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1、,，,，,，,，点,2.如图 7，梯形中， 为线段上一动点（不与点,重合），,关于的轴对称图,（1）当点,落在梯形,的中位线上时，求 的值；(全等),（2）试用,表示，并写出,的取值范围；（相似）,（3）当,的外接圆与,相切时，求,的值（垂径定理+中线+等面积+相似）,的中位线，则,，过点作,【答案】解：（1）如图 1，为梯形 于点，则有： 在中，有 在中， 又,解得：,（2）如图 2，交,于点，,与,关于对称，,则有：,，,又,又,与,关于对称，,（3）如图 3，当,的外接圆与,相切时，则,为切点.,的圆心落在,的中点，设为,1,则有,，过点作,，,连接,，得,则,又,解得：,（舍去）, 3
2、.已知在平面直角坐标系 xOy 中，O 是坐标原点，以 P（1，1）为圆心的P 与 x 轴，y 轴 分别相切于点 M 和点 N，点 F 从点 M 出发，沿 x 轴正方向以每秒 1 个单位长度的速度运动， 连接 PF，过点 PEPF 交 y 轴于点 E，设点 F 运动的时间是 t 秒（t0） 若点 E 在 y 轴的负半轴上（如图所示），求证：PE=PF；（全等） 在点 F 运动过程中，设 OE=a，OF=b，试用含 a 的代数式表示 b；（全等+分类讨论） 作点 F 关于点 M 的对称点 F，经过 M、E 和 F三点的抛物线的对称轴交 x 轴于点 Q， 连接 QE在点 F 运动过程中，是否存在某
3、一时刻，使得以点 Q、O、E 为顶点的三角形与 以点 P、M、F 为顶点的三角形相似？若存在，请直接写出 t 的值；若不 存在，请说明理由（讨论对称轴+全等+相似） 【分析】：（1）连接 PM，PN，运用PMFPNE 证明，,2,分两种情况当 t1 时，点 E 在 y 轴的负半轴上，0t1 时，点 E 在 y 轴的正半轴或 原点上，再根据（1）求解， 分两种情况，当 1t2 时，当 t2 时，三角形相似时还各有两种情况，根据比例式 求出时间 t 【解答】： 证明：（1）如图，连接 PM，PN， P 与 x 轴，y 轴分别相切于点 M 和点 N， PMMF，PNON 且 PM=PN， PMF=P
4、NE=90且NPM=90，PEPF， NPE=MPF=90MPE，,在PMF 和PNE 中，,，PMFPNE（ASA），,PE=PF， （2）解：当 t1 时，点 E 在 y 轴的负半轴上，如图， 由（1）得PMFPNE，NE=MF=t，PM=PN=1， b=OF=OM+MF=1+t，a=NEON=t1， ba=1+t（t1）=2，b=2+a， 0t1 时，如图 2，点 E 在 y 轴的正半轴或原点上， 同理可证PMFPNE， b=OF=OM+MF=1+t，a=ONNE=1t， b+a=1+t+1t=2， b=2a， （3）如图 3，（）当 1t2 时， F（1+t，0），F 和 F关于点 M
5、 对称， F（1t，0） 经过 M、E 和 F三点的抛物线的对称轴交 x 轴于点 Q， Q（1 t，0）OQ=1 t， 由（1）得PMFPNE 来源:学,科,网 NE=MF=t，OE=t1,3,当OEQMPF=,=,，,解得，t=,，当OEQMFP 时，=，,=，解得，t=， （）如图 4，当 t2 时， F（1+t，0），F 和 F关于点 M 对称， F（1t，0） 经过 M、E 和 F三点的抛物线的对称轴交 x 轴于点 Q， Q（1 t，0）OQ= t1， 由（1）得PMFPNE NE=MF=t，OE=t1,当OEQMPF=,=,，无解，,当OEQMFP 时，=，,=,，解得，t=2，,时
