第四部分傅里叶变换教材课程

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1、1,第四章 傅里叶变换,4.1 正交函数,4.2 周期信号的频谱分析,4.3 典型周期信号的频谱,4.4 非周期信号的频谱分析,4.5 典型非周期信号的频谱,引言,2,引言,3,频域分析,从本章开始由时域转入变换域分析，首先讨论傅里叶变换。傅里叶变换是在傅里叶级数正交函数展开的基础上发展而产生的，这方面的问题也称为傅里叶分析（频域分析）。将信号进行正交分解，即分解为三角函数或复指数函数的组合。 频域分析将时间变量变换成频率变量，揭示了信号内在的频率特性以及信号时间特性与其频率特性之间的密切关系，从而导出了信号的频谱、带宽以及滤波、调制和频分复用等重要概念。,4,发展历史,1822年，法国数学家

2、傅里叶(J.Fourier,1768-1830)在研究热传导理论时发表了“热的分析理论”，提出并证明了将周期函数展开为正弦级数的原理，奠定了傅里叶级数的理论基础。 泊松(Poisson)、高斯(Guass)等人把这一成果应用到电学中去，得到广泛应用。 19世纪末，人们制造出用于工程实际的电容器。 进入20世纪以后，谐振电路、滤波器、正弦振荡器等一系列具体问题的解决为正弦函数与傅里叶分析的进一步应用开辟了广阔的前景。 在通信与控制系统的理论研究和工程实际应用中，傅里叶变换法具有很多的优点。 “FFT”快速傅里叶变换为傅里叶分析法赋予了新的生命力。,6,傅里叶生平,1768年生于法国 1807年提

3、出“任何周期信号都可用正弦函数级数表示” 1829年狄里赫利第一个给出收敛条件 拉格朗日反对发表 1822年首次发表在“热的分析理论” 一书中,7,傅里叶 ( Jean Baptise Joseph Fourier 17681830 ),法国数学家。1768年3月21日生于奥塞尔，1830年5月16日卒于巴黎。1795年曾在巴黎综合工科学校任讲师。 1798年随拿破仑远征埃及，当过埃及学院的秘书。1801年回法国，又任伊泽尔地区的行政长官。1817年傅里叶被选为科学院院士，并于1822年成为科学院的终身秘书。1827年又当选为法兰西学院院士。,在十八世纪中期,是否有用信号都能用复指数的线性组合

4、来表示这个问题曾是激烈争论的主题。1753年,D.伯努利曾声称一根弦的实际运动都可以用正弦振荡模的线性组合来表示,但他没有继续从数学上深入探求下去;后来欧拉本人也抛弃了三角级数的想法。,8,在1759年拉格朗日(J.L.Lagrange)表示不可能用三角级数来表示一个具有间断点的函数,因此三角级数的应用非常有限。正是在这种多少有些敌对和怀疑的处境下,傅里叶约于半个世纪后提出了他自己的想法。傅里叶很早就开始并一生坚持不渝地从事热学研究，1807年他在向法国科学院呈交一篇关于热传导问题的论文中宣布了任一函数都能够展成三角函数的无穷级数。这篇论文经 J.-L.拉格朗日, P.-S.拉普拉斯, A.-

5、M.勒让德等著名数学家审查，由于文中初始温度展开为三角级数的提法与拉格朗日关于三角级数的观点相矛盾，而遭拒绝。由于拉格朗日的强烈反对,傅里叶的论文从未公开露面过。为了使他的研究成果能让法兰西研究院接受并发表,在经过了几次其他的尝试以后,傅里叶才把他的成果以另一种方式出现在热的分析理论这本书中。这本书出版于1822年,也即比他首次在法兰西研究院宣读他的研究成果时晚十五年。这本书已成为数学史上一部经典性的文献，其中基本上包括了他的数学思想和数学成 就。,9,书中处理了各种边界条件下的热传导问题，以系统地运用三角级数和三角积分而著称，他的学生以后把它们称为傅里叶级数和傅里叶积分，这个名称一直沿用至今

