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1、【步步高】（江苏专用）2017版高考数学 专题8 立体几何与空间向量 62 向量法求解立体几何问题 理训练目标会用空间向量解决立体几何的证明、求空间角、求距离问题.训练题型(1)用空间向量证明平行与垂直；(2)用空间向量求空间角；(3)求长度与距离.解题策略(1)选择适当的空间坐标系；(2)求出相关点的坐标，用坐标表示直线的方向向量及平面的法向量；(3)理解并记住用向量表示的空间角和距离的求解公式；(4)探索性问题，可利用共线关系设变量，引入参数，列方程求解.1.如图所示，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB，AF1，M是线段EF的中点求证：(1)AM平面BDE；(2)AM
2、平面BDF.2在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，在侧棱CC1上求一点P，使得直线AP与平面BDD1B1所成角的正切值为3.3(2015甘肃河西五地市第一次联考)已知斜三棱柱ABCA1B1C1的底面是边长为2的正三角形，侧面A1ACC1为菱形，A1AC60，平面A1ACC1平面ABC，N是CC1的中点(1)求证：A1CBN；(2)求二面角BA1NC的余弦值4(2015上饶一模)如图，五面体ABCDEF中，底面ABCD为矩形，AB6，AD4.顶部线段EF平面ABCD，棱EAEDFBFC6，EF2，二面角FBCA的余弦值为.(1)在线段BC上是否存在一点N，使BC平面EFN?(2)求平面
3、EFB和平面CFB所成锐二面角的余弦值5(2015长春普通高中质量检测)如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，PAABAD2，四边形ABCD满足ABAD，BCAD且BC4，点M为PC中点，点E为BC边上的动点，且.(1)求证：平面ADM平面PBC.(2)是否存在实数，使得二面角PDEB的余弦值为？若存在，试求出实数的值；若不存在，说明理由答案解析1证明(1)建立如图所示的空间直角坐标系，设ACBDN，连结NE，则点N，E的坐标分别为(，0)，(0,0,1)所以(，1)又点A，M的坐标分别是(，0)，(，1)，所以(，1)所以，且NE与AM不共线所以NEAM.又因为NE平面BDE，AM平
4、面BDE.所以AM平面BDE.(2)由(1)知(，1)，因为D(，0,0)，F(，1)，所以(0，1)所以0，所以，所以AMDF，同理AMBF，又DFBFF，所以AM平面BDF.2解建立如图所示的空间直角坐标系，设CPm，则A(1,0,0)，B(1,1,0)，P(0,1，m)，C(0,1,0)，D(0,0,0)，B1(1,1,1)，所以(1，1,0)，(0,0,1)，(1,1，m)，(1,1,0)因为(1,1,0)(1，1,0)0，(1,1,0)(0,0,1)0.所以为平面BDD1B1的一个法向量设AP与平面BDD1B1所成的角为，则sin cos().所以cos .又tan 3，所以m.故当
5、CP时，直线AP与平面BDD1B1所成角的正切值为3.3(1)证明取AC的中点O，连结BO，A1O.由题意知BOAC，A1OAC.又因为平面A1ACC1平面ABC，且平面A1ACC1平面ABCAC，A1O平面A1ACC1，所以A1O平面ABC.以O为原点，建立如图所示的空间直角坐标系则O(0,0,0)，B(，0,0)，A1(0,0，)，N(0，)，C(0，1,0)，(0,1，)，(，)因为0()0，所以A1CBN.(2)解由(1)得(0，)，(，0，)设平面A1BN的一个法向量为n1(x，y，z)，则即令x1，得n1(1，1)又平面A1NC的一个法向量n2(1,0,0)设二面角BA1NC的平面
6、角为，且由图知，为锐角，则cos .4解(1)存在点N为线段BC的中点，使BC平面EFN.证明：EF平面ABCD，且EF平面EFBA，平面ABCD平面EFBAAB，EFAB.设平面EFN平面ABCDMN，MAD.EF平面ABCD，EFMN，ABMN.FBFC，BCFN.又四边形ABCD是矩形，BCAB.BCMN.FN平面EFNM，MN平面EFNM，FNMNN，BC平面EFNM，即BC平面EFN.(2)在平面EFNM内，过F作MN的垂线，垂足为H.由(1)可知BC平面EFNM，BC平面ABCD，且平面ABCD平面EFNMMN，FHMN，则平面ABCD平面EFNM，所以FH平面ABCD.又因为FN
7、BC，HNBC，则二面角FBCA的平面角为FNH.在RtFNB和RtFNH中，FN，NHFNcosFNH2，FH8.过H分别作边AB，CD的垂线，垂足分别为S，Q，连结FS，FQ，以H为坐标原点，以，方向为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系，则F(0,0,8)，S(2,0,0)，N(0,2,0)，B(2,2,0)，则(2,0,8)，(0,2,0)设平面EFB的一个法向量为n1(x，y,1)，则由得可得n1(4,0,1)同理可求得平面BCF的一个法向量为n2(0,4,1)，于是cosn1，n2，n1，n2为锐角设平面EFB和平面CFB所成锐二面角的平面角为，则cos cosn1，n2.5(1
8、)证明如图，取PB中点N，连结MN，AN.M是PC中点，MNBC，MNBC2.又BCAD，AD2，MNAD，MNAD，四边形ADMN为平行四边形APAD，ABAD，APABA，AD平面PAB.AN平面PAB，ADAN，ANMN.APAB，ANPB，MNPBN，AN平面PBC.AN平面ADM，平面ADM平面PBC.(2)解存在符合条件的.以A为原点，方向为x轴的正方向，方向为y轴的正方向，方向为z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系设E(2，t,0)(0t4)，P(0,0,2)，D(0,2,0)，B(2,0,0)，则(0,2，2)，(2，t2,0)平面PDE的一个法向量为n1(2t,2,2)又平面DEB即为xAy平面，故其一个法向量为n2(0,0,1)，cosn1，n2.解得t3或t1，3或.7
