《圆和扇形的周长与面积.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《圆和扇形的周长与面积.pdf（5页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、五年级秋季班 第二讲 圆和扇形的周长与面积 曹威 第二讲 圆和扇形的周长和面积 2.1 第二讲第二讲 圆和扇形的周长与面积圆和扇形的周长与面积 一一、知识点概括知识点概括 1 1、基础知识介绍、基础知识介绍 （半径半径 r,直径直径 d,周长周长 C,面积面积 S,只要知道一个就可以推出另外三个，只要知道一个就可以推出另外三个，1推推 3） 基础练习：1已知圆的半径为 4，求其直径，周长，和面积？ 2已知圆的直径为 12，求其半径，周长，面积? 3已知圆的周长为 75.36，求其半径，直径，面积？ 4已知圆的面积为 314，求其半径，直径，周长？ 通过不通过不段段的基础练习使学员熟练掌握圆的周
2、长的基础练习使学员熟练掌握圆的周长、面积公式。、面积公式。 例1、 大圆周长与 4 个小圆的周长是一样长的。因为 4 个小圆的直径和等于大圆的直径，则 C= ,4 小圆周长和=大圆周长 和。 + 大 拓展练习：拓展练习： （1 1）已知半径为 4，求半圆图形的周长？（除了算出 C 以外，还要再加一个直径的长度） （2 4） =12.56+8=20.56 （2 2）半径增加 2 厘米，周长会增加多少厘米？半径增加 2，直径增加 4，则周长增加 4 12.56 2 2、曲线面积中常用图形面积总结、曲线面积中常用图形面积总结 (1) 扇形面积扇形面积 扇 扇 （2） 弓形面积：弓形面积： 弓 弓 扇
3、 扇 三角形 三角形 （3） 谷子面积：谷子面积： 谷 谷 弓 弓或 或 谷 谷 两两 扇形和减去一正方形面积（即半圆扇形和减去一正方形面积（即半圆 正方形）图如例正方形）图如例 （4） 弯角面积：弯角面积： 弯角 弯角 正方形 正方形 扇 扇 （5） 圆环面积：圆环面积： 环 环= = （ （ ） 3、常用方法：割补、平移、旋转割补、平移、旋转，其中旋转是本将的重点也是难点。 二、例题分析。二、例题分析。 例 1，例 2 为基础知识运用（总结略） 1 1、割补法、割补法（例 3） ：中间谷子型阴影面积可以一分为 2，正好可以分别与另两个阴影和在一起，则，3 个分开的阴影合并以后 即 为 扇
4、形 面 积 减 去 三 角 形 面 积 。 扇= = =12.56 三角 阴影 12.56-8=4.56 （作业 2,3 题都为割补练习） 五年级秋季班 第二讲 圆和扇形的周长与面积 曹威 第二讲 圆和扇形的周长和面积 2.2 F E A B C D F E A B C D E D C B A G E D C B F A 2 2、容斥原理、容斥原理（例 2） ：图中阴影面积即为谷子形，是两个 扇形面积的和再减去正方形的面积。 阴影面积=2 =2 =8 拓展练习拓展练习：1 1矩形 ABCD 中，AB=6,BC=4,扇形 ABE 半径 AE=6,扇形 BCF 的半径 CB=4,求阴影面积？（ 取
5、 3） （提示：扇形 ABE+扇形 BCF-矩形 ABCD=15） 2 2尖子班学案 2，直角三角形中 AB=3,AC=4.BC=5,求阴影面积。 （ 取 3） （提示：左半圆+右半圆+三角形 ABC-大半圆=6） 3 3、平移法、平移法和等积变形和等积变形（例 4，例 5） 例 4、将两空白面积和在一起即为正方形，则阴影面积=长方形-正方形=4 例 5、连接 AC,DF,则四边形 ACFD 为题型，AC 平行 DF，所以三角形等积变形原来的 ADF 面积变为 CDF 的面积，则整个阴 影面积即为扇形 CDF 的面积。阴影面积= 3.14 =113.04 4 4、旋转法、旋转法（例 6） 旋转
6、法是本讲的重点与难点，对于“羊吃草”的问题还是比较简单的。关键是直线型旋转面积，学员无法想到旋转法是本讲的重点与难点，对于“羊吃草”的问题还是比较简单的。关键是直线型旋转面积，学员无法想到 直线旋转后所扫发到过的面积，其实，由教师讲解后你会发现，一般情况下直线所扫过一周的面积（有特例，如：钝直线旋转后所扫发到过的面积，其实，由教师讲解后你会发现，一般情况下直线所扫过一周的面积（有特例，如：钝 角三角形的长边绕钝角顶点旋转时）就是一个圆环的面积。所以旋转多少度就再乘以角三角形的长边绕钝角顶点旋转时）就是一个圆环的面积。所以旋转多少度就再乘以 即可。 即可。 例 6，由第一个图可知：AC 边扫过的
