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1、用心 爱心 专心 高二数学高二数学高考复习：导数的应用高考复习：导数的应用人教实验版（人教实验版（B B） 【本讲教育信息本讲教育信息】 一. 教学内容： 高考复习：导数的应用 二. 教学目的： 通过高考或模拟题实例探究导数在高考中的应用 三. 知识分析： 【考点综述】 有关导数的内容，在 2000 年开始的新课程试卷命题时，其考试要求都是很基本的，以 后逐渐加深，考查的基本原则是重点考查导数的概念和计算，力求结合应用问题，不过多 地涉及理论探讨和严格的逻辑证明，而近几年高考试题的设计，特别是 2007 年试题更突出 凡函数大题必与导数结合这一特征。本部分的要求一般有三个层次：第一层次是主要考
2、查 导数的概念，求导的公式和求导法则；第二层次是导数的简单应用，包括求函数的极值、 单调区间、证明函数的增减性等；第三层次是综合考查，包括解决应用问题，将导数内容 和传统内容中有关不等式和函数的单调性等有机地结合在一起，设计综合题，通过将新课 程内容和传统内容相结合，加强了能力考查力度，使试题具有更广泛的实际意义，更体现 了导数作为工具分析和解决一些函数性质问题的方法，这类问题用传统教材是无法解决的。 【例题探究】 【例 1】 （2003 年烟台统考）已知函数 f（x）x33ax23（a2）x1 既有极大值又 有极小值，则实数 a 的取值范围是 。 考查目的：考查导数的运算及利用导数知识求函数
3、的极值等基本知识和分析问题、解 决问题的能力。 解析：解析：f（x）3x26ax3a6，令 f（x）0，则 x22axa20 又f（x）既有极大值又有极小值 f（x）0 必有两解，即4a24a80 解得 a1 或 a2。 探究：本题通过求函数的导数，将函数问题转化为一元二次方程来探究，充分体现了 函数与方程相互转化的解题思想与解题策略。 【例 2】设函数 f（x）ax32bx2cx4d（a、b、c、dR）的图象关于原点对称，且 x1 时，f（x）取得极小值。 3 2 （1）求 a、b、c、d 的值； （2）当 x1，1时，图象上是否存在两点，使得过此两点的切线互相垂直？试证 明你的结论； （3
4、）若 x1，x21，1时，求证：|f（x1）f（x2）|。 3 4 考查目的：本题主要考查导数的几何意义、导数的基本性质和应用、绝对值不等式以 及综合推理能力。 解析：解析：（1）函数 f（x）的图象关于原点对称，对任意实数 x，都有 f(x) 用心 爱心 专心 f（x） ax32bx2cx4dax32bx2cx4d，即 bx22d0 恒成立。 b0，d0，即 f（x）ax3cx f（x）3ax2c。 x1 时，f（x）取得极小值 f（1）0 且 f（1）， 3 2 3 2 即 3ac0 且 ac 解得 a，c1 3 2 3 1 （2）证明：当 x1，1时，图象上不存在这样的两点使结论成立，假
5、设图象上存 在两点 A（x1，y1） 、B（x2，y2） ，使得过这两点的切线互相垂直， 则由 f（x）x21，知两点处的切线斜率分别为 k1x121，k2x221， 且（x121） （x221）1 （*） x1、x21，1， x1210，x2210 （x121） （x221）0，这与（*）相矛盾，故假设不成立 （3）证明：f（x）x21，由 f（x）0，得 x1 当 x（，1）或（1，）时，f（x）0; 当 x（1，1）时， f（x）0 f（x）在1，1上是减函数，且 fmax（x）f（1），fmin（x）f（1） 3 2 3 2 在1，1上，|f（x）| 3 2 于是 x1，x21，1时，
6、|f（x1）f（x2）|f（x1）|f（x2）| 3 2 3 2 3 4 故 x1，x21，1时，|f（x1）f（x2）| 3 4 探究：若 x0点是 yf（x）的极值点，则 f（x0）0，反之不一定成立； 在讨论存在性问题时常用反证法； 利用导数得到 yf（x）在1，1上递减是解第（3）问的关键 【例 3】已知平面向量（，1） （，） a 3b 2 1 2 3 （1）证明；a b （2）若存在不同时为零的实数 k 和 t，使（t23），kt，x a b y a b x ，试求函数关系式 kf（t） ；y （3）据（2）的结论，讨论关于 t 的方程 f（t）k0 的解的情况 考查目的：本题考查
7、向量的性质与计算、函数的导数与函数的图象、函数的图象与方 程根的个数间的关系以及综合应用能力。 解析：解析：（1）（1）0 a b 3 2 1 2 3 a b （2），0 即（t23）（kt）0 x y x y a b a b 整理后得ktk（t23） （t23）0 2 a a b 2 b 0，4，1，a b 2 a 2 b 用心 爱心 专心 上式化为4kt（t23）0，即 kt（t23） 4 1 （3）讨论方程t（t23）k0 的解的情况，可以看作曲线 f（t） t（t23） 4 1 4 1 与直线 yk 的交点个数 于是 f（t） （t21） t（t1） （t1） 4 1 4 3 令 f（
8、t）0，解得 t11，t21当 t 变化时，f（t） 、f（t）的变化情况如下表： t （，1 ） 1（1，1）1 （1， ） f（t ） 00 f（t） 极大值 极小值 当 t1 时，f（t）有极大值，f（t）极大值 2 1 当 t1 时，f（t）有极小值，f（t）极小值 2 1 函数 f（t）t（t23）的图象如下图所示，可观察出： 4 1 （1）当 k或 k时，方程 f（t）k0 有且只有一解； 2 1 2 1 （2）当 k或 k时，方程 f（t）k0 有两解； 2 1 2 1 （3）当k时，方程 f（t）k0 有三解 2 1 2 1 探究：导数的应用为函数的作图提供了新途径。 【例 4
