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1、1 1三、方程（组）及其应用(6 课时)教学目标：1 掌握本部分的知识结构图基本概念的掌握要到位，不仅要理解更要会运用，复习时应要求学生先观察后动手，并保证较高的正确率。2 让学生自己总结交流所学内容，发展学生的语言表达能力和合作交流能力3 通过学生自己归纳总结本部分内容，使他们在动手操作方面，探索研究方面，语言表达方面，分类讨论、归纳等方面都有所发展教学重点与难点重点：重视情景（信息）问题的分析，增强学生的情景分析或信息提取能力，增强学生用数学知识解决情景问题能力即建模能力难点：提高方程（组），不等式，函数，直角三角形，相似三角形等知识的综合运用能力，力争做到相互联系，融会贯通教学时间：6
2、课时方程（组）部分在第一轮复习时大约需要 6 个课时下表为内容及课时安排：课时数 内 容1 一元一次方程、二元一次方程组、简单的三元一次方程组1 一元二次方程的解法、二元二次方程组1 分式方程1 一元二次方程根的判别式、一元二次方程根与系数的关系2 方程（组）的应用方程（组）单元测试与评析教学过程：【知识回顾】1、知识脉络2、基础知识方程的有关概念含有未知数的等式叫做方程能使方程两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解，只含有一个未知数的方程的解，也叫做根求方程的解的过程叫做解方程方程（组）的应用二元二次方程组实际问题 方 程一元一次方程二元一次方程三元一次方程一元二次方程二元二次方程分 式 方
3、 程二元一次方程组三元一次方程组2 2一元一次方程只含有一个未知数，且未知项的次数是 1 的整式方程叫做一元一次方程，它的标准形式是 0abx一元一次方程的解法二元一次方程（组）含有两个未知数，且未知项的次数都是 1 的整式方程，叫做二元一次方程由几个方程所组成的一组方程叫做方程组方程组里各个方程的公共解叫做这个方程组的解求方程组的解的过程叫做解方程组含有两个未知数，且未知项的次数都是 1，由这样的几个整式方程所组成的方程组叫做二元一次方程组二元一次方程组的解法其基本思想是消元其基本方法是代入消元法和加减消元法三元一次方程（组）含有三个未知数，且未知项的次数都是 1 的整式方程，叫做三元一次方
4、程含有三个未知数，且未知项的次数都是 1，由这样的几个整式方程所组成的方程组叫做三元一次方程组三元一次方程组的解法其基本思想仍是消元其基本方法仍是代入法和加减法一元二次方程只含有一个未知数，且未知项的最高次数是 2 的整式方程叫做一元二次方程它的一般形式为 ( 是已知数， )，其中 分别叫做二次项，02cbxaba,0abxa,2一次项； 分别叫做二次项系数，一次项系数，常数项,一元二次方程的解法.其基本思想是降次其常用方法:直接开平方法、配方法、因式分解法、公式法、十字相乘法一元二次方程 ( 是已知数， )的根的判别式（02cbxaba,0a）：cb42()当 时，一元二次方程有两个不相等的
5、实数根；0()当 时，一元二次方程有两个相等的实数根；()当 时，一元二次方程没有实数根以上结论，反之亦成立一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）：若一元二次方程 (02cbxa是已知数， )的两根为 、 ，则 cba,0a1x2xbx2121,二元二次方程组（一个二元一次方程、一个二元二次方程）含有两个未知数，且未知项的最高次数为 2，由这样的几个整式方程所组成的方程组叫做二元二次方程组二元二次方程组的解法其基本思想是消元、降次其方法主要是代入消元法分式方程分母中含有未知数的方程叫做分式方程分式方程的解法其基本思想是将分式方程转化为整式方程其方法是运用等式性质在方程两边同乘以最简公分母解分式
6、方程必须要验根3 3列方程（组）解应用题的一般步骤：审清题意；找出等量关系；设出直（间）接未知数；列出方程（组）；解方程（组）；验方程（组）的根；答出完整的语句3、能力要求例 1 解二元一次方程组和三元一次方程组：（1） ;34,162yx（2） .12,7zyx【分析】(1)因为方程中的 的系数为 1，所以应把方程变形为 ，然后把x yx413它代入方程求出 后再求 即可（2）三个未知数的系数中最简单的系数是 的系数，故考虑先消去 ，而消去 的方zzz法有+；+2；2，我们选择+和+2，消去同一个未知数 ，就可以得到关于 与 的二元一次方程组，然后解此二元一次方程组xy【解】(1) 由，得
7、.413y将代入,得 ,62即 .05y2将代入,得 .x所以原方程组的解是 .,5y（2）+，得 ,2x即 .5y+2，得 317x与组成方程组， .5,y解这个方程组得 .3,2x把 ， 代入，得 2xy .13z.1z 4 4所以原方程组的解是 .1,32zyx【说明】本题主要考查学生的计算能力教师在复习时要加强计算能力的培养，为解决综合题中的计算打好基础该题体现了化归思想方法请学生尝试用其它消元方法解这两个方程组，并进行比较例 2 解一元二次方程和二元二次方程组：（1） ;013x（2） ;2aba（3） .01,6yx【分析】（1）解一元二次方程应考虑因式分解法，十字相乘法，公式法，