6、，使得以点 Q、O、E 为顶点的三角形与以点 P、M、F,4,所以当 t=，t=，t=2 为顶点的三角形相似,【点评】：本题主要考查了圆的综合题，解题的关键是把圆的知识与全等三角形与相似三角 形相结合找出线段关系,3.木匠黄师傅用长 AB=3，宽 BC=2 的矩形木板做一个尽可能大的圆形桌面，他设计了四种 方案： 方案一：直接锯一个半径最大的圆； 方案二：圆心 O1、O2 分别在 CD、AB 上，半径分别是 O1C、O2A，锯两个外切的半圆拼成 一个圆；（圆心距+勾股） 方案三：沿对角线 AC 将矩形锯成两个三角形，适当平移三角形并锯一个最大的圆；（相似+ 设半径） 方案四：锯一块小矩形 BC
7、EF 拼到矩形 AFED 下面，利用拼成的木板锯一个尽可能大的圆 （1）写出方案一中圆的半径；,通过计算说明方案二和方案三中，哪个圆的半径较大？ 在方案四中，设 CE=x（0 x1），圆的半径为 y（分类讨论） 求 y 关于 x 的函数解析式； 当 x 取何值时圆的半径最大，最大半径为多少？并说明四种方案中哪一个圆形桌面的半径 最大,5,分析如下： 因为长方形的长宽分别为 3，2，那么直接取圆直径最大为 2，则半径最 大为 1,（2） 如图 1，方案二中连接 O1，O2，过 O1 作 O1EAB 于 E， 方案三中，过点 O 分别作 AB，BF 的垂线，交于 M，N，此时 M，N 恰 为O 与
8、 AB，BF 的切点 方案二： 设半径为 r， 在 RtO1O2E 中， O1O2=2r，O1E=BC=2，O2E=ABAO1CO2=32r， （2r）2=22+（32r）2， 解得 r= 方案三： 设半径为 r， 在AOM 和OFN 中， ， AOMOFN， ， ， 解 得 r= 比较知，方案三半径较大,6,4.如图，已知 l1l2，O 与 l1，l2 都相切，O 的半径为 2cm，矩形 ABCD 的边 AD、AB 分 别与 l1，l2 重合，AB=4 cm，AD=4cm，若O 与矩形 ABCD 沿 l1 同时向右移动，O 的 移动速度为 3cm，矩形 ABCD 的移动速度为 4cm/s，设
9、移动时间为 t（s） 如图，连接 OA、AC，则OAC 的度数为 105 ； 如图，两个图形移动一段时间后，O 到达O1 的位置，矩形 ABCD 到达 A1B1C1D1的位置，此时点 O1，A1，C1 恰好在同一直线上，求圆心 O 移动的距离（即 OO1 的 长）；（相似）,7,（3）在移动过程中，圆心 O 到矩形对角线 AC 所在直线的距离在不断变化，设该距离为 d （cm），当 d2 时，求 t 的取值范围（解答时可以利用备用图画出相关示意图）（相似+切 线）（数形结合+分类讨论）,8,（2）如图位置二，当 O1，A1，C1 恰好在同一直线上时，设O1 与 l1 的切点为 E， 连接 O1
10、E，可得 O1E=2，O1El1，,，,在 RtA1D1C1 中，A1D1=4，C1D1=4 tanC1A1D1=，C1A1D1=60，,在 RtA1O1E 中，O1A1E=C1A1D1=60， A1E=， A1E=AA1OO12=t2，,t2=， t=+2， OO1=3t=2,+6；,（3）当直线 AC 与O 第一次相切时，设移动时间为 t1， 如图，此时O 移动到O2 的位置，矩形 ABCD 移动到 A2B2C2D2 的位置， 设O2 与直线 l1，A2C2 分别相切于点 F，G，连接 O2F，O2G，O2A2， O2Fl1，O2GA2G2， 由（2）得，C2A2D2=60，GA2F=12
