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1、,,,,,,,,点,2.如图 7,梯形中, 为线段上一动点(不与点,重合),,关于的轴对称图,(1)当点,落在梯形,的中位线上时,求 的值;(全等),(2)试用,表示,并写出,的取值范围;(相似),(3)当,的外接圆与,相切时,求,的值(垂径定理+中线+等面积+相似),的中位线,则,,过点作,【答案】解:(1)如图 1,为梯形 于点,则有: 在中,有 在中, 又,解得:,(2)如图 2,交,于点,,与,关于对称,,则有:,,,又,又,与,关于对称,,(3)如图 3,当,的外接圆与,相切时,则,为切点.,的圆心落在,的中点,设为,1,则有,,过点作,,,连接,,得,则,又,解得:,(舍去), 3
2、.已知在平面直角坐标系 xOy 中,O 是坐标原点,以 P(1,1)为圆心的P 与 x 轴,y 轴 分别相切于点 M 和点 N,点 F 从点 M 出发,沿 x 轴正方向以每秒 1 个单位长度的速度运动, 连接 PF,过点 PEPF 交 y 轴于点 E,设点 F 运动的时间是 t 秒(t0) 若点 E 在 y 轴的负半轴上(如图所示),求证:PE=PF;(全等) 在点 F 运动过程中,设 OE=a,OF=b,试用含 a 的代数式表示 b;(全等+分类讨论) 作点 F 关于点 M 的对称点 F,经过 M、E 和 F三点的抛物线的对称轴交 x 轴于点 Q, 连接 QE在点 F 运动过程中,是否存在某
3、一时刻,使得以点 Q、O、E 为顶点的三角形与 以点 P、M、F 为顶点的三角形相似?若存在,请直接写出 t 的值;若不 存在,请说明理由(讨论对称轴+全等+相似) 【分析】:(1)连接 PM,PN,运用PMFPNE 证明,,2,分两种情况当 t1 时,点 E 在 y 轴的负半轴上,0t1 时,点 E 在 y 轴的正半轴或 原点上,再根据(1)求解, 分两种情况,当 1t2 时,当 t2 时,三角形相似时还各有两种情况,根据比例式 求出时间 t 【解答】: 证明:(1)如图,连接 PM,PN, P 与 x 轴,y 轴分别相切于点 M 和点 N, PMMF,PNON 且 PM=PN, PMF=P
4、NE=90且NPM=90,PEPF, NPE=MPF=90MPE,,在PMF 和PNE 中,,,PMFPNE(ASA),,PE=PF, (2)解:当 t1 时,点 E 在 y 轴的负半轴上,如图, 由(1)得PMFPNE,NE=MF=t,PM=PN=1, b=OF=OM+MF=1+t,a=NEON=t1, ba=1+t(t1)=2,b=2+a, 0t1 时,如图 2,点 E 在 y 轴的正半轴或原点上, 同理可证PMFPNE, b=OF=OM+MF=1+t,a=ONNE=1t, b+a=1+t+1t=2, b=2a, (3)如图 3,()当 1t2 时, F(1+t,0),F 和 F关于点 M
5、 对称, F(1t,0) 经过 M、E 和 F三点的抛物线的对称轴交 x 轴于点 Q, Q(1 t,0)OQ=1 t, 由(1)得PMFPNE 来源:学,科,网 NE=MF=t,OE=t1,3,当OEQMPF=,=,,,解得,t=,,当OEQMFP 时,=,,=,解得,t=, ()如图 4,当 t2 时, F(1+t,0),F 和 F关于点 M 对称, F(1t,0) 经过 M、E 和 F三点的抛物线的对称轴交 x 轴于点 Q, Q(1 t,0)OQ= t1, 由(1)得PMFPNE NE=MF=t,OE=t1,当OEQMPF=,=,,无解,,当OEQMFP 时,=,,=,,解得,t=2,,时
