)因为正方形和矩形所在平面互相垂直, 所以 所以，又因为 所以,所以 因为，正方形和矩形，所以, 所以，所以,又因为,所以 又因为,所以，所以, 所以。 12 分 19解：（1）如图,连接
10、,因为平面,平面,平面 A CCC ABCAC ABCBC ,所以,. ABCCCAC CCBC 又,所以四边形为正方形,所以. 4ACCC ACC A ACA C 因为,所以.又平面,平面, 90ACB ACCBAC ACC A CCACC A ,所以,平面 ACC CCBCACC A 因为平面,所以. ACACC A BCAC 又平面,平面,所以平面. ACA CBBC A CBA CBCCAC A CB 因为平面,所以 A BA CB ACA B （2）解法 1:在中,所以. ABC90ACB 3BC 4AC 1 3 46 2 ABC S 又平面,所以三棱锥的体积 CC ABC4CCCA
11、BC 1 1 8 3 ABC VSCC 易知, 22 5ABACBC 22 5BCC CBC 22 4 2ACC CAC 所以 1 4 225-82 34 2 ABC S 设点到平面的距离为,则三棱锥的体积, CABChCABC 2 12 34 33 ABC VShh 由等体积法可知,则,解得 . 12 VV 2 34 8 3 h 6 34 17 h 设直线与平面所成的角为,则, CC ABC 3 34 sin 34 h CC 故直线与平面所成角的正弦值为 CC ABC 3 34 34 解法 2：(2)由（1）知,两两垂直,以为坐标原点,以,所在 CA CB CC CCA CB CC 的直线分
12、别为,轴,建立如图所示的空间直角坐标系.因为,. x y z3BC 4ACCC 所以, (0,0,0)C(4,0,0)A(0,3,0)B(0,0,4) C 所以, 4 , 0 ,0CC 0 , 3 ,4AB 4 , 0 ,4CA 设平面的法向量为, ABC zyx,n 则, 0 0n CAn AB 即, 430 440 xy xz 令,所以为平面的一个法向量, 4y 3xz 3 , 4 , 3n ABC 则 3 34 cos, 34 n CC n CC n CC 设直线与平面所成的角为,则, CC ABC 3 34 sincos, 34 n CC 故直线与平面所成角的正弦值为 CC ABC 3
13、 34 34 20.20.(1)设椭圆半焦距为c（c0）,由题意得c 22 16 122ab 设抛物线C2的标准方程为y22px（p0）,则，p4, 2 2 p c 抛物线C2的标准方程为y28x； (2)由题意易得两条直线的斜率存在且不为 0,设其中一条直线l1的斜率为k,直线l1方程为 yk（x1）,则另一条直线l2的方程为y（x1）, 1 k 联立得k2x2（2k2+8）x+k20，32k2+640，设直线l1与抛物线C2的 2 1 8 yk x yx 交点为A，B， 则则|AB|x2x1|， 2 1k 22 2 4124kk k 同理设直线l2与抛物线C2的交点为C，D， 则|CD|4
14、 22 2 11 4 ()12()4 1 () kk k 22 142kk 四边形的面积S|AB|CD|4 1 2 22 2 14124 2 kk k 22 142kk ， 22 22 12 16225kk kk 令t2，则t4（当且仅当k1 时等号成立） ， 2 2 1 k k 162116 4 996Stt 当两直线的斜率分别为 1 和1 时，四边形的面积最小，最小值为 96 21 （）取为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系， DDAxDEz 如图，则， 1,0,0A1,2,0B 0,0, 3E1,2, 3F 1, 2, 3BE ， 0,2,0AB 设平面的法向量，不妨设，
15、又 ABE , ,nx y z 230, 20, xyz y 3,0,1n ， 1,2, 3DF ，又平面，平面 330DF n DFn DF ABE/ /DFABE （），设平面的法向量， 1, 2, 3BE 2,0, 3BF BEF , ,mx y z 不妨设， 230, 230, xyz xz 2 3, 3,4m ， 105 31 cos 31231 m n m n 平面与平面所成锐二面角的余弦值为 ABEEFB 5 31 31 （）设， 1,2, 3DPDF ,2 , 3 ， 0,1 ,2 , 3P ，又平面的法向量， 1,22, 3BP ABE 3,0,1n ， 22 2 333 3 sincos, 4 21223 BP n 2 8610 或 1 2 1 4 当时，；当 1 2 33 , 1, 22 BP 2BP 时， 1 4 533 , 424 BP 2BP 综上， 2BP 22.22.（1）椭圆E：（ab0）经过
