《(正版)数学建模经典问题——旅行商问题[105页]》由会员分享，可在线阅读，更多相关《(正版)数学建模经典问题——旅行商问题[105页]（105页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1,第7章 旅行商问题,2,第7章 旅行商问题,1.问题概述,2.求解算法,2.1.下界和上界算法,2.2.分支定界法,目录,2.5.竞赛题,2.3.动态规划法,2.5.近似算法,3,7-1 问题概述,一、数学模型 1. 标准TSP 旅行商问题（简称TSP），也称货郎担问题或旅行推销员问题，是运筹学中一个著名的问题，其一般提法为：有一个旅行商从城市1出发，需要到城市2、3、n去推销货物，最后返回城市1，若任意两个城市间的距离已知，则该旅行商应如何选择其最佳行走路线？,4,TSP在图论意义下又常常被称为最小Hamilton圈问题，Euler等人最早研究了该问题的雏形，后来由英国的Hamilton
2、爵士作为一个悬赏问题而提出。但这个能让普通人在几分钟内就可理解的游戏之作，却延续至今仍未能完全解决，成了一个世界难题。 TSP有着明显的实际意义，如，邮局里负责到各信箱开箱取信的邮递员，以及去各分局送邮件的汽车等，都会遇到类似的问题。有趣的是，还有一些问题表面上看似乎与TSP无关，而实质上却可以归结为TSP来求解。已经证明，TSP是个NP难题，除非P = NP，否则不存在有效算法。,5,记为赋权图G=(V,E)，V为顶点集，E为边集，各顶点间的距离dij已知。设,则经典的TSP可写为如下的数学规划模型：,6,模型中，为集合中所含图的顶点数。约束（71）和（72）意味着对每个点而言，仅有一条边进
3、和一条边出；约束（73）则保证了没有任何子回路解的产生。于是，满足约束（71）、（72）和（73）的解构成了一条Hamilton回路。,7,当dij=dji (i, jV) 时，问题被称为对称型TSP，否则称为非对称型TSP。 若对所有1i, j, kn ，有不等式dij + djk dik成立，则问题被称为是满足三角形不等式的，简称为TSP。,8,2. 扩展TSP (1) 瓶颈TSP 瓶颈问题是最早从TSP延伸出来的一种扩展型TSP，其含义与经典的TSP类似，仅目标不同，要求巡回路线中经过的最长距离最短，即最小化瓶颈距离。该情形体现了那些并不追求总巡回路线最短，而只希望在巡回路线中每次从一个
4、地点至另一个地点的单次行程尽可能短的实际应用问题的特征。,9,从严格的数学意义而言，瓶颈TSP（简称BTSP）并没有降低问题的难度，也未能提供任何特殊的解决办法。 瓶颈TSP的数学模型与标准TSP类似，仅目标函数不同：,由于目标函数为瓶颈值，故求得的最佳巡回路线与标准TSP的往往截然不同。,10,(2) 最小比率TSP 最小比率TSP（简称MRTSP）是从经典TSP引申出来的另一个变形问题，假定从一个城市走到另一个城市可得到某种收益（记为），则MRTSP的目标就是确定最佳行走路线，使得回路的总行程与总收益之比最小。这种优化目标的思想类似于人们日常生活中经常使用的费用效益比，与单纯的总行程最短相
5、比，往往更具实际意义。,11,假定收益的数学性质与相同，则最小比率TSP的数学模型也与标准TSP类似，仅目标函数不同：,毫无疑问，由于目标函数中的非线性因素，最小比率TSP的求解比之标准TSP显得更为困难。,12,(3) 多人TSP 若标准TSP中，出发点有多个推销员同时出发，各自行走不同的路线，使得所有的城市都至少被访问过一次，然后返回出发点，要求所有推销员的总行程最短，则问题就成为一个多人的旅行商问题（简记MTSP）。 令决策变量,则MTSP的数学模型为：,13,假定原问题为对称型MTSP，V=v0,v1,vn-1，v0为名推销员出发点，记V=v01,v02,v0m; v0,v1,vn-1