9、】 （2004全国卷22）已知函数 f（x）ln（1x）x，g（x）xlnx （1）求函数 f（x）的最大值； （2）设 0ab，证明：0g（a）g（b）2g（）（ba）ln2 2 ba 考查目的：本题主要考查导数的基本性质和应用，对数函数性质和平均值不等式知识 以及综合推理论证的能力。 解析：解析：（1）函数 f（x）的定义域为（1，） ，f（x）1 x1 1 令 f（x）0，解得 x0 当1x0 时，f（x）0; 当 x0 时， f（x）0 用心 爱心 专心 又 f（0）0，故当且仅当 x0 时，f（x）取得最大值，最大值为 0 （2）证法一：g（a）g（b）2g（） 2 ba alnab
10、lnb（ab）ln 2 ba aln 22 ln ab b abab 由（1）结论知 ln（1x）x0（x1，且 x0） 由题设 0ab，得0, 10 22 baab ab 因此， 2 lnln(1) 22 ababa abaa 2 lnln(1) 22 babab abbb 22 lnln0 22 abbaab ab abab 又， 2 2 aab abb 222 lnlnlnln() 2 ababb ababba ababbab 2 ln()ln2 b ba ab 综上 0( )( )2 ()()ln2 2 ab g ag bgba 证法二：( )ln ,( )ln1g xxx g xx
11、设则), 2 xa (g2)x(g)a (g)x(f . 2 xa lnxln ) 2 xa (g 2)x(g)x(f 当 0 xa 时，因此 f(x)在内为减函数；0)x(f(0, )a 当 xa 时，因此 f(x)在上为增函数0)x(f( ,)a 从而，当 xa 时，f（x）有极小值 f（a） 即0)b(f, ab, 0)a (f0( )( )2 () 2 ab g ag bg 设，则2ln)ax()x(f)x(g)xaln(xln2ln 2 xa lnxlnxg 当 x0 时，因此 g(x)在上为减函数。0)x(g), 0( , 0)b(g, ab, 0)a (g 即，综上，原不等式得证
12、。( )( )2 ()()ln2 2 ab g ag bgba 【例 5】设函数，其中。 2 ( )ln(1)f xxbx0b （I）当时，判断函数在定义域上的单调性； 2 1 b ( )f x （II）求函数的极值点；( )f x （III）证明对任意的正整数，不等式都成立。n 23 111 ln(1) nnn 用心 爱心 专心 解：解：（I）由题意知，f(x)的定义域为，1, 2 22 ( )2 11 bxxb fxx xx 设，其图象的对称轴为 2 ( )22g xxxb), 1( 2 1 x ， min 11 ( )() 22 g xgb 当时， 1 2 b min 1 ( )0 2
13、g xb 即在上恒成立。 2 ( )220g xxxb1, 当时，), 1(x . 0 )x(f 当时，函数在定义域上单调递增。 1 2 b ( )f x1, （II）由（I）得：当时，函数无极值点， 1 2 b ( )f x 时，0 有两个相同的解 1 2 b 2 1 2() 2 ( ) 1 x fx x , 2 1 x 时，) 2 1 , 1(x ( ) 0,fx 时， 1 , 2 x ( ) 0,fx 时，函数在上无极值点。 1 2 b ( )f x1, 当时，有两个不同解，。 1 2 b ( ) 0fx 1 11 2 2 b x 2 112 2 b x 时，0b 1 11 2 1 2
14、b x 2 11 2 1 2 b x 即), 1(x), 1(x 21 时，随 x 的变化情况如下表：0b )x(f)x(f、 x )x, 1( 2 2 x),x( 2 )x( f 0 )x(f 极小值 由此表可知：时，f(x)有惟一极小值点；0b 2 112 2 b x 当时， 1 0 2 b, 1 2 b211 x1 12 ,1,x x 此时，随 x 的变化情况如下表：)x(f)x(f、 x )x, 1( 1 1 x)x,x( 212 x),x( 2 )x( f 00 )x(f 极大值 极小值 用心 爱心 专心 由此表可知：时，f(x)有一个极大值点和一个极小值点 1 0 2 b 2 b2
15、11 x1 ； 2 112 2 b x 综上所述， 时，f(x)有惟一极小值点；0b 2 b211 x 时，f(x)有一个极大值点和一个极小值点； 2 1 b0 2 b211 x 2 b211 x 时，f(x)无极值点。 2 1 b （III）当时，函数1b 2 ( )ln(1).f xxx 令函数 332 ( )( )ln(1),h xxf xxxx 则. 1x ) 1x(x3 1x 1 x2x3)x(h 23 2 当时，所以函数 h(x)在上单调递增，), 0 x, 0)x(h), 0 又, 0)0(h 时，恒有即恒成立，), 0(x, 0)0(h)x(h) 1xln(xx 23 故当时，有，0,x 23 ln(1)xxx 对任意正整数，取则有，n), 0( n 1 x 23 111 ln(1) nnn 所以结论成立。 【模拟试题模拟试题】 一、选择题 1. 函数，则等于 （ ） 3 3 2cosyxxx y A. B. 223 6sinxxx 2 23 1 2sin 3 xx x C. D. 2 23 1 6sin 3 xx x 2 23 1 6sin 3 xx x 2. 设，则（0）为 （ ）( )|1 |f xxx f A. 0 B. 1 C. 1 D. 不存在 3.
