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1、第1章 熵和互信息量,本章介绍 信源的统计特性和数学模型 各类信源的信息测度-熵及其性质 引入信息理论的一些基本概念和重要结论,通信系统模型：,对信息论的学习可从信源开始 消息是信息的载荷者。信息是抽象的，消息是具体的。要研究信息，还得从研究消息入手。 由于信源发送什么消息预先是不可知的，只能用概率空间来描述信源,1.1 信源的数学模型及分类,单符号信源：输出是单个符号（代码）的消息 离散信源 连续信源 平稳随机序列信源：信源输出的消息由一系列符号序列所组成，可用N维随机矢量 X(X1,X2,XN)描述，且随机矢量X 的各维概率分布都与时间起点无关-平稳！ 离散平稳信源 连续平稳信源 无记忆（
2、独立）离散平稳信源 有记忆信源 m阶马尔可夫信源 随机波形信源,连续信源,特点：输出是单个符号（代码）的消息，输出消息的符号集A的取值是连续的，可用一维的连续型随机变量X 来描述。 例：语音信号、热噪声信号、遥控系统中有关电压、温度、压力等测得的连续数据等等。 数学模型：连续型的概率空间。即：,或,满足,或,1.2 离散信源的信息熵及其性质,基本的离散信源可用一维随机变量X来描述信源的输出，信源的数学模型可抽象为:,问题：这样的信源能输出多少信息? 每个消息的出现携带多少信息量?,信息的度量,考虑： 信息的度量（信息量）和不确定性消除的程度有关，消除的不确定性获得的信息量； 不确定性就是随机性
3、，可以用概率论和随机过程来测度，概率小不确定性大； 推论： 概率小 信息量大，即信息量是概率的单调递减函数； 信息量应该具有可加性；,信息量的推导,某事件发生所含有的信息量应该是该事件发生的先验概率的函数。即： I (ai) f p(ai) 根据客观事实和人们的习惯概念，函数 f p(ai) 应满足以下条件： （1）它应是先验概率p(ai)的单调递减函数，即当 p (a1) p (a2) 时，有 f p (a1) f p (a2) ； （2）当p (ai) =1时， f p (ai) = 0 （3）当p (ai) =0时， f p (ai) = （4）两个独立事件的联合信息量应等于它们分别的信
4、息量之和。即统计独立信源的信息量等于它们分别的信息量之和。 可以证明对数函数满足上述条件：,一. 自信息,设离散信源X的概率空间为：,I(ai)代表两种含义： （1）当事件ai发生以前，表示事件ai发生的不确定性 （2）当事件ai发生以后，表示事件ai所提供的信息量,称事件ai发生所含有的信息量为 ai 的自信息量。定义为：,一点说明,计算自信息量时要注意有关事件发生概率的计算； 自信息量的单位取决于对数的底； 底为2，单位为“比特（bit, binary unit）”； 底为e，单位为“奈特（nat, nature unit）”； 底为10，单位为“哈特（hat, Hartley）”； 根据
5、换底公式得：,一般计算都采用以“2”为底的对数，为了书写简洁，常把底数“2”略去不写,1 nat = 1.44bit , 1 hat = 3.32 bit；,例 8个串联的灯泡x1，x2，x8，其损坏的可能性是等概率的，现假设其中有一个灯泡已损坏，问每进行一次测量可获得多少信息量？总共需要多少次测量才能获知和确定哪个灯泡已损坏。,解：收到某消息获得的信息量(即收到某消息后获得关于某事件发生的信息量) 不确定性减少的量 (收到此消息前关于某事件发生的不确定性) - (收到此消息后关于某事件发生的不确定性),已知8个灯泡等概率损坏，所以先验概率P (x1)1/8 ，即,第二次测量获得的信息量 =