6、 ，扩大的m-1个顶点称为“人造顶点”，其距离矩阵也相应扩大，其中，位于出发点的m个顶点相互间的距离设定为，其他数值不变。,14,二、多面体理论 从上世纪70年代开始的关于算法复杂性的研究表明，要想为TSP找到一个好的算法，也即多项式算法，似乎是不可能的。由于推销员的每条路线可以用一个以1开始的排列来表示，因此所有可能的路线有条。这样，若用枚举法来解决这一问题，即使不太大，例如n30，用目前最快的计算机，也要化几百万年才能求出一条最短的路线。,15,早在1954年，Dantzig等人就曾提出过一种方法（非多项式算法），并且求出了一个42城市的TSP最优解。到了1960年代，不少人用分支定界法解
7、决了许多有几十个城市的TSP。还有人提出了一些近似方法，也解决了许多有几十个城市甚至上百个城市的TSP（有时找到的仅是近似解）。更值得注意的是，从1970年代中期开始，Grotschel与Padberg等人深入研究了TS多面体的最大面（facet），并从所得结果出发获得了一种解TSP的新算法，可以解决一些有100多个城市的TSP，且都在不长的时间内找到了最优解。,16,考虑个顶点的完全图Kn ，则解TSP就相当于在中求一条总长度最短的Hamilton回路。现在，对每条边ej，定义一个变量xj与之对应，这样，TSP的一条路线T，即Kn的一条Hamilton回路，就可对应一个向量X=x1,x2,.
8、xm，其中，,17,称X为路线T的关联向量，其m=n(n-2)/2个分量中，恰好有个为1，其余的都为0。 图有许多Hamilton回路，设为T1, T2 Ts,，对应的关联向量记为X1, X2 Xs ，在m维空间Rm中，考虑这些向量生成的凸包（convex hull） Qn ：,18,Qn是Rm中的一个凸多面体，称做TS多面体。显然， Qn是有界的，其极点正好是Kn的Hamilton回路关联向量。 研究Qn的面非常重要的，因为根据线性不等式及凸多面体的理论， Qn一定是某一个有限线性不等式组的解集合，或者说， Qn一定是有限多个半空间的交。因此，如果能找出定义Qn的线性不等式组来，就可将TSP
9、作为一个线性规划来解。,19,TS多面体研究中的一个重要问题就是寻找能导出Qn最大面的不等式，Grotschel等人发现了一类很重要的能导出最大面的梳子不等式，并予以了证明。此外，还有其它能导出最大面的不等式，如团树不等式等。可见， Qn的最大面极多，曾经计算过由梳子不等式所导出的最大面个数如表71所示：,表71,20,可以看出，当增大时，最大面个数增长得非常快。 在TS多面体理论的基础上，可以考虑先解TSP的松弛问题，如果得到的最优解正好是某一条路线的关联向量，那么就找到TSP的最优解了；否则，就设法找一些新的不等式作为额外约束，再解新的线性规划，直至找到恰好是关联向量的最优解。这种做法的基
10、本思想与解整数规划的割平面法是同一类的，Gotschel 等人曾用这种方法解过有120个城市的TSP，所增加的不等式只有子回路消去不等式与梳子不等式两类，在进行了13轮计算后，即解了13个线性规划后，就找到了TSP的精确最优解，每一轮的当时计算时间仅在30秒至2分钟之间。有趣的是，当n = 120时，仅梳子不等式就有2*10179个，但在计算过程中，总共却只（凭经验）添加了96个子回路消去不等式与梳子不等式。,21,当然，用该方法有时会找不到TSP的最优解，因为很可能在进行了几轮迭代后，却找不到新的不等式。Padborg与Hong曾计算了74个TSP，其中54个得到了最优解，其余的虽未得到最优
11、解，却得到了很好的下界，如果与近似方法配合，可以估计近似解的精确程度。如，他们解过一个有313个城市的TSP，获得一个下界41236.46，而用近似方法能得到一条长为41349的路线，于是可估计出所得近似解与最优解的误差不超过0.26%。,22,7-2 求解算法,一、下界和上界算法 1. 下界 （1）下界b1和b2 针对TSP对应图的邻接矩阵，将矩阵中每一行最小的元素相加，就可得到一个简单的下界b1。经进一步改进，可得到更好的下界：考虑一个TSP的完整解，在每条路径上，每个城市都有两条邻接边，一条进，一条出，那么，如果把矩阵中每一行最小的两个元素相加再除以2（不失一般性，可假定图中所有距离权重
