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1、第二节 线性变换与矩阵运算,1.线性变换的基本性质 (1)定理1:设 t,k是实数，则 A(tX1)=_； AX1+AX2= _； A(tX1+kX2)=_.,t(AX1),A(X1+X2),tAX1+kAX2,2.复合变换与矩阵乘法 (1)复合变换：一般地，设A，B是平面上的两个变换，将平面 上每个点P先用变换A变到P，再用变换B将P变到P，则从 P到P也是平面上的一个变换，称为A，B的复合变换，也称为 B与A的乘积，记作_.,BA,(2)矩阵乘法法则：对任意两个22矩阵A= 和B= ，规定它们的乘积BA= 矩阵的乘法不满足_律与_律，满足_律. (3)变换的乘法与矩阵的乘法都不满足_.,交
2、换,消去,结合,交换律,(4)特殊矩阵,【即时应用】 (1)思考：矩阵的乘法与实数的乘法是否完全相同？ 提示：不完全相同.矩阵的乘法与实数的乘法相比较，最重要的差别是，矩阵的乘法不满足交换律和消去律.,(2)已知梯形ABCD, 其中A(0 , 0), B(3 , 0), C(1 , 2), D(2 , 2), 先将梯形作关于x轴的反射变换, 再将所得图形绕原点逆时针旋转90,则连续两次变换所对应的变换矩阵M=_,它的几何意义是_. 【解析】由条件得 这个复合变换的几何意义表示将原图形沿直线y=x翻折变换. 答案： 表示将原图形沿直线y=x翻折变换,(3) =_. 【解析】 答案：,(4)设 若
3、ABBA，则k的值为_. 【解析】 由ABBA，得k3. 答案：3,3.逆变换与逆矩阵 (1)若矩阵A，B满足_,则称A，B是可逆矩阵，B是A的 逆，记为B=_，反过来A=_. (2)定理1：设A= ,记=ad-bc,则 A可逆的充分必要条件是_；,AB=BA=E,A-1,B-1,0,当0时，A-1= =ad-bc称为矩阵A的行列式， 记作 ,且 =_.矩阵A的行列式记作|A|，也记 作detA. (3)定理2:如果_，则AB可逆，且(AB)-1=_. 4.逆矩阵与二元一次方程组 记 若A可逆，则方程AX=B的解X=_.,ad-bc,A,B都可逆,A-1B,B-1A-1,【即时应用】 根据变换
4、的几何意义，矩阵A= 的逆矩阵为_. 【解析】矩阵A表示的变换是绕原点逆时针旋转 ，其逆变换 是绕原点逆时针旋转- ，它的矩阵就是所求的逆矩阵，即,答案：,热点考向 1 矩阵乘法及其应用 【方法点睛】 关于矩阵的乘法运算注意的问题 (1)矩阵的乘法要严格按照乘法法则进行，特别注意位置的对应要准确. (2)对于某一向量进行多次矩阵变换时，通常先进行矩阵乘法运算，使多次变换转化为一次变换，再利用矩阵与向量的乘法运算求向量.,【例1】已知矩阵A= ，向量 求向量 ，使得 【解题指南】本题是已知向量 进行两次矩阵变换A后,变为向量 ,故先进行矩阵的乘法,得A2,再利用待定系数法求向量 .,【规范解答】
5、因 故设 = 由 得：,【反思感悟】1.解答本题的关键是计算A2. 2.矩阵的乘法是矩阵的基本运算，在解题中作为基础工具广泛应用于矩阵相关知识中.,【变式训练】若 试求x的值. 【解析】 3x=1,【变式备选】设数列an、bn满足an12an3bn， bn12bn，且满足 求二阶矩阵M. 【解析】依题设有 令A ，则MA4，,热点考向 2 矩阵的乘法与线性变换 【方法点睛】 1.矩阵乘法与复合变换 矩阵MN对应的变换是一个复合变换，变换的顺序是先进行右边的矩阵N对应的变换，再进行左边的矩阵M对应的变换，注意变换顺序不能颠倒. 2.矩阵的乘法在线性变换中的应用 当对曲线连续进行变换时，可以先进行
6、矩阵的乘法运算，从而简化变换过程.,【例2】(2012莆田模拟)直线l1:x=-4先经过矩阵A= 作 用，再经过矩阵B= 作用，变为直线l2:2x-y=4，求矩阵A. 【解题指南】本题已知变换前后的直线l1、l2，矩阵B，故可先表 示出BA，再利用待定系数法列方程组求m，n.,【规范解答】设C=BA= 则直线l1上的点(x,y)经矩 阵C变换为直线l2上的点(x,y)，则x=(n+4)x+(m-4)y, y=-nx+4y，代入2x-y=4，得(3n+8)x+(2m-12)y=4 与l1:x=-4比较系数得，m=6,n=-3,A=,【互动探究】本题若先经过矩阵B作用，再经过矩阵A作用，其他条件不
7、变，试求矩阵A. 【解析】设C=AB= 则直线l1上的点(x,y)经过矩阵C变换，变为直线l2上的点(x,y)， 则,代入2x-y=4，得24x+(4-m)y-nx+(n+4)y=4， 即(8-n)x+(4-2m-n)y=4， 与l1：x=-4比较系数得： 解得:n=9，,【反思感悟】1.矩阵的乘法不满足交换律即ABBA. 2.若已知变换前后的曲线方程，求变换矩阵，一般求出变换前或后的曲线方程，再比较系数列方程组求解.,热点考向 3 逆矩阵的求法及其应用 【方法点睛】 1.逆矩阵的求法 (1)定义法：利用AA-1=E,待定系数法求A-1； (2)行列式法：利用公式A-1=,(3)逆变换法：找出
8、矩阵A对应的变换的逆变换，从变换的角度求A-1. 2.逆矩阵在线性变换中的应用 逆矩阵作为矩阵在线性变换中可以对曲线进行变换，而逆矩阵又对应特殊的变换逆变换，因此注意逆变换在解题中的应用.,【例3】(2012福建高考)设曲线2x2+2xy+y2=1在矩阵A= (a0)对应的变换作用下得到的曲线为x2+y2=1 (1) 求实数a,b的值. (2)求A2的逆矩阵,【规范解答】(1)设曲线2x2+2xy+y2=1上任一点P(x,y)在矩阵A 对应变换下的象是P(x,y)， 则 得 又点P(x,y)在x2+y2=1上， 所以x2+y2=1,即a2x2+(bx+y)2=1. 整理得(a2+b2)x2+2bxy+y2=1. 依题意得,解得 或 因为a0，所以 (2)由(1)知，A= , A2= , 所以|A2|=1,(A2)-1= .,【变式训练】已知矩阵A= 将直线l：x+y-1=0变换成直线l. (1)求直线l的方程； (2)判断矩阵A是否可逆？若可逆，求出矩阵A的逆矩阵A-1；若不可逆，请说明理由.,【解析】(1)在直线l上任取一点P(x0,y0)，设它在矩阵A= 对应的变换作用下变为Q(x,y). ，即 又点P(x0,y0)在直线l:x+y-1=0上, 即直线l的方程为4x+y-7=0.,(2) 0,矩阵A可逆. 设,
