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1、一、空间曲线的一般方程,二、空间曲线的参数方程,三、空间曲线在坐标面上的投影,第四节 空间曲线及其方程,一、空间曲线的一般方程, 曲线上点的坐标都满足方程组（1）；,曲线与方程组的关系：, 不在曲线上的点的坐标不能同时满足两个方程.,空间曲线可以看作两个曲面的交线.,方程组(1)叫做空间曲线 C 的一般方程.,C,解,表示母线平行于 z 轴的圆柱面,在原点, 半径为1.,圆心,表示母线平行于 y 轴的柱面,它是一平面.,所以表示圆柱面与平面的交线 C为一椭圆.,例2 方程组,表示球面与平面的交线 C.,表示上半球面与圆柱面的交线C.,例3 方程组,练习1,P24,二、空间曲线的参数方程,这个方
2、程组叫做空间曲线的参数方程.,空间曲线C的方程除了一般方程外,也可以用参数形式,表示,只要将C上的动点坐标x , y , z 表示为参数t 的函数:,随着t 的变动便可得曲线上的全部点.,叫做螺旋线的螺距.,解,取时间 t 为参数，,设当t = 0时,动点位于,x 轴上的一点A(a,0,0)处.经过时间 t ,动,点由A运动到M(x , y , z ),记M在xOy面,上的投影为,所以,M构成的图形叫做螺旋线,试建立其参数方程.,例4,轴旋转,同时又以线速度v沿平行于z轴的正方向上升,那么点,其中、v为常数.,若令,例5. 将下列曲线化为参数方程表示:,解: (1),根据第一方程引入参数 ,(
3、2) 将第二方程变形为,故所求为,得所求为,三、空间曲线在坐标面上的投影,投影柱面,投影曲线,以曲线C为准线、母线平行于z轴的柱面叫做,曲线C关于xOy面的投影柱面.,投影柱面与xOy面的交线叫做空间曲线C,在xOy面上的投影曲线，或简称投影.,设空间曲线C 的一般方程为,（1）,消去变量 z 得方程,（2）,方程（2）表示一个母线平行于z轴的柱面，它必定包含曲线C.,一定包含C在xOy面上的投影.,包含曲线C 在 yOz 面上的投影曲线,空间曲线在yOz、zOx面上的投影? 方程？,包含曲线 C在 zOx 面上的投影曲线,思考：,求曲线 C在 xOy及 yOz 面上的投影方程.,例6 设空间
4、曲线 C,解,消去 x 得：,曲线 C在 yOz 面上的投影方程为:,消去 z 得：,曲线 C在 xOy上的投影方程为：,补充: 空间立体或曲面在坐标面上的投影.,空间立体,曲面,立体也好曲面也好 它们的投影问题,都要转化为曲线的投影问题.,例7 设一个立体由上半球面,求它在xOy 面上的投影.,解 上半球面和锥面的交线C为：,消去 z 得,因此交线 C 在 xOy 面上的投影曲线为：,于是所求立体在 xOy 面上的投影,是圆域：,两曲面的交线在 xOy面上的投影方程为：,解,练习2 求球面 与平面 的交线在xOy面 上的投影的方程.,消去 z 得：,即,练习3 求上半球 与圆柱体,的公共部分在xoy面和xoz面上的投影.,P40,P39,（1）在 xoy 面上的投影：,（2）在 zox 面上的投影：,（3）在 yoz 面上的投影：,练习4 求柱面 与 第一卦限部分所围立体 在各坐标面上的投影.,P40,P39,空间曲线,一般式,参数式,空间曲线在坐标面上的投影,曲线 C：,在 xOy 面上的投影曲线,内容小结,作业：1516,P36,综合题,求曲线,绕 z 轴旋转的曲面与平面,的交线在 xoy 平面的投影曲线方程.,解,旋转曲面方程为,交线为,此曲线向 xoy 面的投影柱面方程为,此曲线在 xoy 面上的投影曲线方程为,它与所给平面的,