6、。傅里叶在书中断言：“任意”函数（实际上要满足 一定的条件,例如分段单调）都可以展开成三角级数,他列举大量函数并运用图形来说明函数的这种级数表示的普遍性，但是没有给出明确的条件和完整的证明。 傅里叶的创造性工作为偏微分方程的边值问题提供了基本的求解方法-傅里叶级数法,从而极大地推动了微分方程理论的发展，特别是数学物理等应用数学的发展； 其次，傅里叶级数拓广了函数概念，从而极大地推动了函数论的研究，其影响还扩及纯粹数学的其他领域。 傅里叶深信数学是解决实际问题的最卓越的工具， 并且认为“对自然界的深刻研究是数学最富饶的源泉。” 这一见解已成为数学史上强调通过实际应用发展数学的一种代表性的观点。,

7、10,傅立叶的两个最主要的贡献,“周期信号都可表示为谐波关系的正弦信号的加权和”傅里叶的第一个主要论点 “非周期信号都可用正弦信号的加权积分表示”傅里叶的第二个主要论点,11,域分析：傅里叶变换，自变量为 j 复频域分析：拉氏变换, 自变量为 S = +j Z域分析：Z 变换，自变量为z,变换域分析：,12,4.1 正交函数,正交矢量 正交函数 正交函数集 用完备正交集表示信号,13,一、正交矢量,矢量：V1 和 V2 参加如下运算， 是它们的差，如下式：,14,表示 和 互相接近的程度,当 ， 完全重合，则 随夹角增大， 减小； 当 ， 和 相互垂直,15,二维正交集 三维正交集,16,二、

8、 正交函数,令 则误差能量 最小,17,解得,18,正交条件,若 ， 则 不包含 的分量，则称正交。 正交的条件：,19,例：,试用sint 在区间（0，2 ）来近似,1,t,0,-,1,20,解：,所以：,21,例：试用正弦sint 在（0，2 ）区间内来表示余弦cost 显然,所以,说明cost 中不包含 sint 分量， 因此cost 和 sint 正交.,22,三、 正交函数集,n个函数 构成一函数集， 如在区间 内满足正交特性，即,则此函数集称为正交函数集,23,任意函数由n个正交的函数的线性组合所近似,由最小均方误差准则，要求系数 满足,24,在最佳逼近时的误差能量,归一化正交函数

9、集：,25,复变函数的正交特性,两复变函数正交的条件是,26,四 用完备正交集表示信号,27,另一种定义：在正交集 之外再没有一有限能量的x(t)满足以下条件,三角函数集 复指数函数集,28,4.2 周期信号的频谱分析,周期信号可展开成正交函数线性组合的无穷级数： . 三角函数式的 傅立里叶级数 cosn1t, sinn1t. 复指数函数式的傅里叶级数 e j n 1t ,29,一、三角函数的傅里叶级数:,直流 分量,基波分量 n =1,谐波分量 n1,30,直流系数,余弦分量 系数,正弦分量 系数,31,狄利赫利条件：,在一个周期内只有有限个间断点； 在一个周期内有有限个极值点； 在一个周期

10、内函数绝对可积，即 一般周期信号都满足这些条件.,32,三角函数是正交函数,33,周期信号的另一种三角函数正交集表示,34,比较几种系数的关系,35,周期函数的频谱：,周期信号的谱线只出现在基波频率的整数倍的频率处。直观看出：各分量的大小，各分量的频移， Cn,36,二、周期函数的复指数级数,由前知 由欧拉公式 其中,引入了负频率,37,周期复指数信号的频谱图,38,指数形式的傅里叶级数的系数,两种傅氏级数的系数间的关系,39,两种傅氏级数的系数间的关系,40,周期复指数信号的频谱图的特点,引入了负频率变量，没有物理意义，只是数学推导； Cn 是实函数，Fn 一般是复函数， 当 Fn 是实函数

