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1、高考数学经典错题深度剖析及针对训练专题23不等式专题23 不等式【标题01】把两个不等式直接相减违背了不等式的性质【习题01】若满足,,则的取值范围是 .【经典错解】因为,,两式对应相减得,所以的取值范围是.【详细正解】因为,所以,又因为,所以两式相加得,所以的取值范围是. 【习题01针对训练】设,那么的取值范围是()A.(0,) B.(,) C. D. 【标题02】不等式推理时忽略了不等式性质【习题02】“”是 “”的( )A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【经典错解】,所以“”是 “”的充分条件.,所以“”是 “”的必要条件,所以选. 【详细
2、正解】,因为时,不等式不成立,所以“”是 “”的非充分条件.,所以“”是 “”的必要条件,所以选. 【深度剖析】(1)经典错解错在不等式推理时忽略了不等式性质. (2)在不等式两边同时乘以一个数时,一定要注意这个数是正数,还是负数,还是零,不能随意.【习题02针对训练】给出三个条件:;.其能成为的充分条件的个数为( )A个 B个 C个 D个 【标题03】把不是一元二次不等式的看成了一元二次不等式导致漏解【习题03】对于任意实数,不等式恒成立,则实数的取值范围( )A B C D【经典错解】由题得,即;综上所求实数的取值范围是,故选C.【详细正解】当时,不等式显然成立;当时,即;综上所求实数的取
3、值范围是,故选D.【习题03针对训练】若不等式对任意实数x均成立,则实数a的取值范围是( )A B C D【标题04】经典错解错在不讲逻辑在解分式不等式的两边同时乘了分母【习题04】解不等式【经典错解】由题得 ,所以解集为【详细正解】,解集为【深度剖析】(1)经典错解错在不讲逻辑在解分式不等式的两边同时乘了分母.(2)由于分母不知道是正数还是负数,所以不能在不等式的两边同时乘以,此时要么分类讨论,要么按照详细正解解答.【习题04针对训练】不等式的解集为( )A B C D【标题05】没有把一元二次不等式的二次项的系数变成正数【习题05】不等式x2x20的解集为( )A. xx2或 x1 B.
4、x2x1 C. xx1 或x2 D. x1x2 【经典错解】由题得 故选B.【详细正解】不等式变形为,所以不等式解集为xx2或 x1 ,故选A.【习题05针对训练】不等式的解集为 【标题06】图像分析不彻底【习题06】变量 满足线性约束条件,则目标函数,仅在点取得最小值,则的取值范围是( )AB CD 【经典错解】作出不等式组对应的平面可行域(如图所示), 所以,当最小时,直线在轴上的纵截距最大,当动直线的斜率大于直线的斜率时,目标函数,仅在点 取得最小值,则的取值范围是,所以选择.【详细正解】作出不等式组对应的平面可行域(如上图所示),所以,当最小时直线在轴上的纵截距最大,当动直线的斜率大于
5、直线的斜率且小于直线的斜率时,目标函数,仅在点取得最小值,则的取值范围是,所以选择.【习题06针对训练】若满足约束条件目标函数仅在点处取得最小值,则实数的取值范围是( )A. B. C. D. 【标题07】画线性约束条件对应的平面区域时出现错误【习题07】已知,若恒成立, 则的取值范围是 .【经典错解】要使不等式成立,则有,即,设,则.作出不等式组对应的平面区域如图,平移直线,由图象可知当直线经过点时,直线的截距最小,此时最大,由,解得,代入得,所以要使恒成立,则的取值范围是,即,【习题07针对训练】已知实数满足:,则的取值范围是( )A B C D【标题08】把动点对应的平面区域扩大了【习题
6、08】直角坐标系中,已知两定点,.动点满足,则点构成的区域的面积等于 .【经典错解】由,得,所以,和不等式对应相加得, 所以,所以.以为横坐标,以为纵坐标,作一个矩形,得矩形的面积为.【详细正解】由,得设M(s,t),则,解得,由,得.作出不等式组对应的平面区域,是一个平行四边形,计算得平面区域的面积为,所以填.【习题08针对训练】已知点在由不等式确定的平面区域内,则点所在的平面区域面积是【标题09】思维不严谨【习题09】设变量满足约束条件,则目标函数的取值范围为()A B C D【经典错解】如图,可行域为的边界及内部,双曲线与可行域有公共点时,由于最优解一般在顶点取得,所以把点的坐标代入得选
