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1、昌平区 20112012 学年度第二学期高三年级第二次统一练习 数学试卷（文科）2012. 4 考生注意事项： 1.本试卷共6 页， 分第卷选择题和第卷非选择题两部分，满分 150 分， 考试时间120 分钟 2答题前， 考生务必将学校、班级、 姓名、 考试编号填写清楚答题卡上第一部分(选 择题 )必须用 2B 铅笔作答，第二部分(非选择题 )必须用黑色字迹的签字笔作答，作图时必须 使用 2B 铅笔 3修改时，选择题用塑料橡皮擦干净，不得使用涂改液请保持卡面整洁，不要折叠、 折皱、破损不得在答题卡上作任何标记 4请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，未在对应的答题区域作答或超出答题 区域的作
2、答均不得分 第一部分（选择题共 40 分） 一、选择题共8 小题，每小题5 分，共 40 分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目 要求的一项 . 1. 若集合0 x|xA,4| 2 xxB，则BA A.02x|x B. 20 x|x C. 22x|x D. 2x|x 2. “1x” 是“0lg x垂直”的 A. 充分而不必要条件B 必要而不充分条件C. 充要条件D.既不充分也不必要条件 3.下列函数在其定义域内既是奇函数又是增函数的是 AlgyxBtanyx C3 x yD 1 3 yx 4. 已知空间几何体的三视图如图所示，则该几 何体的体积是 A. 3 4 B. 3 8 C. 4D.
3、8 主视图左视图 2 2 俯视图 2 5. 已知函数( )sin(0,0,) 2 f xAxA的部分图象如图所示，则 A. 4 B. 6 C. 3 D. 12 5 6. 爬山是一种简单有趣的野外运动，有益于身心健康，但要注意安全，准备好必需物品， 控制好速度 .现有甲、 乙两人相约爬山，若甲上山的速度为 1 v，下山的速度为 2 v（ 21 vv）， 乙上下山的速度都是 2 21 vv （甲、乙两人中途不停歇） ， 则甲、乙两人上下山所用的时间 21,t t 的关系为 A 21 ttB. 21 ttC. 21 ttD. 不能确定 7. 四面体的四个面的面积分别为 1 S、 2 S、 3 S、
4、4 S，记其中最大的面积为S，则 S S i i 3 4 1 的 取值范围是 A. 2 3 1 (,B. 2 3 1 ,C. ( 3 4 3 2 , D. 3 4 3 2 , 8. 设 等 差 数 列 n a的 前n项 和 为 n S， 已 知 3 77 12012(1)1aa， 3 20062006 12012(1)1aa，有下列结论： 2012 2012S； 2012 2012S； 20127 aa； 20127 aa其中正确的结论序号是 ABCD 第二部分（非选择题共 110分） 二、填空题共6 小题，每小题5 分，共 30 分. 9. i(1-2 i ) =_. 10. 若向量ba,满
5、足32baa,|，ba,cos 4 3 ，则|b| = _. 5 12 y O x 2 6 11. 已知双曲线的方程为1 4 2 2 y x ，则其渐近线的方程为_,若抛物线 pxy2 2 的焦点与双曲线的右焦点重合，则_p. 12. 如图给出了一个程序框图，其作用是输入 x的值，输出相应的y值，若要使输入的x值 和 输 出 的y值 相 等 ， 则 这 样 的x值 有 _个. 13 若变量x , y 满足约束条件 4 0 0 xy y x 表示平面区域M， 则平面区域M 的面积是 _; 当 42a时，动直线ayx所经过的平面区域M 的面积为 _. 14. 若对于定义在R上的函数f (x) ,其
6、图象是连续不断的，且存在常数(R)使得 f (x +) +f (x) = 0 对任意实数x 都成立，则称f (x) 是一个 “ 伴随函数 ” . 有下列关于 “ 伴随函数 ” 的结论： f (x) =0 是常数函数中唯一个“ 伴随函数 ” ； f (x) = x 2是一个 “ 伴 随 函 数 ” ； “ 2 1 伴 随 函 数 ” 至 少 有 一 个 零 点 . 其 中 不 正 确 的 序 号 是 _（填上所有不正确 的结论序号） 三、解答题 (本大题共6 小题，共80 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15 （本小题满分13 分） 已知向量(cos ,sin )a，(3,1)b,
7、22 . （）当ba时，求的值； （）求 ba 的取值范围 . y=2x-3 否 是 开始 输入 x x5 y= x -1 输出 y 结束 是 否 x2 y=x 2 16(本小题满分13 分) 某日用品按行业质量标准分成五个等级，等级系数X 依次为1，2，3，4，5.现从一批 日用品中随机抽取20 件，对其等级系数进行统计分析，得到频率分布表如下表所示： ()若所抽取的20 件日用品中， 等级系数为2 的恰有 4 件， 求 a,b,c 的值； （）在 （） 的条件下， 从等级为4 的 2 件日用品和等级为 5 的 3 件日用品中任取两件（假定每件日用品被取出的可能性相 同），写出所有可能的结果
8、，并求这两件日用品的等级系数恰好 相等的概率 . 17.（本小题满分13 分） 在正四棱柱 1111 ABCDA B C D中，E为AD中点 , F为 11 B C中点 . （）求证 : 1 / /A F平面 1 ECC； （）在CD上是否存在一点G,使BG平面 1 ECC? 若存在，请确定点G的位置，并证明你的结论；若不存 在，请说明理由. 18 （本小题满分14 分） 已知函数 2 ( )4ln6f xxaxxb（a，b为常数），且2x为( )f x的一个极值点 () 求a的值； () 求函数( )f x的单调区间； () 若函数( )yf x有 3 个不同的零点，求实数b的取值范围 等级
