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1、第7讲 指数函数、对数函数与幂函数 1.指数函数、对数函数、幂函数是中学数学的重要 函数模型，是研究函数性质与图象的良好载体， 是每一年高考重点考查的对象.每一年各地高考都 要涉及到对这几种函数模型的考查，考查的题型 多样，从难易度上看，容易题、中档题、难题均 有出现，从内容上看，以考查这些函数的图象与 性质为主，同时还与数列、向量、方程、不等式、 三角函数等知识融合在一起，体现知识点的交 汇，是“能力立意”的好素材.备考中必须对这几 种函数模型进行认真全面的分析与研究.,2.指数函数、对数函数、幂函数还是抽象函数的模 型，是研究和解决抽象函数问题的最佳助手，从 这三类具体的函数推测相关抽象函
2、数的性质进行 预测和分析，会收到事半功倍的好效果. 3.三类函数分别以指数运算、对数运算和幂运算为 基础，是三类运算“一般化”的结果，因此要在 备考中重视指数运算、对数运算与幂运算的意义 和性质，熟练掌握它们的运算规律，运算法则.,【例1】化简或求值： 分析 依运算性质解决. 解,探究拓展 （1）化简求值分为两类：有条件与无 条件.无条件的指数式可直接化简求值，有条件的 应把条件和结论相结合再进行化简求值.,【例2】幂函数y=xa,当a取不同的正数时， 在区间0，1上它们的图象是一族 美丽的曲线（如图）.设点A（1，0）， B（0，1），连接AB，线段AB恰好被 其中的两个幂函数 的图象三等分
3、，即 有BM=MN=NA，那么 = . 解析 方法一 由条件，得,答案 1 探究拓展 本题综合考查了幂函数，指数函数， 对数函数的运算及其性质，同时考查了指数与对 数式的互化. 变式训练2 点（ ，2）在幂函数f(x)的图象 上，点 在幂函数g(x)的图象上.问当x为何 值时,有f(x)g(x)；f(x)=g(x)；f(x)g(x)?,方法二,分析 先求出函数的解析式，再利用数形结合的 方法来求解. 解 设f(x)= ,则由题意，得 =2,即f(x)=x2. 再设g(x)= 则由题意， 在同一坐标系中作出f(x)与g(x)的图象，如图所示. 由图象可知： 当x1或xg(x); 当x=1时,f(
4、x)=g(x)； 当-1x1且x0时，f(x)g(x).,【例3】设 是R上的偶函数. （1）求a的值； （2）证明：f（x）在（0，+）上是增函数. 分析 （1）转化为xR恒有f(x)=f(-x)成立， 确定a的值. （2）用定义法或导数法证明. （1）解 依题意，对一切xR有f(x)=f(-x), 又a0,a=1.,对一切xR成立.,（2）证明 方法一 设00,x20,x2-x10,得x1+x20. f（x1）-f（x2）0， 即f(x)在（0,+)上是增函数.,方法二 由f(x)=ex+e-x，得 f(x)=ex-e-x=e-x(e2x-1). 当x(0,+)时，有e-x0,e2x-10
5、,此时f(x)0. 所以f(x)在（0,+)上是增函数. 探究拓展 （1）指数函数y=ax(a0,a0)定义域 为R，这不同于对数函数，是保证f（x）为偶函数 的必要条件. （2）“恒成立”问题即“与无关”类命题， 可转化为最值问题解决或转化为恒等式问题解 决，本例是用后者，得 a=1 (a0)，实现 “零乘以任何数都等于零”. （3）单调性的证明紧扣定义，关键是运算变形创 造出条件.,变式训练3 已知 是奇函数（其中 a0,a1). （1）求m的值； （2）讨论f(x）的单调性； （3）当f(x)的定义域区间为（1，a-2）时，f(x） 的值域为（1，+），求a的值. 解,当a1时，f(x)
6、0, f(x)在（-,-1)和(1,+)上都是增函数. (3)13,f(x)在(1,a-2)上为减函数，,【例4】已知函数 x-1，1，函数 g(x)=f（x）2-2af(x)+3的最小值为h(a). （1）求h(a); (2)是否存在实数m，n,同时满足以下条件： mn3;当h(a)的定义域为n,m时，值域 为n2，m2？若存在，求出m，n的值，否则， 说明理由. 分析 （1）复合函数.可设t=f(x)并求出t的范围， 将g(x)化为关于新元t的二次函数，再求h(a). （2）探索性问题，往往先假设成立，并依此探 求，如能求出合适的值m,n，说明“假设成立”是 正确的，否则，不成立.,解 （
7、1）因为-1x1,（2）因为mn3,故h(a)=12-6a,且h(a)在(3,+) 上单调递减，假设h(a)定义域为n，m，值域 为n2，m2，则有 两式相减得6（m-n)=(m-n)(m+n), 又mn3,所以m+n=6. 这与“mn3m+n6”矛盾， 故满足条件的实数m,n不存在.,变式训练4 已知x满足a2x+a6ax+2+ax+4(a0,a1), 函数 的值域为 求a 的值. 解 a2x+a6ax+2+ax+4，（ax-a2）（ax-a4）0. 针对a1与0a1两种情况讨论可得：2x4,【例5】已知函数y=f(x)的定义域为R，且对任意 a,bR,都有f(a+b)=f(a)+f(b)，
8、且当x0时， f(x)0,f(x2-x1)0. f(x2)=f(x1)+f(x2-x1)f(x1). 故f(x)是R上的减函数.,（2）证明 f（a+b）=f（a）+f（b）恒成立， 可令a=-b=x,则有f（x）+f（-x）=f（0）， 又令a=b=0,则有f(0)=f(0)+f(0),f(0)=0. 从而xR，f（x）+f（-x）=0， f（-x）=-f（x）.故y=f(x)是奇函数. （3）解 由于y=f(x)是R上的单调递减函数， y=f（x）在m，n上也是减函数，故f(x)在 m，n上的最大值f(x)max=f(m),最小值 f(x)min=f(n). 由于f(n)=f(1+(n-1
