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1、? ? ? 图 8 能, 一是 A 、 B、 C、 D 四点构成一个凸四边形的顶点; 二是一个点在另三个点组成的三角形的内部. 分成 两个局部分别证明. ) 3. 试将 7 个数字: 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 分成两组, 分 别排成一个三位数和一个四位数, 并且使这两个数 的乘积最大. 试问: 应如何排列? 证明你的结论. (提示: 数值大的数码放在最高位, 可分三步推 进: (1)组成两个二位数( 当然用 6, 7, 8, 9), 并探讨其 组成规律, 可知最大数码后面放最小数码组成的二 位数与次大数码后面放次小数码组成的二位数之乘 积最大, 即 96? 87; (2) 按上述
2、规律组成三位数, 即 964? 875; ( 3) 补上一个 0, 组成四位数 9 640? 8 753, 最后再去掉 0, 得 964? 8 753 之积最大. ) 4. 如图 8, 已知抛物 线 C1: y = - 3 16 x2+ 3 交 x 轴于点 P, 另一条抛物 线 C2过 点 B, 顶 点 为 Q( m, n) , 对称轴与 x 轴 相交于点 D, 且以 Q、 D、 B 为顶点的三角形与以P、 O、 B 为顶点的三角形全等. 求 m、 n 的值. (提示: 抛物线 C2的对称轴可以在点 B 的左 侧, 也可以在点 B 的右侧. 首先, 应把此问题分解为 上述两种情况, 其次, ?
3、 QDB 与? POB 的对应关系 并未给出, 要把全等三角形按对应顶点分解为不同 情况求解. ) 5. 已知关于 x 的二次函数 y= x2+ (2k- 1) x+ k2- 1 的图像与 x 轴交于A ( x1, 0) 、 B( x2, 0) , 且 x2 1+ x 2 2= 9. 问: 在对称轴右边的图像上, 是否存在点 M, 使锐 角? AMB 的面积等于 3? 若存在, 求出点 M 的坐 标; 若不存在, 说明理由. (提示: 可分四步完成: ( 1) 求 ? 0, 确定 k 的范 围( k 5 4 ); (2) 求 k 的值( k= - 1) ; (3) 求 A、 B 的 坐标(0,
4、 0) , (3, 0) ); (4) 由 S?AM B= 3 求点 M 的坐标 (M(2, - 2) ). ) 角元塞瓦定理及其应用( 一) 李 成 章 ( 南开大学数学科学学院, 300071) ? ? 收稿日期: 2005- 08- 26 ? ? ( 本讲适合高中) 塞瓦定理与梅涅劳斯定理是数学竞赛范 围内的两个重要定理. 近几年来, 使用这两个 定理证明的试题频频出现, 因而, 不会运用这 两个定理证题的人是很难取得好成绩的. 20世纪 90 年代中叶, 国内很多教练员 开始认识到这两个定理的重要性. 起初, 大家 认为梅涅劳斯定理的应用更灵活一些, 也更 广泛一些, 但后来却发现,
5、塞瓦定理及其逆定 理在证明三线共点时非常有用, 加之角元塞 瓦定理不但介入竞赛圈而且所占分量越来越 重, 使得塞瓦定理的地位日益提高. 如今, 单 独的角元塞瓦定理大有与梅涅劳斯定理和塞 瓦定理成三足鼎立之势. 此外, 对于某些关于角度的计算题, 使用 角元塞瓦定理的解法往往别具一格, 是其他 方法所不能比拟的. 1 ? 角元塞瓦定理 图 1 ? ? 定理 1? 如图1, 设 D、 E、 F 分别是 ?ABC 的三边 BC、 CA 、 AB 上 的点, 三条 线 段 AD、 BE、 CF 交于一点 M. 则 52006年第 1 期 ( 1) 对?ABC 与点M, 有 sin ?BAM sin
