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1、【步步高】（江苏专用）2017版高考数学 专题8 立体几何与空间向量 60 平行与垂直的证明 理训练目标能熟练应用线面平行、垂直的定理及性质证明平行、垂直问题.训练题型(1)证明线线、线面、面面平行与垂直；(2)探求平行、垂直关系成立时满足的条件.解题策略用分析法找思路，用综合法写过程，注意特殊元素的运用.1(2015苏州上学期期末)如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是AD，DD1的中点求证：(1)EF平面C1BD；(2)A1C平面C1BD.2.如图，四棱锥PABCD的底面为矩形，AB，BC1，E，F分别是AB，PC的中点， DEPA.(1)求证：EF平面PAD；(2)求证：
2、平面PAC平面PDE.3(2015北京朝阳区第一次综合练)如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，各个侧面均是边长为2的正方形，D为线段AC的中点(1)求证：BD平面ACC1A1；(2)求证：直线AB1平面BC1D；(3)设M为线段BC1上任意一点，在BC1D内的平面区域(包括边界)是否存在点E，使CEDM，并说明理由4.如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧面PAD底面ABCD，且PAPDAD，E、F分别为PC、BD的中点(1)求证：EF平面PAD；(2)求证：平面PAB平面PDC.5(2015北京海淀下学期期中)如图1，在梯形ABCD中，ADBC，ADDC，BC2AD，
3、四边形ABEF是矩形，将矩形ABEF沿AB折起到四边形ABE1F1的位置，使平面ABE1F1平面ABCD，M为AF1的中点，如图2.(1)求证：BE1DC；(2)求证：DM平面BCE1；(3)判断直线CD与ME1的位置关系，并说明理由答案解析1证明(1)如图，连结AD1，E，F分别是AD和DD1的中点，EFAD1.在正方体ABCDA1B1C1D1中，ABD1C1，ABD1C1，四边形ABC1D1为平行四边形，即有AD1BC1，EFBC1.又EF平面C1BD，BC1平面C1BD，EF平面C1BD.(2)如图，连结AC，则ACBD.在正方体ABCDA1B1C1D1中，AA1平面ABCD，BD平面A
4、BCD，AA1BD.又AA1ACA，AA1平面AA1C，AC平面AA1C，BD平面AA1C，A1C平面AA1C，A1CBD.同理可证A1CBC1.又BDBC1B，BD平面C1BD，BC1平面C1BD，A1C平面C1BD.2证明(1)如图，取PD中点G，连结AG，FG，因为F，G分别为PC，PD的中点，所以FGCD，且FGCD.又因为E为AB中点，所以AECD，且AECD.所以AEFG，AEFG.所以四边形AEFG为平行四边形所以EFAG，又EF平面PAD，AG平面PAD，所以EF平面PAD.(2)设ACDEH，由AEHCDH及E为AB中点，得，又因为AB，BC1，所以AC，AHAC.所以，又B
5、AC为公共角，所以HAEBAC.所以AHEABC90，即DEAC.又DEPA，PAACA，PA平面PAC，AC平面PAC，所以DE平面PAC.又DE平面PDE，所以平面PAC平面PDE.3(1)证明因为三棱柱的侧面是正方形，所以CC1BC，CC1AC，BCACC，BC底面ABC，AC底面ABC，所以CC1底面ABC.因为BD底面ABC，所以CC1BD.由已知可得，底面三角形ABC为正三角形因为D是AC中点，所以BDAC.因为ACCC1C，AC平面ACC1A1，CC1平面ACC1A1，所以BD平面ACC1A1.(2)证明如图，连结B1C交BC1于点O，连结OD.显然点O为B1C的中点因为D是AC
6、中点，所以AB1OD.因为OD平面BC1D，AB1平面BC1D，所以直线AB1平面BC1D.(3)解在BC1D内的平面区域(包括边界)存在一点E，使CEDM，此时点E在线段C1D上证明如下：如图，过C作CEC1D，交线段C1D于E，由(1)可知BD平面ACC1A1，而CE平面ACC1A1，所以BDCE.又CEC1D，C1DBDD，C1D平面BC1D，BD平面BC1D，所以CE平面BC1D.又DM平面BC1D，所以CEDM.4证明(1)如图，连结AC，则ACBDF，因为四边形ABCD为正方形，所以F为AC的中点，又E为PC的中点，所以在CPA中，EFPA.又PA侧面PAD，EF侧面PAD，所以E
7、F侧面PAD.(2)因为四边形ABCD为正方形，所以CDAD，因为侧面PAD底面ABCD，侧面PAD底面ABCDAD，CD底面ABCD，所以CD侧面PAD.又PA侧面PAD，所以CDPA.又PAPDAD，所以PAD是等腰直角三角形，且APD，即PAPD.因为CDPDD，且CD侧面PDC，PD侧面PDC，所以PA侧面PDC.又PA侧面PAB，所以侧面PAB侧面PDC.即平面PAB平面PDC.5(1)证明因为四边形ABE1F1为矩形，所以BE1AB.因为平面ABCD平面ABE1F1，且平面ABCD平面ABE1F1AB，BE1平面ABE1F1，所以BE1平面ABCD.因为DC平面ABCD，所以BE1
8、DC.(2)证明因为四边形ABE1F1为矩形，所以AMBE1.因为ADBC，ADAMA，BCBE1B，AD平面ADM，AM平面ADM，BC平面BCE1，BE1平面BCE1所以平面ADM平面BCE1.因为DM平面ADM，所以DM平面BCE1.(3)解直线CD与ME1相交，理由如下：取BC的中点P，CE1的中点Q，连结AP，PQ，QM，所以PQBE1，且PQBE1.在矩形ABE1F1中，M为AF1的中点，所以AMBE1，且AMBE1，所以PQAM，且PQAM.所以四边形APQM为平行四边形，所以MQAP，MQAP.因为四边形ABCD为梯形，P为BC的中点，BC2AD，所以ADPC，ADPC，所以四边形ADCP为平行四边形所以CDAP，且CDAP.所以CDMQ且CDMQ.所以四边形CDMQ是平行四边形所以DMCQ，即DMCE1.因为DMCE1，所以四边形DME1C是以DM，CE1为底边的梯形，所以直线CD与ME1相交7