9、频数频率 1 ca 2 4 b 3 9 0.45 4 2 0.1 5 3 0.15 合计20 1 F E D1C1 B1 A1 D C B A 19 （本小题满分14 分） 已知椭圆 C: 22 22 1(0) xy ab ab ，过点 B（0，1）, 离心率为 2 2 3 . （）求椭圆C 的方程； （）是否存在过点(0,2)P的直线l与椭圆交于M， N 两个不同的点， 且使 1 2 PMPN 成立？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由. 20. (本小题满分13 分) 设 数 列 n a的 首 项 2 1 1a ， 前n项 和 为 n S， 且 对 任 意 * ,Nmn都 有 )
10、53( )53( mm nn S S m n ，数列 n a中的部分项ka k b( N *）成等比数列，且 .4,2 21 bb () 求数列与 nn ba 与的通项公式; （）令 1 1 )( n b nf，并用 x 代替 n 得函数)(xf，设)(xf的定义域为R , 记)(.) 2 () 1 ()0( * Nn n n f n f n ffcn, 求 n iiicc11 1 . 昌平区 20112012 学年度第二学期高三年级第二次统一练习 数学(文科)试卷参考答案及评分标准2012.4 一、选择题 (本大题共8 小题，每小题5 分，共 40 分 ) 题号1 2 3 4 5 6 7 8
11、 答案B C D B B A C D 二、填空题 (本大题共6 小题，每小题5 分，共 30 分 ) 9 -2-i 10. 2 11. xy 2 1 , 52 12. 3 138 , 7 14. 注： 11,13 题第一空2 分. 三、解答题 (本大题共6 小题，共80 分 ) 15.（本小题满分13 分） 解： （）ba0sincos3 2 分 得3tan 22 即：= 3 6 分 （）由ba)sin( 3 2sincos3 9分 22 636 5 10分 2 1 ) 3 s i n (11) 3 sin(22 12分 12ba 13分 16 (本小题满分13 分 ) 解:（）由频率分布表得
12、115010450.ba即30.ba2 分 因为抽取20 件日用品中，等级系数为2 的恰有 4 件，所以20 20 4 .b 解得10.a，21020.c5 分 从而 10350.cb.a 所以22010c ,.b ,.a6 分 () 从日用品 21 x,x， 321 y,y,y中任取两件，所有可能的结果为 , 2 1323121322212312111 x,xy,yyyyyy,xy,xy,xy,xy,xy,x , 9 分 设事件A 表示 “ 从日用品 21 x,x， 321 y,y,y中任取两件，其等级系数相等” ，则 A 包含的基 本事件, 22312121 y,yy,yy,yx,x共 4
13、 个，基本事件总数为10, 11分 故所求的概率40 10 4 .)A(P 13分 17.（本小题满分13 分） （）证明：在正四棱柱 1111 ABCDA B C D中，取BC中点M,连结,.AM FM 11 / /B FBMB FBM且. 四边形 1 B FMB是平行四边形 . 11 / /FMB BFMB B且. 2分 11 / /FMA AFMA A且， 四边形 1 AA FM是平行四边形. 1 / /FAAM. E为AD中点， / /AEMCAEMC且. 四边形AMCE是平行四边形 . 4分 / /CEAM. 1 / /CEA F. 11 ECCFA平面, 1 ECECC平面， 11
14、 / /A FECC平面. 6分 （）证明：在CD上存在一点G,使BG平面 1 ECC 取CD中点G，连结BG7 分 在正方形ABCD中, ,DEGC CDBCADCBCD CDEBCG. ECDGBC. 9 分 90CGBGBC. 90CGBDCE. G M F E D1C1 B1 A1 D C B A BGEC. 11分 ABCDCC平面 1 ,ABCDBG平面 1 CCBG, 1 ECCCC. BG平面 1 ECC. 故在 CD 上存在中点G,使得BG平面 1 ECC. 1 3 分 18 （本小题满分14 分） 解：() 函数 f (x)的定义域为（0，+）1 分 f (x) =62 4
15、 ax x 2 分 06422a)(f，则 a = 14 分 ()由() 知bxxxxf6ln4)( 2 f (x) = x xx x xx x x ) 1)(2(2462 62 4 2 6 分 由 f ( x) 0 可得 x 2 或 x 1，由 f (x) 0 可得 1 x 2 函数 f ( x ) 的单调递增区间为(0 ，1) 和 (2，+ ) ， 单调递减区间为(1 , 2 )9 分 () 由 ()可知函数 f (x)在 (0，1)单调递增，在 (1， 2)单调递减，在 (2， +) 单调递增 且当 x =1 或 x =2 时， f ( x) = 0 10 分 f (x) 的极大值为56
16、11ln4) 1(bbf 11 分 f (x)的极小值为bbf82ln41242ln4)2( 12分 由题意可知 082ln4)2( 05)1( bf bf 则2ln485b 14 分 19 （本小题满分14 分） 解： （）由题意可知1b, 3 221 1)(1 2 2 aa b a c 解得9 2 a 故椭圆M的方程为1 9 2 2 y x 4 分 （） 1 2 PMPN点 M 为 PN 的中点， 设)()( 2211 y,xN,y,xM则 12 2xx 5 分 （1）当直线的斜率k 不存在时，P(0,2),10()10(,N,M,易知不符合条件，此时直线方程 不存在 . 7 分 （2）当直线的斜率存在时
