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1、【十年高考】（新课标2专版）高考数学分项版解析 专题10 立体几何 理一基础题组1. 【2013课标全国，理4】已知m，n为异面直线，m平面，n平面.直线l满足lm，ln，l，l，则()A且lB且lC与相交，且交线垂直于lD与相交，且交线平行于l【答案】：D【解析】因为m，lm，l，所以l.同理可得l.又因为m，n为异面直线，所以与相交，且l平行于它们的交线故选D.2. 【2012全国，理4】已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AB2，E为CC1的中点，则直线AC1与平面BED的距离为()A2 B C D1【答案】 D又ACC1为等腰直角三角形，CH=2.HM=1.3. 【2011新课标，
2、理6】在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如下图所示，则相应的侧视图可以为()【答案】D【解析】4. 【2006全国2，理4】过球的一条半径的中点,作垂直于该半径的平面,则所得截面的面积与球的表面积的比为A. B. C. D. 【答案】:A5. 【2006全国2，理7】如图,平面平面,A,B,AB与两平面,所成的角分别为和.过A,B分别作两平面交线的垂线,垂足为A,B,则ABAB等于A.21B.31C.32D.43【答案】:A6. 【2005全国3，理4】设三棱柱ABCA1B1C1的体积为V，P、Q分别是侧棱AA1、CC1上的点，且PA=QC1，则四棱锥BAPQC的体积为（ ）A B C D
3、【答案】C【解析】连接，在侧面平行四边形中， 四边形APQC的面积=四边形的面积，记B到面的距离为h，.7. 【2005全国2，理2】正方体中，、分别是、的中点那么，正方体的过、的截面图形是（ ）(A) 三角形(B) 四边形(C) 五边形(D) 六边形【答案】D8. 【2014新课标，理18】（本小题满分12分）如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA平面ABCD，E为PD的中点.（）证明：PB平面AEC；（）设二面角D-AE-C为60，AP=1，AD=，求三棱锥E-ACD的体积.【答案】见解析【解析】（）证明：设O为AC与BD交点，连结OE，则由矩形ABCD知：O为BD的中点，因
4、为E是BD的中点，所以OEPB，因为OE面AEC，PB面AEC，所以PB平面AEC。9. 【2012全国，理18】ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cos(AC)cosB1，a2c，如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为菱形，PA底面ABCD，PA2，E是PC上的一点，PE2EC(1)证明：PC平面BED；(2)设二面角APBC为90，求PD与平面PBC所成角的大小【解析】解法一：(1)证明：因为底面ABCD为菱形，所以BDAC又PA底面ABCD，所以PCBD设ACBD=F，连结EF.因为，PA=2，PE=2EC，故，从而，因为，FCE=PCA，所以FCEPCA，FEC=PA
5、C=90，由此知PCEF.PC与平面BED内两条相交直线BD，EF都垂直，所以PC平面BED解法二：(1)证明：以A为坐标原点，射线AC为x轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.设C(，0,0)，D(，b,0)，其中b0，则P(0,0,2)，E(，0，)，B(，b,0)于是(，0，2)，(，b，)，(，b，)，从而，故PCBE，PCDE.又BEDEE，所以PC平面BDE.10. 【2006全国2，理19】如图,在直三棱柱ABCA1B1C1中,AB=BC,D,E分别为BB1,AC1的中点.(1)证明:ED为异面直线BB1与AC1的公垂线; (2)设AA1=AC=AB,求二面角A1-A
6、D-C1的大小.【答案】见解析解法二:(1)如图,建立直角坐标系Oxyz,其中原点O为AC的中点.设A(A,0,0),B(0,b,0),B1(0,b,2c),则C(-A,0,0),C1(-A,0,2c),E(0,0,c),D(0,b,c).=(0,b,0),=(0,0,2c).=0,EDBB1.又=(-2A,0,2c),=0,EDAC1.ED是异面直线BB1与AC1的公垂线.11. 【2005全国3，理18】(本小题满分12分)如图，在四棱锥V-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形,平面VAD底面ABCD （）证明AB平面VAD； （）求面VAD与面VDB所成的二面角的大小【
7、解析】：证明：方法一：（）证明： （）解：取VD的中点E，连结AF，BE，VAD是正三形， AEVD，AE=AB平面VAD， ABAE.又由三垂线定理知BEVD. 因此，tanAEB=即得所求二面角的大小为（）设E为DV中点，则，由因此，AEB是所求二面角的平面角，解得所求二面角的大小为12. 【2015高考新课标2，理6】一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为( )A B C D【答案】D【考点定位】三视图二能力题组1. 【2014新课标，理6】如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm）,图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一