7、面积即为图中黄色面积，该黄色面积是如何得来得呢？点 A,C,分别绕 B 点 以 AB 和 CB 为半径旋转而来，因此直线 AC 上每一点都如此操作，知识旋转半径不同。 由第二个图可知：两红色面积是一样的。因为两扇形 FBC 和 BDG 面积是一样的，半径相同，角度也相同， 都被三角形 ABC 剪掉后，所剩部分也是相同的。 由第三个图可知：所求面积已转化为扇环的面积，圆心角度数为 120 度。所以 阴影= （ ） S= D F E BC A C B A G E D C B F A 五年级秋季班 第二讲 圆和扇形的周长与面积 曹威 第二讲 圆和扇形的周长和面积 2.3 D B A C E F G
8、D B A C E A C O B 拓展练习： “羊吃草”问题拓展练习： “羊吃草”问题 草场上有一个长草场上有一个长 2020 米，宽米，宽 1010 米的关闭着的羊圈，在羊圈外的一角，用长米的关闭着的羊圈，在羊圈外的一角，用长 3030 米的绳子拴着一只羊，问这只羊能米的绳子拴着一只羊，问这只羊能 够活动的最大范围是多少？（够活动的最大范围是多少？（ ） 分析：如图，羊活动的范围是受绳子的牵制的，所以羊活动的最大范围即绳子 AE 所扫过的总面积。 （三部分） （1） 红色部分为按绳长 30 米所能达到的最大范围（绳子不受任何牵制） ，此图形为半径 30， 圆心角 270 度的扇形。 （2）
9、 黄色部分为按绳长 10 米所能达到的最大范围（绳子受点 D 牵制） ，所以之后只能按半径 AE-AD=DG=10，圆心角 90 度的扇形活动。 （3） 蓝色部分与黄色部分相同，半径变为 AE-AB=BF=20,圆心角 90 度的扇形。 S= + + = =2400 三、三、 本讲拓展练习本讲拓展练习 （一）周长计算（一）周长计算 1、 1 已知圆的半径为 5，求其直径、周长、面积？ 2 已知圆的直径为 14，求其半径、周长、面积？ 3 已知圆的周长为 12.56，求其半径、直径、面积？ 4 已知圆的面积为 200.96，求其半径、直径、周长？ 2、ABC 恰好把圆周分为三等分，有两只蚂蚁，一
10、只从 A 出发，顺着圆周爬回远处 A，另一只从 A 出发沿着弧 AOB、 弧 BOC、弧 COA、爬回远处 A.若它们爬行的速度一样快，那么哪只蚂蚁先爬回到远处 A? 分析：因为分析：因为 A A、B B、C C 三点为三等分点所以弧三点为三等分点所以弧 AOBAOB、弧、弧 BOCBOC、弧、弧 COACOA、的和即为圆周长。所以两、的和即为圆周长。所以两 只蚂蚁一起回到只蚂蚁一起回到 A A 处。处。 3、一个直径为 厘米的圆，在圆的直径上有一条曲线，它是由五个半圆弧构成的，五个半圆的圆心都在直径 AB 上 ，求这条曲线的长？ 分析：此题同例分析：此题同例 1 1，五小圆直径和等于大圆直径
11、，所以五小圆的周长和也等于大圆的周长，则，五小圆直径和等于大圆直径，所以五小圆的周长和也等于大圆的周长，则 五小圆的周长一半也等于大圆周长的一半。即五小圆的周长一半也等于大圆周长的一半。即 =10 =10 （二）（二）面积计算面积计算( ( ) ) 1 1、 割补法割补法 （1） 半圆的直径为 20 厘米，以直径的一段为圆心，画一个圆心角为 45 度的扇形， 求阴影部分的面积？ S=S= 3 3 1010 AB 五年级秋季班 第二讲 圆和扇形的周长与面积 曹威 第二讲 圆和扇形的周长和面积 2.4 E D C A B D C AB （2） 等腰直角三角形的直角边长为 8 厘米，以两条直角边为直
12、径画半圆，求阴影面积？ 分析：将虚线半圆绕分析：将虚线半圆绕 A A 点逆时针旋转点逆时针旋转 9090 度，点度，点 B B 落在落在 B B点，则阴影面积为大圆减去中间正方形面积。点，则阴影面积为大圆减去中间正方形面积。 S=S= - -4 4 =16=16 （3） 正方形边长 AB=8，其中 AC=6，求阴影面积？ 分析：正方形被对角线平分后是一个对称图形，所以两阴影合并后形成长方形分析：正方形被对角线平分后是一个对称图形，所以两阴影合并后形成长方形 S=2S=2 2 2、容斥原理、容斥原理 （1） 正方形边长为 4，求阴影面积？（同例 2，分析略） （2） 三角形 ABC 为等腰直角三
13、角形，直角 AB 边为 10，以 AB 为直径做半圆与斜边 BC 交于 D 点，CA 为半径做弧与斜边交 于 E 点，求阴影面积？ 分析：此图形阴影面积应为扇形分析：此图形阴影面积应为扇形 ACE+ACE+半圆半圆 ADEADE- -等腰直角三角形等腰直角三角形 ABC=ABC=2525 3 3、平移、平移 （1） 长方形的长宽分别为 4 和 2，求阴影面积？ 分析：分析：阴影面积可分为阴影面积可分为弓形和三角形，其中三角形弓形和三角形，其中三角形 ABDABD 可等积变形，可等积变形，点点 B B 沿沿 BCBC 移到移到 C C 点面积不变（点面积不变（对角线对角线 ADAD 平行平行 BCBC） 。最后阴） 。最后阴影面积转化为扇形影面积转化为扇形 ADCADC 的面积。的面积。 S=S= （2） BC 是半径为 6 的圆 O 上的弦，且 BC 的长度与半径相等，A 为圆外一点，OA=12，且 OA 与 BC 平行，求阴影面积？