6、?MAC? sin ?ACM sin ?MCB? sin ?CBM sin ?MBA = 1; ( 2) 对?MBC 与点A, 有 sin ?BMD sin ?DMC? sin ?MCA sin ?ACB ?sin ?CBA sin ?ABM = 1; ( 3) 对?MCA 与点B, 有 sin ?CME sin ?EMA ?sin ?MAB sin ?BAC? sin ?ACB sin ?BCM= 1; ( 4) 对?MAB 与点C, 有 sin ?AMF sin ?FMB ?sin ?MBC sin ?CBA ?sin ?BAC sin ?CAM = 1. 定理中一共给出了四个结论. 其实
7、, 定理 的条件加上四个结论中的任一个都是塞瓦定 理. 这里将它们写在一起的目的是为了强调 此图形中有四个不同的角度都可以使用角元 塞瓦定理. 其结果都是有用的, 且同等重要. 角元塞瓦定理之所以称为角元塞瓦定 理, 自然是因为它是由原塞瓦定理( 以后需要 加以区别时, 称之为边元塞瓦定理) 衍生出来 的, 即由边的比过渡到角的正弦的比. 其实, 把角元塞瓦定理看作是拼成一个大三角形或 四边形的三个小三角形的三个正弦定理的乘 积也许更直接一些. 角元塞瓦定理还有下面一种情形: 图 2 定 理 2 ?如 图 2, 设 D 是边 BC 上 的点, E、 F 分别是 边AC、 AB 的延长线 上的点
8、, 三条 直 线 AD、BE、CF交 于 ?ABC的边BC 之外 的一点M. 则有 sin ?BAM sin ?MAC? sin ?ACM sin ?MCB? sin ?CBM sin ?MBA = 1. 与定理1 的( 1) 对照就会发现, 从字母上 看, 两者的结论完全一样, 仅有的区别在于, 交点的位置有所不同. 同样地, 交点 M 的位 置可以换为在边AC 或AB 之外, 结果是完全 类似的. 注意, 图 2 中的 ?BFM 和 ?CME 中, 各 只有一条边 BM 与CM 在定理结论中各作为 六个角中的两个角的边出现, 其余部分均未 出现. 故此在图中可以擦去. 这时, 关于三角 形
9、的角元塞瓦定理就变成四边形ABMC 的角 元塞瓦定理了. 定理 3 ? 在凸四边形 ABMC 中, 如下 4 个结论成立: ( 1) 对?ABC 和点M, 有 sin ?BAM sin ?MAC? sin ?ACM sin ?MCB? sin ?CBM sin ?MBA = 1; ( 2) 对?BMA 与点C, 有 sin ?MBC sin ?CBA ?sin ?BAC sin ?CAM? sin ?AMC sin ?CMB = 1; ( 3) 对?MCB 与点A, 有 sin ?CMA sin ?AMB? sin ?MBA sin ?ABC ?sin ?BCA sin ?ACM = 1; (
10、 4) 对?AMC 与点B, 有 sin ?ACB sin ?BCM? sin ?CMB sin ?BMA ?sin ?MAB sin ?BAC = 1. 像边元塞瓦定理的情形一样, 角元塞瓦 定理的逆定理( 定理 4) 也成立. 定理 4? 如图 3, 过 ?ABC 的三个顶点各 引一条异于三角形三边的直线 AD、 BE、 CF. 若 sin ?BAD sin ?DAC? sin ?ACF sin ?FCB ?sin ?CBE sin ?EBA = 1, 则 AD、 BE、 CF 三线共点或互相平行. 图 3 2 ? 范例选讲 例1? 如图 4, 在?ABC 中, O 为外心, 三 条高 A
11、D、 BE、 CF 交于点H, 直线 ED 和AB 6中 等 数 学 交于点M, FD 和AC 交于点N. 求证: ( 1) OB ?DF, OC ?DE; ( 2) OH ?MN. 图 4 ( 2001, 全国高中数学联赛) 证明: ( 1) 因为点 O 是 ?ABC 的外心, 则 ?BOC= 2?BAC. 故?OBC= 1 2 ( 180 ?- ?BOC) = 90 ?- ?BAC. 因为 A 、 F、 D、 C 四点共圆, 所以, ?BDF= ?BAC. 记 OB ?FD= P. 于是, ?BPD= 180?- ?PBD- ?PDB= 90 ?. 因此, OB ?DF. 同理, OC ?