6、,使得以点 Q、O、E 为顶点的三角形与以点 P、M、F,4,所以当 t=,t=,t=2 为顶点的三角形相似,【点评】:本题主要考查了圆的综合题,解题的关键是把圆的知识与全等三角形与相似三角 形相结合找出线段关系,3.木匠黄师傅用长 AB=3,宽 BC=2 的矩形木板做一个尽可能大的圆形桌面,他设计了四种 方案: 方案一:直接锯一个半径最大的圆; 方案二:圆心 O1、O2 分别在 CD、AB 上,半径分别是 O1C、O2A,锯两个外切的半圆拼成 一个圆;(圆心距+勾股) 方案三:沿对角线 AC 将矩形锯成两个三角形,适当平移三角形并锯一个最大的圆;(相似+ 设半径) 方案四:锯一块小矩形 BC
7、EF 拼到矩形 AFED 下面,利用拼成的木板锯一个尽可能大的圆 (1)写出方案一中圆的半径;,通过计算说明方案二和方案三中,哪个圆的半径较大? 在方案四中,设 CE=x(0 x1),圆的半径为 y(分类讨论) 求 y 关于 x 的函数解析式; 当 x 取何值时圆的半径最大,最大半径为多少?并说明四种方案中哪一个圆形桌面的半径 最大,5,分析如下: 因为长方形的长宽分别为 3,2,那么直接取圆直径最大为 2,则半径最 大为 1,(2) 如图 1,方案二中连接 O1,O2,过 O1 作 O1EAB 于 E, 方案三中,过点 O 分别作 AB,BF 的垂线,交于 M,N,此时 M,N 恰 为O 与
8、 AB,BF 的切点 方案二: 设半径为 r, 在 RtO1O2E 中, O1O2=2r,O1E=BC=2,O2E=ABAO1CO2=32r, (2r)2=22+(32r)2, 解得 r= 方案三: 设半径为 r, 在AOM 和OFN 中, , AOMOFN, , , 解 得 r= 比较知,方案三半径较大,6,4.如图,已知 l1l2,O 与 l1,l2 都相切,O 的半径为 2cm,矩形 ABCD 的边 AD、AB 分 别与 l1,l2 重合,AB=4 cm,AD=4cm,若O 与矩形 ABCD 沿 l1 同时向右移动,O 的 移动速度为 3cm,矩形 ABCD 的移动速度为 4cm/s,设
9、移动时间为 t(s) 如图,连接 OA、AC,则OAC 的度数为 105 ; 如图,两个图形移动一段时间后,O 到达O1 的位置,矩形 ABCD 到达 A1B1C1D1的位置,此时点 O1,A1,C1 恰好在同一直线上,求圆心 O 移动的距离(即 OO1 的 长);(相似),7,(3)在移动过程中,圆心 O 到矩形对角线 AC 所在直线的距离在不断变化,设该距离为 d (cm),当 d2 时,求 t 的取值范围(解答时可以利用备用图画出相关示意图)(相似+切 线)(数形结合+分类讨论),8,(2)如图位置二,当 O1,A1,C1 恰好在同一直线上时,设O1 与 l1 的切点为 E, 连接 O1
10、E,可得 O1E=2,O1El1,,,,在 RtA1D1C1 中,A1D1=4,C1D1=4 tanC1A1D1=,C1A1D1=60,,在 RtA1O1E 中,O1A1E=C1A1D1=60, A1E=, A1E=AA1OO12=t2,,t2=, t=+2, OO1=3t=2,+6;,(3)当直线 AC 与O 第一次相切时,设移动时间为 t1, 如图,此时O 移动到O2 的位置,矩形 ABCD 移动到 A2B2C2D2 的位置, 设O2 与直线 l1,A2C2 分别相切于点 F,G,连接 O2F,O2G,O2A2, O2Fl1,O2GA2G2, 由(2)得,C2A2D2=60,GA2F=12