12、都为整数），再对其结果向上取整，就可得到一个合理的下界b2。 显然，b2b1，因此，一般不采用b1作为TSP的下界。,23,例1 已知TSP及其距离矩阵如图71所示，试求其下界,24,解： 将矩阵中每一行最小的元素相加，1+3+1+3+2 = 10，即得b1=10。将矩阵中每一行最小的两个元素相加再除以2，再对结果向上取整，即可得b2 = (1+3) + (3+6) + (1+2) + (3+4) + (2+3)/2 = 14。,25,（2）下界b3 为便于描述下界b3，先定义如下符号： T：对称TSP问题； n：结点总个数； w(i,j)：结点i与j之间距离； dmin(i, k)：与第i个
13、结点关联的所有边中第k (k = 1, 2, 3)长边的长度； dmin_j(i, k)：与第i个结点关联的所有边中第k (k = 1, 2, 3) 长边的另一个结点的编号(其中一个结点编号为i)； node_ base(i)= dmin_j(i, 1)+ dmin_j(i, 2)：表示与i点关联边中长度最短的两条边之和； C*(T)：最优回路长度；,26,于是，dmin(i, 1)代表与第i个结点关联的所有边中最长边的长度，dmin_j(i, 1) 代表与第i个结点关联的所有边中次长边的另一个结点编号(其中一个结点编号为i)，第i结点的dmin(i, k)和dmin_j(i, k)可由距离矩
14、阵w轻易求得。 通过对下界b2进行改进，可以得出一个求对称型TSP更好的下界b3。 在求b2的过程中，只有当与每一结点关联的边中长度最小的两条边都出现在最优TSP回路中时，等号才成立，下面就来分析如何提高这个下界。,27,对结点i而言，设e (i)1与e (i)2分别为与结点i关联的边中长度最小的两条边，其长度分别为dmin (i, 1) 和dmin (i, 2)。 在对称型TSP回路中，由于有且仅有两条边与每一结点关联，因此，并不是与每个结点关联的最小两条边都能出现在最优TSP回路中，这意味可以在node_ base(i)的基础上增加TSP回路的长度，将在这种情况下增加的长度记为Adjust
15、 (T)，现在分析如何计算Adjust(T)。,28,对结点i的e (i)1，边e (i)1的一个结点为i，另一个结点为j = dmin_j (i,1)，若e (i)1也是结点j关联边中最小的两条边之一，即 i = dmin_j (j,1) 或 i = dmin_j (j,2)，则对边e (i)1来说就不需要调整，否则按以下方式调整：,29,若e (i)1不是结点j=dmin_j(i,1)关联边中最小的两条边之一，则只有以下两种情况： 选中e (i)1到TSP回路中 此时对结点i不需调整，对结点j来说，由于边e (i)1出现在最优回路中，而e (i)1不是结点j关联边中最小的两条边之一，因此会
16、造成结点j关联边中最小的两条边中至少有一条不会出现在最优回路中，从而对结点j而言，在node_base (i)的基础上至少会增加的长度为 dmin (i,1) dmin (j,2) 。,30, 不选中e (i)1到TSP回路中 此时对结点i需要调整，由于边e (i)1不在回路中，故其在node_base (i)的基础上至少会增加的长度为 dmin (i,3) dmin (i,1)。 此时对结点j来说，由于与它关联的最短两条边仍然可能在回路中，因此不须调整。,31,对于和，必须有且仅有一种情况出现，现取两种情况中增加长度小的值，因而回路的长路一定会在b2的基础上增加：add_node (i,1) = 1/2*min (dmin (i,3) dmin (i,1), dmin (i,1) dmin (j,2)。 对结点i的e (i)2