9、)=f(1)+f(n-1)=nf(1), 同理f(m)=mf(1). 又f(3)=3f(1)=-3,f(1)=-1, f(m)=-m,f(n)=-n. 函数y=f(x)在m,n上的值域为-n,-m.,探究拓展 有关抽象函数的命题由于其“看不 见，摸不着”的抽象，一般难度较大，常涉及知 识点较多，抽象思维程度要求较高，备考者要多 积累，多归纳.通常可从以下四点入手：用具体 模型函数猜测有关性质，使问题分析具有一定的 方向性和目标性.注意定义域与特殊值的应用如 令x=y,x=-y,x=0,y=1等.利用奇偶性处理符号 “f”前的“负号”.利用单调性去掉函数符号 “f”，获得不等式或方程.,变式训练
10、5 定义在（-1，1）上的函数f（x）满 足:对任意x,y(-1,1)都有 当x(-1,0)时，有f(x)0. （1）试判断f(x)的奇偶性； （2）判断f(x)的单调性； （3）求证： （1）解 对条件中的x,y,令x=y=0，再令y=-x f(x)是奇函数.,f(x)+f(y)=f,（2）解 设-10，即f(x1)f(x2), 故f(x)在(-1，0)上单调递减,由奇函数性质可知, f(x)在（0，1）上仍是单调递减函数. f(x)在（-1，1）上是单调递减函数.,(3)证明,规律方法总结 1.一些重要类型的奇偶函数 (1)函数f(x)=ax+a-x 为偶函数,函数f(x)=ax-a-x为
11、奇 函数. (2)函数 (a0且a1)为奇 函数. (3)函数 为奇函数. (4)函数 为奇函数. (5)函数 是奇函数.,2.一些重要函数的单调性 “耐克”函数 （其图象如“耐克”的商 标，也称双钩函数） (-，-1,-1，0),(0，1,1，+),4.关于抽象函数问题的研究 （1）借鉴函数模型进行类比探究.几类常见的抽 象函数：,(2)特殊化思想赋值法 常令x=0,1,-1等先求出f(0)或f(1)或f(-1),或令 y=x,y=-x递推，反证逻辑探究. 5.关于恒成立 （恒不成立，不恒成立）问题的研究 分离参数法、变换主元法、最值法,构造法或以上 诸法联用均是研究该类问题的有效可行策略.
12、 af(x)恒成立af（x）max;af(x)恒成立 af(x)min.其它类型的“恒不成立”、“不 恒成立”、“有解”问题，也可类此似处理.,一、填空题 1.（2008北京）若 则a，b，c的大小关系为 . 解析 利用界值法易得,abc,2.化简 (a0,b0)结果为 . 解析 原式 3.函数y=a1-x (a0,a1)的图象恒过定点A，若点A 在直线mx+ny-1=0 （m,n0）上，则 的最小 值为 . 解析 A（1，1）m+n=1 （当且仅当 时，等号成立）,4,4.若不等式x2-logax0在区间 内恒成立， 则a的取值范围是 . 解析 分别作出y1=x2与y2=logax的图象，依
13、图知 a1时不可能有y1y2,0a1时， 是界点，可 得 5.函数f(x)=ax+loga(x+1)在0，1上的最大值与最 小值之和为a,则a的值为 . 解析 f(x)=ax+loga(x+1)在区间0，1上是单调 的，则最大值与最小值之和为f（0）+f（1） =1+a+loga2=a,6.设01.a2x-2ax-30. ax3或ax3= 且0a1，xloga3.,（-,loga3）,二、解答题 7.计算：lg 5(lg 8+lg 1 000)+ 解 原式=lg 5(3lg 2+3)+3lg22-lg 6+lg 6-2 =3lg 5lg 2+3lg 5+3lg22-2 =3lg 2(lg 5+
14、lg 2)+3lg 5-2 =3lg 2+3lg 5-2 =3(lg 2+lg 5)-2 =1. 8.（2008上海）已知函数 (1)若f(x)=2,求x的值; (2)若2tf(2t)+mf(t)0对于t1,2恒成立,求实 数m的取值范围.,解 (1)当x0,x=log2 (2)当t1，2时， 即m(22t-1)-(24t-1). 22t-10,m-(22t+1). t1，2，-（1+22t）-17，-5， 故m的取值范围是-5，+）.,9.已知f(x)=loga(ax-1) (a0且a1). （1）求f(x)的定义域； （2）讨论函数f(x)的单调性. 解 （1）由ax-10,得ax1. 当
15、a1时，x0；当01时，f(x)的定义域为（0，+）； 当01时，设01时，f(x)在（0，+）上 是增函数. 类似地，当0a1时，f(x)在（-,0)上为增函数.,10.（2009徐州调研）函数f(x)=loga(x-3a) (a0 且a1)，当点P（x,y）是函数y=f(x)图象上的点 时，点Q（x-2a,-y）是函数y=g(x)图象上的点. （1）写出函数y=g(x)的解析式； （2）当xa+2，a+3时，恒有|f(x)-g(x)|1, 试确定a的取值范围. 解 (1)点P（x0,y0）是函数y=f(x)图象上的点时， 点Q（x,y）是函数y=g(x)图象上的点， 代入y0=loga(x0-3a),得-y=loga(x-a), 故函数y=g(x)的解析式为g(x)=-loga(x-a) (xa).,又f(x)与g(x)在xa+2,a+3时均有意义， a+23a,故022a,h（x）在a+2，a+3上单调递增.,返回,