6、I P (x2) - I P (x3)=1(bit) 第三次测量获得的信息量 = I P (x3) =1(bit) 至少要获得3个比特的信息量就可确切知道哪个灯泡已坏了。,第一次测量获得的信息量 = I P (x1) - I P (x2)=1(bit) 经过二次测量后，剩2个灯泡，等概率损坏，P (x3)1/2,一次测量后，剩4个灯泡，等概率损坏，P (x2)1/4,二. 信息熵,对一个信源发出不同的消息所含有的信息量也不同。所以自信息I(ai)是一个随机变量，不能用它来作为整个信源的信息测度。 定义自信息的数学期望为平均自信息量Hr(X)，称为信息熵：,由于这个表达式和统计物理学中热熵的表达
7、式相似，且在概念上也有相似之处，因此借用“熵”这个词，把H(X)称为信息“熵”； 信息熵的单位由自信息量的单位决定，即取决于对数的底。,H(X)的单位：r 进制单位符号 （r1）,熵的计算例： 有一布袋内放l00个球，其中80个球是红色的，20个球是白色的。随便摸出一个球，猜测是什么颜色，那么其概率空间为：,如果被告知摸出的是红球，那么获得的信息量是： I (a1) log p(a1) log0.8= 0.32 （比特） 如被告知摸出来的是白球，所获得的信息量应为： I (a2) log p(a2) log0.2 = 2.32 （比特） 平均摸取一次所能获得的信息量为 ： H(X)= p(a1
8、) I (a1) + p(a2) I (a2) =0.72（比特/符号）,熵的含义,熵是从整个集合的统计特性来考虑的，它从平均意义上来表征信源的总体特征。 在信源输出后，信息熵H(X)表示每个消息提供的平均信息量； 在信源输出前，信息熵H(X) 表示信源的平均不确定性； 信息熵H(X) 表征了变量X的随机性。 例如，有两信源X、Y，其概率空间分别,计算其熵，得：H(X)=0.08（ bit /符号） H(Y)=1（bit / 符号） H(Y)H(X)，因此信源Y比信源X的平均不确定性要大。,例 设甲地的天气预报为：晴(占48)、阴(占28)、大雨(占18)、小雨(占18)。又设乙地的天气预报为
9、：晴 (占78)，小雨(占18)。试求两地天气预报各自提供的平均信息量。若甲地天气预报为两极端情况，一种是晴出现概率为1而其余为0。另一种是晴、阴、小雨、大雨出现的概率都相等为14。试求这两极端情况所提供的平均信息量。又试求乙地出现这两极端情况所提供的平均信息量。,两个信源,解：甲地天气预报构成的信源空间为:,则其提供的平均信息量即信源的信息熵:,乙地天气预报的信源空间为:,结论：甲地天气预报提供的平均信息量大于乙地，因为乙地比甲地的平均不确定性小。,甲地极端情况,极端情况1：晴天概率1,结论：等概率分布时信源的不确定性最大，所以信息熵（平均信息量）最大。,极端情况2：各种天气等概率分布,乙地
10、极端情况,极端情况1：晴天概率1,结论：在极端情况2下，甲地比乙地提供更多的信息量。 因为，甲地可能出现的消息数比乙地可能出现的消息数多。,极端情况2：各种天气等概率分布,信息熵是信源概率空间的一种特殊矩函数。这个矩函数的大小，与信源的符号数及其概率分布有关。 我们用概率矢量P来表示概率分布P(x)：,三、信息熵的基本性质,这样，信息熵H(X)是概率矢量P或它的分量p1，p2，pq的q-1元函数(因各分量满足上述条件限制，所以独立变量只有q-1元)。 一般 H(X)可写成：,熵函数,H(P)是概率矢量P的函数，称为熵函数。 用下述表示方法： 用H(x) 表示以离散随机变量x描述的信源的信息熵；
11、 用H(P) 或 H(p1, p2 , , pq )表示概率矢量为 P = (p1, p2 , , pq )的q个符号信源的信息熵。 若当 q =2 时，因为 p1+p2 = 1, 所以将两个符号的熵函数写成H(p1)或H(p2)。 熵函数H(P)是一种特殊函数，具有以下性质。,性质：,1、对称性： H(P) 的取值与分量 p1, p2 , , pq的顺序无关。 说明： 从数学角度： H(P)= pi log pi 中的和式满足交换率； 从随机变量的角度：熵只与随机变量的总体统计特性有关。 例,2、确定性：H(1,0)=H(1,0,0)=H(1,0,0,0)=0 性质说明：从总体来看，信源虽然