11、0, O2A2F=60,,在 RtA2O2F 中,O2F=2,A2F=,,,,,OO2=3t,AF=AA2+A2F=4t1+ 4t1+3t1=2,,9,5.如图,平面直角坐标系 xOy 中,一次函数 y= x+b(b 为常数,b0)的图象与 x 轴、y 轴分别相交于点 A、B,半径为 4 的O 与 x 轴正半轴相交于点 C,与 y 轴相交于点 D、E, 点 D 在点 E 上方,(1)若直线 AB 与,有两个交点 F、G,10,求CFE 的度数; 用含 b 的代数式表示 FG2,并直接写出 b 的取值范围;(垂径定理+直线方程) (2)设 b5,在线段 AB 上是否存在点 P,使CPE=45?若
12、存在,请求出 P 点坐标;若不 存在,请说明理由(相切+圆周角),11,12,6.如图,矩形 ABCD 的边 AB=3cm,AD=4cm,点 E 从点 A 出发,沿射线 AD 移动,以 CE 为 直径作圆 O,点 F 为圆 O 与射线 BD 的公共点,连接 EF、CF,过点 E 作 EGEF,EG 与 圆 O 相交于点 G,连接 CG 试说明四边形 EFCG 是矩形; 当圆 O 与射线 BD 相切时,点 E 停止移动,在点 E 移动的过程中, 矩形 EFCG 的面积是否存在最大值或最小值?若存在,求出这个最大值或最小值;若不 存在,说明理由; 求点 G 移动路线的长,【考点】:圆的综合题;垂线
13、段最短;直角三角形斜边上的中线;矩形的判定与性质;圆 周角定理;切线的性质;相似三角形的判定与性质 【分析】:(1)只要证到三个内角等于 90即可 (2)易证点 D 在O 上,根据圆周角定理可得FCE=FDE,从而证到CFEDAB, 根据相似三角形的性质可得到 S 矩形 ABCD=2SCFE=然后只需求出 CF 的范围就可求出 S 矩形 ABCD 的范围根据圆周角定理和矩形的性质可证到GDC=FDE=定值,从而得到点 G 的移动的路线是线段,只需找到点 G 的起点与终点,求出该线段的长度即可 【解答】:解:(1)证明:如图 1, CE 为O 的直径,来源:学。科。网 Z。X。X。K CFE=C
14、GE=90 EGEF, FEG=90 CFE=CGE=FEG=90 四边形 EFCG 是矩形 (2)存在 连接 OD,如图 2,,13,四边形 ABCD 是矩形, A=ADC=90 点 O 是 CE 的中点, OD=OC 点 D 在O 上 FCE=FDE,A=CFE=90, CFEDAB,=()2,AD=4,AB=3, BD=5, SCFE=()2SDAB = 34 = S 矩形 ABCD=2SCFE = 四边形 EFCG 是矩形, FCEG FCE=CEG GDC=CEG,FCE=FDE, GDC=FDE FDE+CDB=90, GDC+CDB=90 GDB=90 当点 E 在点 A(E)处
15、时,点 F 在点 B(F)处,点 G 在点 D(G处,如图 2所示此 时,CF=CB=4 当点 F 在点 D(F)处时,直径 FGBD, 如图 2所示,,14,此时O 与射线 BD 相切,CF=CD=3 当 CFBD 时,CF 最小,此时点 F 到达 F, 如图 2所示 SBCD= BCCD= BDCF 43=5 CF CF= CF4,4 2,S 矩形 ABCD=, ()2S 矩形 ABCD S 矩形 ABCD12,矩形 EFCG 的面积最大值为 12,最小值为 GDC=FDE=定值,点 G 的起点为 D,终点为 G, 点 G 的移动路线是线段 DG GDC=FDE,DCG=A=90, DCGDAB = = DG= 点 G 移动路线的长为,15,【点评】:本题考查了矩形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、圆周角定理、直角 三角形斜边上的中线等于斜边的一半、垂线段定理等知识,考查了动点的移动的路线长,综 合性较强而发现CDG=ADB 及FCE=ADB 是解决本题的关键,16,