12、DE. ( 2) 过点 O 作OG ?MN 于G. 因为 AD ?BC, BE ?AC, CF ?AB, 则 ?COG= ?NME, ?GOB= ?FNM, ?OBE= ?ANF, ?EBC= ?DAN, ?BCF= ?MAD, ?FCO= ?EMA. 对?AMN 和点D 应用角元塞瓦定理有 1= sin ?MAD sin ?DAN ?sin ?ANF sin ?FNM ?sin ?NME sin ?EMA = sin ?BCF sin ?EBC ?sin ?OBE sin ?GOB ?sin ?COG sin ?FCO = sin ? COG sin ? GOB? sin ? OBE sin
13、 ?EBC? sin ?BCF sin ?FCO . ? ? 由角元塞瓦定理的逆定理知 OG、 BE、 CF 三线共点, 即 OG 过点H. 又因为 OG ?MN, 所以, OH ?MN. 在上述证明中, 作了一条辅助线 OG ? MN. 其实, 不作这条辅助线且不作任何辅助 线, 类似的证明也可以完成. 有兴趣的读者不 妨一试. 例 2 ? 四边形 ABCD 内接于 ?O, 其边 AB 与DC 所在的直线交于点P, AD 与BC 所 在的直线交于点Q, 过点 Q 作 ?O 的两条切 线QE 和 QF, 切点分别为 E 和 F. 求证: P、 E、 F 三点共线. ( 1997, 中国数学奥林
14、匹克) 图 5 证 明: 如 图 5, 联结 AE、 CE、 DE、 DF. 因为QE、 QF 都 是 ?O 的 切 线, 所以, ?AEF= ?ADF = 180 ?- ?QDF, ?FED= ?QFD. 又?PDA= 180?- ?PDQ, ?DAP= ?DCQ, ?EDP= ?QEC, ?PAE= ?ECB= 180?- ?QCE, 则sin ?AEF sin ?FED = sin ?QDF sin ?QFD= QF QD , sin ?EDP sin ?PAE = sin ?QEC sin ?QCE = QC QE , sin ?DAP sin ?PDA = sin ?DCQ sin
15、?QDC= QD QC . 故sin ?AEF sin ?FED? sin ?EDP sin ?PDA? sin ?DAP sin ?PAE = sin ?AEF sin ?FED? sin ?EDP sin ?PAE ?sin ?DAP sin ?PDA = QF QD ?QC QE ?QD QC = 1. 对?EDA 和点P 应用角元塞瓦定理的 72006年第 1 期 逆定理知 AB、 CD、 EF 三线共点. 从而, P、 E、 F 三点共线. 此题是国内数学竞赛的一道名题, 许多 辅导书上都有这道题并有各种各样的证法. 了解其他证法的读者自会发现, 这里给出的 证法是较好的方法之一.
16、例3 ? 锐角 ?ABC 内接于 ?O, 分别过 点 B、 C 作 ?O 的切线, 并分别交过点 A 所 作?O 的切线于点 M、 N, AD 为边 BC 上的 高. 求证: AD 平分 ?MDN. ( 1988, 全俄数学奥林匹克) 图 6 证明: 如图 6, 记 ?MDA = ? , ?NDA = ?. 只须证明 ? = ?. 因 为 MN、MB、 NC 都是 ?O 的切线, 所以, ?MAB= ?MBA = ?ACB, ?NAC= ?NCA = ?ABC. 对?DAB 和点M 应用角元塞瓦定理有 1= sin ?ADM sin ?MDB ?sin ?DBM sin ?MBA ?sin ?BAM sin ?MAD = sin ? cos ? ?sin ( B+ C) sin ?MAD = tan ? ?sin ( B+ C) sin ?MAD .? 同理, 对?DAC 和点N 应用角元塞瓦定 理又有 1= tan ? ?sin ( B+ C) sin ?NAD .? 比较式? 、 ? 即得 tan ?= tan ?. 因此, ? = ?, 即 AD 平分 ?MDN. 例4