7、择.【详细正解】如图,可行域为的边界及内部,双曲线与可行域有公共点时,当曲线经过点时,最小,当曲线和直线相切时,最大.联立得 所以故选 【习题09针对训练】已知实数满足,则的最小值是 .【标题10】不等式性质理解不透彻【习题10】已知,且,则的取值范围是 .【经典错解】,所以, .所以 两式相加得 所以因为, 所以 两式相加得 所以 因为 所以 所以的取值范围是. 【详细正解】,.又,. .【习题10针对训练】已知,则的取值范围是_.【标题11】利用基本不等式时忽略了取等条件【习题11】下列命题中正确的是( ) A当 B当,的最小值为C当, D当无最大值【经典错解】基本不等式使用时注意“一正、
8、二定、三相等”,选项中的的符号不确定,可正可负;选项中, ,所以选择.【详细正解】基本不等式使用时注意“一正、二定、三相等”,选项中的的符号不确定,可正可负;选项当且仅当时取到等号,而的最大值为;,当且仅当取到等号.所以选择.【习题11针对训练】若直线始终平分圆的周长,则的最小值为 .【标题12】忽略了线性约束条件中不等式的等号【习题12】某所学校计划招聘男教师名,女教师名,和须满足约束条件,则该校招聘的教师最多是 名A6 B8 C10 D13【经典错解】招聘老师的人数,作出不等式组对应的可行域,当直线经过可行域的点时,最大,故选.【详细正解】招聘老师的人数,作出不等式组对应的可行域,当直线经
9、过可行域的点时,最大,故选.【深度剖析】(1)经典错解错在忽略了线性约束条件中不等式的等号. (2)不等式组中的第三个不等式,没有等号,所以点不在可行域内,所以点不是最优解.所以要找其他的整数点.【习题12针对训练】已知实数满足:,则的取值范围是( ) A B C D 【标题13】找整数点时没有关注最优解要在线性约束条件的可行域内【习题13】某工厂生产甲、乙两种产品,需要经过金工和装配两个车间加工,有关数据如表:试问应加工这两种产品各多少件才能使工厂获得的利润最大?【经典错解】解:设共生产甲、乙两种产品各x件和y件,工厂获得的利润为z,则z=300x520y作出可行域(如图)考虑z=300x5
10、20y,将它变形为,这是斜率为、随z变化的一族平行直线是直线在y轴上的截距,当直线截距最大时,z的值最大,当然直线要与可行域相交,即在满足约束条件时目标函数z=300x520y取得最大值 由图可见,当直线z=300x520y经过可行域上的点M时,截距最大,即z最大得M的坐标为取最靠近点M的点,逐一检验,得(63,75)是最优解.所以所以加工这两种产品各63和75件时,工厂获得的利润最大【详细正解】前面同上.但是点(63,75)不满足线性约束条件中的2x+5y500,所以点(63,75)根本不在可行域内,接着取点M附近的点(这些点必须满足线性约束条件),得点(64,74)是最优解.所以,所以加工
11、这两种产品各64和74件时,工厂获得的利润最大【习题13针对训练】某人有楼房一幢,室内面积共计180m2,拟分割成两类房间作为旅游客房,大房间每间面积为18m2,可住游客5名,每名游客每天住宿费40元;小房间每间面积为15m2,可以住游客3名,每名游客每天住宿费50元;装修大房间每间需要1000元,装修小房间每间需要600元.如果他只能筹款8000元用于装修,且游客能住满客房,他应隔出大房间和小房间各多少间,每天能获得最大的房租收益?(注:设分割大房间为x间,小房间为y间,每天的房租收益为z元)(1)写出x,y所满足的线性约束条件; (2)写出目标函数的表达式;(3)求x,y各为多少时,每天能
12、获得最大的房租收益?每天能获得最大的房租收益是多少?【标题14】误认为线性规划的所有最值都是在顶点取得【习题14】设变量满足约束条件,则目标函数的取值范围为. A B C D【经典错解】画出不等式组对应的平面区域,得它是一个以为顶点的一个三角形,当时, ,当时,.故选D.【详细正解】画出不等式组对应的平面区域,得它是一个以为顶点的一个三角形,,它表示平面区域内的点(x,y)到原点(0,0)的距离的平方.当时,. 原点到直线x+y-2=0的距离为,所以,故选C.【深度剖析】(1)经典错解错在误认为线性规划的所有最值都是在顶点取得.(2)线性规划的问题一般在顶点取到最值,但是并不代表所有的情况都是如此.最好是利用数形结合画图分析.本题的最小值就不是在顶点取得,是在垂足那一点取得.【习题14针对训练】已知满足约束条件,目标函数的最大值为( )A. B. C. D.13 高中数学经典错题深度剖析及针对训练第23讲:不等式参考答案【习题01针对训练答案】【习题01针对训练解析】由题设得,. 故选.【习题02针对训练答案】 【习题02针对训练解析】中,故能推出;中,若时得,故不能推出;中,当时有,但不能得出;故能成为的充分条件只有,故选.【习题04针对训练答案】C【习题04针对训练解析】原不等式可化为,解得.故选C. 【习题05针对训练答案】【习题05针对训练解析】,得可得.