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1、班 级 姓 名 学 号 安徽建筑工业学院 2011 级高等数学作业题 1 第九章第九章 多元函数微分法及其应用多元函数微分法及其应用 练习 91 多元函数的基本概念 练习 91 多元函数的基本概念 1选择题： （1） 设 2 (,)f xy xyxyy+=+，则( , )f x y= （A）() 2 x xy （B） 2 xyy+ （C）() 2 x xy+ （D） 2 xxy （2） 22 1 0 cos lim 1 x x y ey xy + = （A） 0 （B）1 （C） 1 e （D） 2 e （3）下列极限存在的为 （A） 0 0 lim x y x xy + （B） 0 0 1
2、lim x y xy + （C） 0 0 1 lim sin x y x xy + （D） 2 0 0 lim x y x xy + （4）有且仅有一个间断点的函数为 （A） y x （B） 22 ln() x exy + （C） x xy+ （D）arctan(1)xy+ 2求下列函数的定义域： （1） )1ln( 4 22 2 yx yx z =； （2）yxz= 3求下列极限： （1） 22 1 0 )ln( lim yx ex y y x + + ； （2） () 22 0 1 1 x x y ye lim arctan xy + + ； （3） () 22 0 0 1 x y lim
3、 xyarcsin xy + （4） () 22 22 0 0 1 1 x y cosxy lim lnxy + + 班 级 姓 名 学 号 安徽建筑工业学院 2011 级高等数学作业题 2 练习 92练习 92 偏导数偏导数 1计算下列各题： （1） z yxu)arctan( =，求 y u， z u； （2）设 + = 22 d),( yx x t teyxf，求)21 (， x f； （3） 设)sin(sinsinyxfyz+=，其中)(uf可微，求 y z； （4） y xyz)1 ( +=，求 x z， y z； 2 y x yxyxftan) 1(),( 22 +=，求) 1
4、,(xfx 3设),ln(xyxz =求 yx z 2 4设arctan( ) x uz y =，证明： 222 222 0 uuu xyz += 班 级 姓 名 学 号 安徽建筑工业学院 2011 级高等数学作业题 3 练习 93练习 93 全微分全微分 1选择题： （1）在点 P 处，f可微的充分条件是 （A）f连续 （B）f的全部二阶偏导存在 （C）f的全部一阶偏导连续 （D）f连续且， f x ， f y 均存在 （2）若函数) ,(yxf在点 00 (, )xy处不连续，则 （A） 0 0 lim( , ) xx yy f x y 必不存在 （B） 00 (, )f xy必不存在 （
5、C）) ,(yxf在点 00 (, )xy必不可微 （D） 00 (, ) x fxy、 00 (, ) y fxy必不存在 （3）设函数 =+ + + = 0 , 0 0 , ),( 22 22 24 2 yx yx yx yx yxf，则在)0 , 0(点处 （A）连续，偏导数存在 （B）连续，偏导数不存在 （C）不连续，偏导数存在 （D）不连续，偏导数不存在 （4）若函数),(yxf在区域D内具有二阶偏导数： 2 2 x f ， 2 2 y f ， yx f 2 ， xy f 2 ， 则 （A）必有 xy f yx f = 22 （B）),(yxf在D内必连续 （C）),(yxf在D内必
6、可微 （D）以上结论都不对 2求下列函数的全微分： （1） )ln(tan x y z =； （2） yz xu = 3 设(sin ) x zf ey=，f可微，求dz 班 级 姓 名 学 号 安徽建筑工业学院2011级高等数学作业题 4 练习 94练习 94 多元复合函数的求导法则多元复合函数的求导法则 1计算下列各题： （1） 3 43)arcsin(tytxyxz=，求 t z d d ； （2） 设vwuz+= 2 ，而xywxvyxu=+=， 2 ，求zd； （3） 1 )( 2 + = a zye u ax ，而，xzxaycossin=求 x u d d 2求下列函数的偏导数（
7、其中f具有一阶连续偏导数） ： （1）)( z y y x fu，=； （2） )sin,( 2 zxyxyxfu= 3设( )zxyyF u=+，而( ) x uF u y =，为可导函数，计算： zz xyz xy + 班 级 姓 名 学 号 安徽建筑工业学院2011级高等数学作业题 5 练习 95练习 95 隐函数求导公式隐函数求导公式 1设0sin 2 =+xyey x 确定了函数( )yy x=,用两种方法求 dx dy 2计算下列各题： （1）设02=+ zxy eze，求 y z x z ，； （2）设ln xz zy =，求 x z， y z 3设 22 xuv yuv =+