11、时，可用Fn 的正 负表示0和相位， 幅度谱和相 位谱合一；,41,三、周期信号的功率特性,P为周期信号的平均功率 符合帕斯瓦尔定理,42,四、对称信号的傅里叶级数,三种对称： 偶函数 ：f (t )=f (-t) 奇函数 ：f (t )= - f (-t) 奇谐函数 ：半周期对称 任意周期函数有： 偶函数项 奇函数项,43,周期偶函数只含直流和,其中a是实数 bn=0 Fn是实数,44,例如:周期三角函数是偶函数,E,f(t),T1/2,-T1/2,t,45,周期奇函数只含正弦项,Fn为虚数,46,例如周期锯齿波是奇函数,E/2,-E/2,T1/2,-T1/2,f(t),t,0,47,奇谐函

12、数 ：,沿时间轴移半个周期； 反转； 波形不变； 半周期对称,48,奇谐函数 的波形：,f(t),T1/2,-T1/2,0,t,49,奇谐函数的傅氏级数,奇谐函数的偶次谐波的系数为0,50,例：利用傅立叶级数的对称性判断所含有的频率分量,周期偶函数，奇谐函数，只含基波和奇次谐波的余弦分量,周期奇函数，奇谐函数，只含基波和奇次次谐波的正弦分量,51,含有直流分量和正弦分量,只含有正弦分量,含有直流分量和余弦分量,52,五、傅里叶有限级数,如果完全逼近，则 n= ; 实际中，n=N, N是有限整数。 如果 N愈接近 n ，则 其均方误差愈小 若用2N1项逼近，则,53,误差函数和均方误差,误差函数

13、 均方误差,54,例如: 对称方波, 是偶函数且奇谐函数,只有奇次谐波的余弦项。,E/2,-E/2,T1/4,-T1/4,t,55,对称方波有限项的傅里叶级数,N=1 N=2 N=3,56,有限项的N越大，误差越小例如: N=11,57,由以上可见：,N越大，越接近方波 快变信号，高频分量，主要影响跳变沿； 慢变信号，低频分量，主要影响顶部； 任一分量的幅度或相位发生相对变化时，波形将会失真 有吉伯斯现象发生,58,4.3 典型周期信号的频谱,周期矩形脉冲信号 周期锯齿脉冲信号 周期三角脉冲信号 周期半波脉冲信号 周期全波脉冲信号,59,一、周期矩形脉冲信号的频谱,f(t),t,0,E,-T,

14、T,60,61,x(t),Fn,t,0,0,E,T,-T,62,频谱分析表明,离散频谱，谱线间隔为基波频率，脉冲周期越大，谱线越密。 各分量的大小与脉幅成正比，与脉宽成正比，与周期成反比。 各谱线的幅度按 包络线变化。过 零点为： 主要能量在第一过零点内。主带宽度为：,63,周期矩形的频谱变化规律：,若T不变，在改变的情况 若不变，在改变T时的情况,T,64,对称方波是周期矩形的特例,T1,T1/4,-T1/4,实偶函数,周期矩形 奇谐函数,对称方波 奇次余弦,65,对称方波的频谱变化规律,T,T/4,-T/4,奇次谐波,0,0,0,66,傅立叶级数,傅立叶级数 的系数,T1 信号的周期,脉宽,基波频率1,傅立叶级数小结,67,当周期信号的周期T1无限大时,就演变成了非周期信号的单脉冲信号,频率也变成连续变量,4.4 非周期信号的频谱分析,68,频谱演变的定性观察,-T/2,T/2,T/2,-T/2,69,1.从周期信号FS推导非周期的FT,傅立叶 变换,70,2.傅立叶的逆变换,傅立叶 逆变换,71,3.从物理意义来讨论FT,(a) F()是一个密度函数的概念 (b) F()是一个连续