8、配方法等方法本题通过尝试，选用公式法较为适宜（2）该题的等式两边有相同的式子，应移项后提公因式；而不能直接在等号两边除以，否则，方程将失根axb（3）题中方程是二元一次方程，把它变形为 ，并把它代入方程，可得21xy到关于 的一元二次方程y【解】(1) 原方程中 ,1a3b,1c0492 cb,213ax13,2.2x（2）移项，提取公因式，得 .01bax或0bax.01x,1.2a(3) 由，得 1yx把代入，得 ,0162y即 .0912y解之得 ,2 5 5当 时，91y;1x当 时，2.32所以原方程组的解是 ,91yx.,32【说明】本题考查了一元二次方程和二元二次方程组的解法和计
9、算能力；该题不但考查了数学的转化（消元、降次）思想，而且还沟通了二次函数中的问题，如：求抛物线与 轴x的交点坐标、直线与抛物线的交点坐标等问题例 3 解分式方程：（1） ;321x（2） .6【分析】在确定最简公分母前一般先把方程中各分式的分子分母按未知数 降幂排列，x（1）的最简公分母是 ，（2）的最简公分母是 分式方程可转化为x1x一元一次方程或一元二次方程【解】（1）原方程变形为 .31x方程两边同乘以最简公分母 ，约去分母，得 2.231x解这个方程得 .x检验：把 代入最简公分母，得 2.0x 是原方程的增根x所以原方程无解（2）原方程变形为 .1316xx方程两边同乘以最简公分母
10、，约去分母，得 .1136xx整理得 .0432x解这个方程得 ,12经检验， 是原方程的根； 是原方程的增根x12x所以原方程的根是 4【说明】解分式方程的关键在于确定正确的最简公分母和检验值得注意的是在去分母时不要遗漏没有分母的项该题考查了化归思想，教学时应将这种数学思想渗透给学生例 4 已知： 是关于 的方程 的两个实数根，且 ，x12， x356022mxx123求 的值m【分析】题中有条件： 是方程的两根；对此条件的联想：根的定义，根的判别式，12，6 6根与系数的关系等；题中要求 的值，应列出关于 的关系式mm【解】因 是关于 的方程 的两个实数根，x12， x4356022x故
11、.4532121 ，,0,2121mxx.231x设 所以 ， k321.23,45mk整理得 解之得 .4,52mk125当 时，分别都大于12， .0 m 的值 1 或 5例 5 为庆祝“六一”儿童节，某市中小学统一组织文艺汇演，甲、乙两所学校共 92 人（其中甲校人数多于乙校人数，且甲校人数不够 90 人），准备统一购买服装参加演出，下面是某服装厂给出的演出服装的价格表：购买服装的套数 1 套至 45 套 46 套至 90 套 91 套及以上每套服装的价格 60 元 50 元 40 元如果两所学校分别单独购买服装，一共应付 5000 元（1）如果甲、乙两校联合起来购买服装，那么比各自购买
12、服装共可以节省多少钱？（2）甲、乙两所学校各有多少学生准备参加演出？（3）如果甲校有 10 名同学抽调去参加书法绘画比赛而不能参加演出，请你为两所学校设计一种最省钱的购买服装方案【分析】（1）由于甲、乙两校联合起来购买 92 套服装，因此每套服装的价格为 40 元（2）由于甲、乙两校共 92 人，甲校人数多于乙校人数，因此甲校人数多于 46 人；又由于甲校人数不够 90 人，因此甲校应按每套 50 元购买，乙校应按每套 60 元购买（3）利用（2）的结果分别讨论各自购买和联合购买的服装款；由于91409050，即按每套 40 元购买时的服装款有可能比按每套 50 元购买时的服装款少，因此，还需
13、与按每套 40 元购买时的服装款比较【解】（1）由题意得 50009240=50003680=1320（元）即两校联合起来购买服装比各自购买服装共可省 1320 元（2）设甲、乙两所学校分别有 名， 名学生准备参加演出xy由题意得： 解得：50692yx4052答：甲、乙两所学校分别有 52 名，40 名学生准备参加演出（3）因为甲校有 10 人不能参加演出，所以甲校有 5210=42 人参加演出若两校各自购买服装，则需要 4260+4060=4920（元）；7 7若两校联合起来购买服装，则需要 50（42+40）=4100（元），此时比各自购买服装可以节约 49204100=820（元）；但
14、如果两校联合购买 91 套服装只需 4091=3640（元），此时又比联合购买每套 50 元的服装可节约 41003640=460（元）所以最省钱的买服装方案是两校联合购买 91 套服装（即比实际人数多购买 9 套）例 6 已知：如图，矩形 ABCD 中，AD=a，DC=b在 AB 上找一点 E，使 E 点与 C、D 的连线将此矩形分成的三个三角形相似，设 AE= x问：这样的点 E 是否存在?若存在，这样的点 E有几个?请说明理由【分析】要使 RtADE, RtBEC, ECD 彼此相似，点 E 必须满足AED+BEC=90,为此，可设在 AB 上存在满足条件的点 E 使得 RtADE RtBEC 即可解决【解】依题意，要使分成的三个三角形相似，则AED+BEC=90，而BEC+ECB=90，即AED=ECB，则ADEBEC ,BEADCxba整理得： ,022xaacb4而 ,2当 即 时， 方程无实数解，即符合条件的点 E 不存在0,0当 即 时， 方程有两个相等的实数解，即点 E 存在，且只有一个，aba是 AB 的中点当 即 时， 方程有两个不相等的实数解， 都022,0242,1abx符合题意，即存在两个点满足条件【说明】本题是数形结合型题目在解决很多几何题目时，常常用到一元二次方程的有关知识来做解决此类型题目的关键在于把“形”的条件转化为
