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1、习题1.11. 下列句子中，哪些是命题？哪些不是命题？如果是命题，指出它的真值。 中国有四大发明。 计算机有空吗? 不存在最大素数。 21+35。 老王是山东人或河北人。 2与3都是偶数。 小李在宿舍里。 这朵玫瑰花多美丽呀! 请勿随地吐痰! 圆的面积等于半径的平方乘以p。 只有6是偶数，3才能是2的倍数。 雪是黑色的当且仅当太阳从东方升起。如果天下大雨，他就乘班车上班。解：是命题，其中是真命题，是假命题，的真值目前无法确定；不是命题。2. 将下列复合命题分成若干原子命题。 李辛与李末是兄弟。 因为天气冷，所以我穿了羽绒服。 天正在下雨或湿度很高。 刘英与李进上山。 王强与刘威都学过法语。 如
2、果你不看电影，那么我也不看电影。我既不看电视也不外出，我在睡觉。 除非天下大雨，否则他不乘班车上班。解：本命题为原子命题；p：天气冷；q：我穿羽绒服；p：天在下雨；q：湿度很高；p：刘英上山；q：李进上山；p：王强学过法语；q：刘威学过法语；p：你看电影；q：我看电影；p：我看电视；q：我外出；r：我睡觉；p：天下大雨；q：他乘班车上班。3. 将下列命题符号化。 他一面吃饭，一面听音乐。 3是素数或2是素数。 若地球上没有树木，则人类不能生存。 8是偶数的充分必要条件是8能被3整除。 停机的原因在于语法错误或程序错误。 四边形ABCD是平行四边形当且仅当它的对边平行。 如果a和b是偶数，则a+
3、b是偶数。解：p：他吃饭；q：他听音乐；原命题符号化为：pqp：3是素数；q：2是素数；原命题符号化为：pqp：地球上有树木；q：人类能生存；原命题符号化为：pqp：8是偶数；q：8能被3整除；原命题符号化为：pqp：停机；q：语法错误；r：程序错误；原命题符号化为：qrpp：四边形ABCD是平行四边形；q：四边形ABCD的对边平行；原命题符号化为：pq。p：a是偶数；q：b是偶数；r：a+b是偶数；原命题符号化为：pqr4. 将下列命题符号化，并指出各复合命题的真值。如果3+3=6，则雪是白的。 如果3+36，则雪是白的。 如果3+3=6，则雪不是白的。 如果3+36，则雪不是白的。是无理数
4、当且仅当加拿大位于亚洲。 2+3=5的充要条件是是无理数。(假定是10进制) 若两圆O1，O2的面积相等，则它们的半径相等，反之亦然。 当王小红心情愉快时，她就唱歌，反之，当她唱歌时，一定心情愉快。解：设p：336。q：雪是白的。原命题符号化为：pq；该命题是真命题。原命题符号化为：pq；该命题是真命题。原命题符号化为：pq；该命题是假命题。原命题符号化为：pq；该命题是真命题。p：是无理数；q：加拿大位于亚洲；原命题符号化为：pq；该命题是假命题。p：2+35；q：是无理数；原命题符号化为：pq；该命题是真命题。p：两圆O1,O2的面积相等；q：两圆O1,O2的半径相等；原命题符号化为：pq
5、；该命题是真命题。p：王小红心情愉快；q：王小红唱歌；原命题符号化为：pq；该命题是真命题。习题1.21.判断下列公式哪些是合式公式，哪些不是合式公式。 (pqr) (p(qr) (pq)(rs) (pqrs) (p(qr)(qp)qr)。解：是合式公式；不是合式公式。2.设p：天下雪。q：我将进城。r：我有时间。将下列命题符号化。 天没有下雪，我也没有进城。 如果我有时间，我将进城。 如果天不下雪而我又有时间的话，我将进城。解： pq rq prq 3.设p、q、r所表示的命题与上题相同，试把下列公式译成自然语言。 rq (rq) q (r p) (qr)(rq) 解： 我有时间并且我将进城
6、。 我没有时间并且我也没有进城。 我进城，当且仅当我有时间并且天不下雪。 如果我有时间，那么我将进城，反之亦然。4. 试把原子命题表示为p、q、r等，将下列命题符号化。 或者你没有给我写信，或者它在途中丢失了。 如果张三和李四都不去，他就去。 我们不能既划船又跑步。 如果你来了，那末他唱不唱歌将看你是否伴奏而定。解： p：你给我写信；q：信在途中丢失；原命题符号化为：(p q)(pq)。p：张三去；q：李四去；r：他去；原命题符号化为：pqr。p：我们划船；q：我们跑步；原命题符号化为：（pq）。p：你来了；q：他唱歌；r：你伴奏；原命题符号化为：p（qr）。5. 用符号形式写出下列命题。假如