11、0， O2A2F=60，,在 RtA2O2F 中，O2F=2，A2F=,，,，,OO2=3t，AF=AA2+A2F=4t1+ 4t1+3t1=2，,9,5.如图，平面直角坐标系 xOy 中，一次函数 y= x+b（b 为常数，b0）的图象与 x 轴、y 轴分别相交于点 A、B，半径为 4 的O 与 x 轴正半轴相交于点 C，与 y 轴相交于点 D、E， 点 D 在点 E 上方,（1）若直线 AB 与,有两个交点 F、G,10,求CFE 的度数； 用含 b 的代数式表示 FG2，并直接写出 b 的取值范围；（垂径定理+直线方程） （2）设 b5，在线段 AB 上是否存在点 P，使CPE=45？若
12、存在，请求出 P 点坐标；若不 存在，请说明理由（相切+圆周角）,11,12,6.如图，矩形 ABCD 的边 AB=3cm，AD=4cm，点 E 从点 A 出发，沿射线 AD 移动，以 CE 为 直径作圆 O，点 F 为圆 O 与射线 BD 的公共点，连接 EF、CF，过点 E 作 EGEF，EG 与 圆 O 相交于点 G，连接 CG 试说明四边形 EFCG 是矩形； 当圆 O 与射线 BD 相切时，点 E 停止移动，在点 E 移动的过程中， 矩形 EFCG 的面积是否存在最大值或最小值？若存在，求出这个最大值或最小值；若不 存在，说明理由； 求点 G 移动路线的长,【考点】：圆的综合题；垂线
13、段最短；直角三角形斜边上的中线；矩形的判定与性质；圆 周角定理；切线的性质；相似三角形的判定与性质 【分析】：（1）只要证到三个内角等于 90即可 （2）易证点 D 在O 上，根据圆周角定理可得FCE=FDE，从而证到CFEDAB， 根据相似三角形的性质可得到 S 矩形 ABCD=2SCFE=然后只需求出 CF 的范围就可求出 S 矩形 ABCD 的范围根据圆周角定理和矩形的性质可证到GDC=FDE=定值，从而得到点 G 的移动的路线是线段，只需找到点 G 的起点与终点，求出该线段的长度即可 【解答】：解：（1）证明：如图 1， CE 为O 的直径，来源:学。科。网 Z。X。X。K CFE=C
14、GE=90 EGEF， FEG=90 CFE=CGE=FEG=90 四边形 EFCG 是矩形 （2）存在 连接 OD，如图 2，,13,四边形 ABCD 是矩形， A=ADC=90 点 O 是 CE 的中点， OD=OC 点 D 在O 上 FCE=FDE，A=CFE=90， CFEDAB,=（）2,AD=4，AB=3， BD=5， SCFE=（）2SDAB = 34 = S 矩形 ABCD=2SCFE = 四边形 EFCG 是矩形， FCEG FCE=CEG GDC=CEG，FCE=FDE， GDC=FDE FDE+CDB=90， GDC+CDB=90 GDB=90 当点 E 在点 A（E）处
15、时，点 F 在点 B（F）处，点 G 在点 D（G处，如图 2所示此 时，CF=CB=4 当点 F 在点 D（F）处时，直径 FGBD， 如图 2所示，,14,此时O 与射线 BD 相切，CF=CD=3 当 CFBD 时，CF 最小，此时点 F 到达 F， 如图 2所示 SBCD= BCCD= BDCF 43=5 CF CF= CF4,4 2,S 矩形 ABCD=， （）2S 矩形 ABCD S 矩形 ABCD12,矩形 EFCG 的面积最大值为 12，最小值为 GDC=FDE=定值，点 G 的起点为 D，终点为 G， 点 G 的移动路线是线段 DG GDC=FDE，DCG=A=90， DCGDAB = = DG= 点 G 移动路线的长为,15,【点评】：本题考查了矩形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、圆周角定理、直角 三角形斜边上的中线等于斜边的一半、垂线段定理等知识，考查了动点的移动的路线长，综 合性较强而发现CDG=ADB 及FCE=ADB 是解决本题的关键,16,