8、个底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C2. 【2010全国2，理9】已知正四棱锥SABCD中，SA2，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为()A1 B. C2 D3【答案】：C【解析】如图，设ACBDO，则SO平面ABCD.设SOh，ABa，则在RtSOA中：3. 【2011新课标，理15】已知矩形ABCD的顶点都在半径为4的球O的球面上，且AB6，BC，则棱锥OABCD的体积为_【答案】【解析】4. 【2013课标全国，理18】(本小题满分12分)如图，直三棱柱ABCA1B1C1中，D，E分别是AB，
9、BB1的中点，AA1ACCB.(1)证明：BC1平面A1CD；(2)求二面角DA1CE的正弦值【答案】见解析【解析】：(1)连结AC1交A1C于点F，则F为AC1中点又D是AB中点，连结DF，则BC1DF.因为DF平面A1CD，BC1平面A1CD，所以BC1平面A1CD.5. 【2011新课标，理18】如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形，DAB60，AB2AD，PD底面ABCD(1)证明：PABD；(2)设PDAD，求二面角APBC的余弦值【答案】见解析6. 【2010全国2，理19】如图，直三棱柱ABCA1B1C1中，ACBC，AA1AB，D为BB1的中点，E为AB1上的一点
10、，AE3EB1.(1)证明DE为异面直线AB1与CD的公垂线；(2)设异面直线AB1与CD的夹角为45，求二面角A1AC1B1的大小【答案】见解析 (2)因为DGAB1，故CDG为异面直线AB1与CD的夹角，CDG45，设AB2，则AB12，DG，CG，AC，作B1HA1C1，H为垂足，因为底面A1B1C1面AA1C1C，故B1H面AA1C1C.又作HKAC1，K为垂足，连结B1K，由三垂线定理，得B1KAC1，因此B1KH为二面角A1AC1B1的平面角B1H，HC1，AC1，HK，tanB1KH.所以二面角A1AC1B1的大小为arctan.即p2qr0,2p2q0，令p，则q，r1，故n(
11、，1)所以cosm，n.由于m，n等于二面角A1AC1B1的平面角，所以二面角A1AC1B1的大小为arccos.7. 【2015高考新课标2，理9】已知A,B是球O的球面上两点，AOB=90,C为该球面上的动点，若三棱锥O-ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为( )A36 B.64 C.144 D.256【答案】C【考点定位】外接球表面积和椎体的体积8. 【2016高考新课标2理数】如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（A）20 （B）24 （C）28 （D）32【答案】C【考点】三视图，空间几何体的表面积【名师点睛】由三视图还原几何体的方法:9.【2016
12、高考新课标2理数】，是两个平面，m，n是两条直线，有下列四个命题：如果mn，m，n，那么.如果m，n，那么mn.如果，m，那么m.如果mn，那么m与所成的角和n与所成的角相等.其中正确的命题有 .(填写所有正确命题的编号）【答案】【解析】试题分析：对于，则的位置关系无法确定，故错误；对于,因为，所以过直线作平面与平面相交于直线，则，因为，故正确；对于，由两个平面平行的性质可知正确；对于，由线面所成角的定义和等角定理可知其正确，故正确的命题有.【考点】空间中的线面关系【名师点睛】求解本题时应注意在空间中考虑线、面位置关系.三拔高题组1. 【2014新课标，理11】直三棱柱ABC-A1B1C1中，
13、BCA=90，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC=CA=CC1，则BM与AN所成的角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C2. 【2013课标全国，理7】一个四面体的顶点在空间直角坐标系Oxyz中的坐标分别是(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx平面为投影面，则得到的正视图可以为()【答案】：A【解析】：如图所示，该四面体在空间直角坐标系Oxyz的图像为下图：则它在平面zOx上的投影即正视图为，故选A.3. 【2010全国2，理11】与正方体ABCDA1B1C1D1的三条棱AB、CC1、A1D1所在直线的距离相等的点()A有且只有1个 B有且只有2个C有且只有3个 D有无数个【答案】：D【解析】经验证线段B1D上的点B，D，中点，四等分点均满足题意，故由排除法知应有无数个点4. 【2005全