7、上午不下雨，我去看电影，否则就在家里读书或看报。我今天进城，除非下雨。仅当你走，我将留下。解：p：上午下雨；q：我去看电影；r：我在家读书；s：我在家看报；原命题符号化为：（pq）（prs）。p：我今天进城；q：天下雨；原命题符号化为：qp。p：你走；q：我留下；原命题符号化为：qp。习题1.31.设A、B、C是任意命题公式，证明：AA若AB，则BA若AB，BC，则AC证明：由双条件的定义可知AA是一个永真式，由等价式的定义可知AA成立。因为AB，由等价的定义可知AB是一个永真式，再由双条件的定义可知BA也是一个永真式，所以，BA成立。对A、B、C的任一赋值，因为AB，则AB是永真式， 即A与
8、B具有相同的真值，又因为BC，则BC是永真式， 即B与C也具有相同的真值，所以A与C也具有相同的真值；即AC成立。2.设A、B、C是任意命题公式，若ACBC, AB一定成立吗？若ACBC, AB一定成立吗？若AB，AB一定成立吗？解：不一定有AB。若A为真，B为假，C为真，则ACBC成立，但AB不成立。不一定有AB。若A为真，B为假，C为假，则ACBC成立，但AB不成立。一定有AB。3.构造下列命题公式的真值表，并求成真赋值和成假赋值。 q(pq)p p(qr) (pq)(qp) (pq)(rq)r (p(pq)r)(qr)解：q(pq)p的真值表如表1.24所示。表1.24pqpqq(pq)
9、q(pq)p00101011101000111111使得公式q(pq)p成真的赋值是：00，10，11，使得公式q(pq)p成假的赋值是：01。p(qr) 的真值表如表1.25所示。表1.25pqrqrp(qr)0000100111010110111110000101111101111111 使得公式p(qr)成真的赋值是：000，001，010，011，101，110，111，使得公式p(qr)成假的赋值是：100。(pq)(qp) 的真值表如表1.26所示。表1.26pqpqqp(pq)(qp)00001011111011111111所有的赋值均使得公式(pq)(qp)成真，即(pq)(q
10、p)是一个永真式。(pq)(rq)r的真值表如表1.27所示。表1.27pqrqpqrq(pq)(rq)(pq)(rq)r0001000100110001010000010110011110011010101110111100000111100111使得公式(pq)(rq)r成真的赋值是：000，001，010，011，101，110，111，使得公式(pq)(rq)r成假的赋值是：100。(p(pq)r)(qr) 的真值表如表1.28所示。表1.28pqrpqp(pq)(p(pq)rqr(p(pq)r)(qr)00000101001001010100011101100101100110001
11、01111011100101111101101使得公式(p(pq)r)(qr)成真的赋值是：000，001，010，011，101，110，111，使得公式(p(pq)r)(qr)成假的赋值是：100。 4.用真值表证明下列等价式：(pq)pq证明：证明(pq)pq的真值表如表1.29所示。表1.29pqpq(pq)qpq001010011000100111111000由上表可见：(pq)和pq的真值表完全相同，所以(pq)pq。pqqp 证明：证明pqqp的真值表如表1.30所示。表1.30pqpqpqqp001111011101100010111001由上表可见：pq和qp的真值表完全相同，所以pqqp。(pq)pq证明：证明(pq)和pq的真值表如表1.31所示。表1.31pqpq(pq)qpq001010010101100111111000由上表可见：(pq)和pq的真值表完全相同，所以(pq)pq。p(q
