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1、正弦和余弦定理应用举例 第二课时-考点考题,高一年级数学组,实际问题,解应用题的基本思路,有关距离测量问题，主要是利用可以测量的数据，通过解三角形计算出不易测量的数据；遇到多边形问题，可以分割为n个三角形来解决.,某炮兵阵地位于地面A处，两观察所分别位于地面点C和D处，已知CD6 km，ACD45，ADC75，目标出现于地面点B处时，测得BCD30，BDC15，如图，求炮兵阵地到目标的距离.,【解】在ACD中，CAD180ACDADC60，CD6，ACD45， 根据正弦定理有 同理，在BCD中，CBD180BCDBDC135，CD6，BCD30， 根据正弦定理得 又在ABD中，ADBADCBD
2、C90， 根据勾股定理有AB= 所以炮兵阵地到目标的距离为,1.某观测站C在目标A的南偏西25方向，从A出发有一条南 偏东35走向的公路，在C处测得与C相距31千米的公路上 B处有一人正沿此公路向A走去，走20千米到达D，此时 测得CD为21千米，求此人在D处距A还有多少千米？,解：如图所示，易知CAD253560，在BCD中， 由BC2AC2AB22ACABcosA，,cosB=,得AB224AB3850， 解得AB35， 所以ADABBD15. 故此人在D处距A有15千米.,测量高度问题一般是利用地面上的观测点，通过测量仰角、俯角等数据计算物体的高度，这类问题一般用到立体几何知识，先把立体
3、几何问题转化为平面几何问题，再通过解三角形加以解决.,某人在塔的正东沿着南偏西60的方向前进40米后，望见塔在东北方向，若沿途测得塔顶的最大仰角为30，求塔高.,依题意画图，某人在C处，AB 为塔高，他沿CD前进，CD 40米，此时DBF45，从 C到D沿途测塔的仰角，只有 B到测试点的距离最短时，仰角才最大，这是因为tanAEB AB为定值，BE最小时，仰角最大.要求出塔高AB，必须先求BE，而要求BE，需先求BD(或BC).,【解】在BCD中，CD40，BCD30， DBC135，由正弦定理得 过B作BECD于E，显然当 人在E处时，测得塔的仰角最大， 有BEA30.在RtBED中， BD
4、E1801353015，,在RtABE中， AEB30， 故所求的塔高为 米.,2.如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水 平面内的两个测点C与D，现测得BCD，BDC， CDs，并在点C测得塔顶A的仰角为，求塔高AB.,解：在BCD中， CBD. 由正弦定理得,所以BC 在Rt ABC中，AB=BCtan,测量角度问题也就是通过解三角形求角问题，求角问题可以转化为求该角的函数值.如果是用余弦定理求得该角的余弦，该角容易确定，如果用正弦定理求得该角的正弦，就需要讨论解的情况了.,在海岸A处，发现北偏东45方向，距A处( -1)n mile的B处有一艘走私船，在A处北偏西75的方向
5、，距离A处2 n mile的C处的缉私船奉命以10 的速度追截走私船.此时，走私船正以10 n mile/h的速度从B处向北偏东30方向逃窜，问缉私船沿着什么方向能最快追上走私船？,本例考查正弦、余弦 定理的建模应用.如图 所示，注意到最快追 上走私船且两船所用 时间相等，若在D处相 遇，则可先在ABC中求出BC，再在BCD中求BCD.,【解】设缉私船用t h在D处追上走私船， 则有CD10 ，BD10t， 在ABC中，AB 1，AC2，BAC120， 由余弦定理，得 BC2AB2AC22ABACcosBAC ( 1)2222( 1)2cos 1206，,ABC45，BC与正北方向垂直. CB
6、D9030120， 在BCD中，由正弦定理，得 BCD30. 即缉私船沿东偏北30方向能最快追上走私船.,sinBCD=,3.外国船只除特许外，不得进入离我国海岸线d n mile以 内的区域，如图所示，设A和B是我国的观测站，A与B 之间的距离为s n mile，海岸线是过A、B的直线，一外 国船只在P点，在A站测得BAP，同时在B站测得 ABP，问及满足什么三角函数不等式时，就 应当向此未经特许的外国船只发出警告，命令其退出我 国海域？,解：过P作PCAB交BA延长线于C， 在ABP中，由正弦定理，得,当PCd， 即 时，就应向未经特许的外国船只发出警告.,在RtAPC中，PC=sin,作业：课本19页1，3，5，7,
