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1、第6章 动态规划,动态规划的基本理论 （2学时） 确定型动态规划 （2学时） 随机型动态规划 （1学时） 动态规划的软件求解简介 （1学时）,一、离散随机性动态规划 随机型的动态规划是指状态的转移律是不确定的，即对给定的状态和决策，下一阶段的到达状态是具有确定概率分布的随机变量，这个概率分布由本阶段的状态和决策完全确定。随机型动态规划的基本结构如下图：,sk,状态,xk,决策,概率,k阶段的收益,p1,p2,pN,.,k+1阶段的状态sk+1,c1,c2,cN,1,2,N,第15讲 随机型动态规划及软件介绍,图中N表示第k+1阶段可能的状态数，p1、p2、pN为给定状态sk和决策xk的前提下，
2、可能达到下一个状态的概率。ci为从k阶段状态sk转移到k+1 阶段状态为i时的指标函数值。 在随机性的动态规划问题中，由于下一阶段到达的状态和阶段的效益值不确定，只能根据各阶段的期望效益值进行优化。,例1 某公司承担一种新产品研制任务，合同要求三个月内交出一件合格的样品，否则将索赔2000元。根据有经验的技术人员估计，试制品合格的概率为0.4，每次试制一批的装配费为200元，每件产品的制造成本为100元。每次试制的周期为1个月。问该如何安排试制，每次生产多少件，才能使得期望费用最小？（类例教材1：例6-7）,解：把三次试制当作三个阶段（k=1,2,3）,决策变量xk表示第k次生产的产品的件数；
3、状态变量sk表示第k次试制前是否已经生产出合格品，如果有合格品，则sk=0；如果没有合格品，记sk=1。最优函数fk(sk)表示从状态sk、决策xk出发的第k阶段以后的最小期望费用。故有fk(0)0。 生产出一件合格品的概率为0.4，所以生产xk件产品都不合格的概率为 ，至少有一件合格品的概率为1- ，故有状态转移方程为,用C(xk)表示第k阶段的费用，第k阶段的费用包 括制造成本和装配费用，故有 根据状态转移方程以及C(xk)，可得到,如果3个月后没有试制出一件合格品，则要承担 2000元的罚金，因此有f4(1)=20。 当k=3时，计算如下表：,当k=2时，计算如下表：,当k=1时，有,上
4、面三个表中并没有列出xk取更大数值的情况，因为可以证明以后的C(xk)+ fk+1(1)的值是对xk单调增加的。 因此得到的最优策略是，在第1个阶段试制2件产品；如果都不合格，在第2阶段试制3件产品；如果仍都不合格，则在第3个阶段试制5件产品。该策略得到的最小的期望费用6.46。,例2 不确定性采购问题（类例教材1：例6-8） 某厂生产上需要在近五周内必须采购一批原料,而估计在未来五周内原材料的价格是波动的，浮动价格和概率已知。如何采购使其采购价格的数学期望最小，并求出期望值。,动态规划的数学模型 该问题分成五个阶段，k表示周，k1，2，3，4，5 设Sk表示为第k周的实际价格。 决策变量Uk
5、,Uk1表示为第k周决定采购，Uk0表示为第k周决定等待。 XkE表示为第k周决定等待,而在以后采取最优决策时采购价格的期望值。 fk(Sk)表示第k周实际价格为Sk时，从第k周到第5周采取最优策略所得的最小期望值。,递推关系式： fk(Sk)minSk，XkE 边界条件：f5(S5)S5 其中：XkE=0.3 fk+1(500)+0.3 fk+1(600)+ 0.4fk+1(700) Sk500,600,700,f5(S5)S5 S5500,600,700 f5(500)500 f5(600)600 f5(700)700 即在第五周，不论原材料的市场价格如何，都必须购买。,当k=5时,f4(
6、S4)minS4，X4E X4E=0.3 f5(500)+0.3 f5(600)+ 0.4f5(700)610 f4(500)500 f4(600)600 f4(700)610,当k=4时,U41 ，当S4500，600 U40 ，当S4700 即在第四周时，当市场价格为500或600时，选择购买原材料。若市场价格为700时，则继续等待。,当k=3时， f3(S3)minS3，X3E X3E=0.3 f4(500)+0.3 f4(600)+ 0.4f4(700)574 f3(500)500 f3(600)574 f3(700)574 U31 ，当S3500 U30 ，当S3600，700 即在
7、第三周时，当市场价格为500时，选择购买原材料。若市场价格为600或700时，则继续等待。,当k=2时， f2(S2)minS2，X2E X2E=0.3 f3(500)+0.3 f3(600)+ 0.4f3(700)551.8 f3(500)500 f3(600)551.8 f3(700)551.8 U21 ，当S2500 U20 ，当S2600，700 即在第二周时，当市场价格为500时，选择购买原材料。若市场价格为600或700时，则继续等待。 当k=1时， f1(S1)minS1，X1E X1E=0.3 f2(500)+0.3 f2(600)+ 0.4f2(700)536.26 f1(5
8、00)500 f1(600)536.26 f1(700)536.26,U11 ，当S1500 U10 ，当S1600，700 即在第一周时，当市场价格为500时，选择购买原材料。若市场价格为600或700时，则继续等待。 由上可知，在第1、2、3周时，当价格为500时，选择购买原材料，若价格为600或700，则继续等待。在第4周时，当价格为500或600时，选择购买原材料，若价格为700，则继续等待，在第5周，则无论时什么价格都购买。 依照这样的最优策略，价格的数学期望值为： 5000.3+536.260.3+ 536.260.4=525.382,二、动态规划软件求解简介,1 使用Lingo求
9、解最短路,例6-9 求A到G的最短距离路线，各地间的距离如图6-3所示。,图6-3 例6-9的图,二、动态规划软件求解简介,2 使用Matlab求解最短路,【例6-10】用Matlab求解图6-7的最短路。,图6-7 上海至灾区的公路网络图,解: 计算机求解 在该题中首先用1,2,3,4,5,6,7,8,9,10来代表,。,三、动态规划应用案例分析(6.5),论文1:基于Matlab的0- 1 背包问题的动态规划方法求解 论文2:基于MAT LAB 的动态规划常用算法的实现 论文3:基于启发式动态规划方法的发电商最优竞价策略 论文4:基于自适应动态规划的系统边际电价预测,1 电厂内部机组负荷的经济分配 2 电力企业购网电量分配案例分析,四、动态规划文献阅读,作业:习题6 6,7,8,