8、=+ ，求 x u ， u y 4设 2 23 0 0 xyzz xyzz + = += ，求 dz dx ， dy dx 班 级 姓 名 学 号 安徽建筑工业学院2011级高等数学作业题 6 练习 96练习 96 多元函数微分学的几何应用多元函数微分学的几何应用 1选择题： （1）曲面( , , )zF x y z=的一个法向量为 （A） （1, zyx FFF） （B） （1, 1, 1 zyz FFF） （C） （, xyz F F F） （D） （1 , yz FF） （2）旋转抛物面 22 224zxy=+在点（1，1，0）处的法线方程为 （A） 14 1 4 1 = + = zyx
9、 （B） 14 1 4 1 = + = zyx （C） 14 1 4 1 = + = zyx （D） 44 1 1 1zyx = + = （3） 在曲线 23 ,xt ytzt= =的所有切线中，与平面24xyz+=平行的切线 （A）只有 1 条 （B）至少有 3 条 （C）只有 2 条 （D）不存在 2求曲线cos ,sin ,2xt yt zt=在点 22 (,) 222 处的切线及法平面方程 3为使平面01633=+zkyx与曲面163 222 =+zyx相切，求k 4证明曲面)( x y xfz=在任一点处的切平面都通过原点 班 级 姓 名 学 号 安徽建筑工业学院2011级高等数学作
10、业题 7 练习 97练习 97 方向导数与梯度方向导数与梯度 1填空题： （1）函数 222 ln()uxyz=+在点(1,2, 2)M处的梯度gradu （2）函数 222 rxyz=+，则梯度gradr （3）函数 222 ln()uxyz=+在点(1,0,1)A处沿点 A 指向点(3, 2,2)B方向的方向导 数 （4）函数 222 uxyz=+在点(2, 2,1)M处沿点 M 到点(3, 3,1)N方向的方向导 数 2求uxxyxyz=+在点 M0（1，2，-1）处的梯度，并求该梯度方向的方向导数 3 ? ( , ) 3 l i = ? ? ， ? ( , ) 6 l j = ? ?
11、，且( , )zz x y=由方程sin0zzxy+=确定，求 z l 4设函数 22 1 uxy z =+，试问在点(1,1,1)M函数 u 沿着哪一个方向其方向导数取得最 大值，并求出方向导数的最大值 班 级 姓 名 学 号 安徽建筑工业学院2011级高等数学作业题 8 练习 98练习 98 多元函数的极值及其求法多元函数的极值及其求法 1求 22 ( , )(2 ) x f x yxyy e=+极值点及极值 2求函数zxyx=+ 22 32在闭域D xy : 22 94 1+上的最大值和最小值 3 设生产某种产品的数量( , )f x y与所用甲、 乙两种原料的数量x,y之间有关系式(
12、, )f x y 0.005x2y，已知甲，乙两种原料的单价分别为 1 元，2 元，现用 150 元购料，问购进两 种原料各多少，使产量( , )f x y最大?最大产量是多少? 班 级 姓 名 学 号 安徽建筑工业学院2011级高等数学作业题 9 总总 习习 题题 九九 1填空题： 设，fyxyxyf x z)()( 1 +=具有二阶连续导数，则= yx z 2 函数)ln( 22 zyxu+=在) 1 , 0 , 1 (A点处沿A点指向)2 , 2, 3( B点方向的方向导数 为 由曲线 = =+ 0 1223 22 z yx 绕y轴旋转一周得到的旋转面在点)2, 3, 0(处的指向外侧
13、的单位法向量为 2选择题： （1） ( , )f x y在 00 (,)xy处 f x ， f y 均存在是( , )f x y在 00 (,)xy处连续的 条件 （A）充分 （B）必要 （C）充分必要 （D）既不充分也不必要 （2） 已知 x f 0，则 （A）( , )f x y关于 x 为单调递增 （B）( , )0f x y （C） 2 2 0 f x （D） 2 ( , )(1)f x yx y=+ （3）设( , )f x y在点 00 (,)xy处有偏导数存在，则 0000 0 (2 ,)(,) lim h f xh yf xh y h + = （A） 0 （B） 00 3(,) x fxy （C） 00 2(,) x fxy （D） 00 (,) x fxy （4）设( , )zz x y=是由方程(,)0F xaz ybz=所定义的隐函数，其中( , )F u v是变量 , u v的任意可微函数，, a b为常数，则必有