12、有不同的输出符号，但它只有一个符号几乎必然出现，而其它符号则是几乎不可能出现，那么，这个信源是一个确知信源，其熵等于零。 3、非负性： H(P) 0 说明： 随机变量X的概率分布满足0pi1，当取对数的底大于1时，log(pi) 0，-pilog(pi ) 0，即得到的熵为正值。只有当随机变量是一确知量时熵才等于零。 这种非负性合适于离散信源的熵，对连续信源来说这一性质并不存在。以后可看到在相对熵的概念下，可能出现负值。,非负性体现信息是非负的。,4、扩展性,性质说明：信源的取值数增多时，若这些取值对应的概率很小(接近于零)，则信源的熵不变。,所以，上式成立,因为,5、可加性 统计独立信源X和
13、Y的联合信源的熵等于信源X和Y各自的熵之和。 H(XY) = H(X)+ H(Y),可加性是熵函数的一个重要特性，正因具有可加性，才使熵函数的形式是唯一的。,证明：,例如，甲信源为,它们的联合信源是,可计算得联合信源的联合熵： H(Z) = H(XY) = log (nm) = log m + log n = H(X) + H(Y),乙信源为,6、强可加性 两个互相关联的信源X和Y的联合信源的熵等于信源X的熵加上在X已知条件下信源Y的条件熵。 H（XY）=H（X）+ H（Y/X）,H（Y/X）表示信源 X 输出一符号的条件下，信源Y再输出一符号所能提供的平均信息量，称为条件熵。,H（XY）=H
14、（X）+ H（Y/X）的证明：, H（XY）= H（X）+ H（Y/X）,7、递增性,若原信源 X 中有一个符号分割成了m个元素(符号)，这m个元素的概率之和等于原元素的概率，而其他符号的概率不变，则新信源的熵增加。 熵的增加量等于由分割而产生的不确定性量。,证明可以从熵的定义或强可加性得出：,即得：,递增性的推广,它表示n个元素的信源熵可以递推成(n-1)个二元信源的熵函数的加权和。这样，可使多元信源的熵函数的计算简化成计算若干个二元信源的熵函数。因此，熵函数的递增性又可称为递推性。,8、极值性(定理1.1) 在离散信源情况下，信源各符号等概率分布时，熵值达到最大。,性质表明等概率分布信源的
15、平均不确定性为最大。 这是一个很重要的结论，称为最大离散熵定理。,证明： 因为对数是型凸函数，满足詹森不等式Elog Y log EY，则有：,二进制信源是离散信源的一个特例。 该信源符号只有二个，设为“0”和“1”。符号输出的概率分别为“”和“1- ”，即信源的概率空间为：,H(X) = -log (1-) log(1-) =H(),即信息熵H(x)是的函数。 取值于0，1区间，可画出熵函数H() 的曲线来，如右图所示。,熵函数H(P)是概率矢量P(p1，p2， ，pq)的严格型凸函数(或称上凸函数)。 它表示：对任意概率矢量P1 (p1,p2, ,pq )和P2 (p1,p2, ,pq)，
16、和任意的 01，有： H P1十(1- )P2 H(P1)十(1-)H(P2) 因为熵函数具有上凸性，所以熵函数具有极值，其最大值存在。,9、上凸性,当离散平稳无记忆信源发出固定长度的消息序列时，则得到原信源的扩展信源 。 例如在电报系统中，若信源输出的是二个二元数字组成的符号序列，此时可认为是一个新的信源，它由四个符号（00，01，10，11）组成，我们把该信源称为二元无记忆信源的二次扩展信源。 如果把N个二元数字组成一组，则信源等效成一个具有2N个符号的新信源，把它称为二元无记信源的N次扩展信源。,1.3 离散无记忆信源的扩展信源,一般情况下，对一个离散无记忆信源X，其样本空间为a1,a2, ,aq ，对它的输出消息序列，可用一组组长度为N的序列来表示它。这时，它等效成一个新信源。 新信源输出的符号是N维离散随机矢量X =(X1，X2,XN)，其中每个分量Xi (i1,2,N)都是随机变量，它们都取值于同一信源符号集，并且分量之间统计独立，则由随机矢量X 组成的新信源称为离散无记忆信源X的N次扩展信源
