寿险精算利息基础

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1、第二部分 利息基础知识,一.利息的度量 二.确定年金 三.等值方程,一.利息的度量,1.基本概念 在经济活动中，资金的周转使用会带来价值 的增 值。资金周转使用的时间越长，实现的价值增值就 越大。同时，等额的货币在不同时间，由于受通货 膨胀的影响，其实际价值也不同。因此，借入或出 让资金都有相应的代价或报酬。 利息：利息是借入资本需要支付的使用代价，或者 是出让资本使用权得到的报酬。利息的计算与累积 函数、计息方式、投资期长短有有关。,本金：开始投资滋生利息的款项。 终值（累积值）：本金经过一定时期后形成 的总金额称为终值，也称为累积值。 累积函数a(t)：0时刻数量为1的本金在t时刻 的累积

2、值（终值），a(0)=1，a(t)可连续或间 断，a(t)单调递增，也可单调递减，但我们总 希望它单调递增以保证存在正的利息。t表示 1元本金投资使用的时间长度。时间长度可以,用不同的单位来度量，如分钟、小时、日、 周、月、季、三个月、半年、一年等。用来 度量时间的单位称为“度量期”或“期”，其中最 常用的期是年。 总额函数A(t): 一定额度（K个单位）的本金 在t时刻的累积值称为总额函数，它是本金与 利息之和，A(0)就是本金。以I(t)表示t时刻的 利息, 则 I(t)=A(t)-A(0).,A(t)与a(t)的关系：A(t)=A(0)a(t)。 我们称累积函数a(t)的倒数1/a(t)

3、为t期贴现因 子或贴现函数,记为v(t).把1期贴现因子1/a(1) 简称贴现因子，记为v. t期贴现因子是为了使在t期期末的累积值为1 而在开始时投入的本金金额. 即：A(0)=1/a(t) 从而，A(t)=A(0)a(t)=1/a(t)a(t)=1.,我们把为了在t期期末得到某个累积值而在开 始时投入的本金金额称为该累积值的现值。 如：1/a(t)是在t期期末累积值1的现值，在t期 期末累积值A(t)的现值是A(t)1/a(t)。 在某种意义上，累积与贴现是相反的过程。 a(t)为1单位本金在t期期末的累积值；而 1/a(t)是t期期末1单位终值的现值。,把从投资日起第n个度量期得到的利息

4、金额记 为 In,In=A(n)-A(n-1),n大于等于1. In为一 个时间区间上所得利息的量, A(n)为在一特定 时刻的累积量。 实际利率：某一度量期的实际利率是指该度 量期内得到的利息金额与此度量期开始时投 资的本金金额之比，通常用字母i来表示。,对于实际利率保持不变的情形，i=I1/A(0)； 对于实际利率变动的情形，第n个度量期的实 际利率in=In/A(n-1)=A(n)-A(n-1)/A(n-1)； 例1 某人到银行存入1000元，第一年末他存折上的金额为1020元，第二年末他存折上的金额为1050元，问：第一年和第二年的实际利率分别是多少？,解:显然 A(0)=1000，A

5、(1)=1020, A(2)=1050，因此， I1=A(1)-A(0)=20，I2=A(2)-A(1)=30 i1=20/1000=2%, i2=30/1020=2.941%. 故第一年的实际利率2%，第2年的实际利率 为2.941%。 2.单利和复利,前面讨论的实际利率是针对某一个度量期而 言的，若投资期为多个或非整数个度量期， 那么如何进行利息的度量呢？最重要的度量 方式有单利和复利两种。 考虑投资一单位本金。 （1）如果其在t时刻的累积值为a(t)=1+it，则 该笔投资以每期单利i计息，称这样产生的利 息为单利；,（2）如果其在t时刻的累积值为a(t)=(1+i)t， 则称该笔投资以

6、每期复利i计息，这样产生的 利息为复利。 由上述定义可知： （1）若以每期单利i计息,则在1元本金的投资 期间，每一度量期产生的利息均为i。但这并 不意味着其实际利率为i。实际上，对n=1， 第n期的实际利率为,显然， i_n 关于n单调递减。常数的单利意味着递 减的实际利率。 （2）若以每期复利i计息 。则在投资期间的不同度 量期将产生不同的利息。即，,I_n关于n单调递增。而对于每期实际利率， 有i_n=a(n)-a(n-1)/a(n-1)=I_n/a(n-1)=i. 常数的复利意味着实际利率为常数 。 单利只在本金上计息，而复利是利上生利的 计息方式。 例 2 某银行以单利计息，年息为2

7、%，某人 存入5000元，问5年末的累积值是多少？ 解：A(5)=5000a(5)=5000*(1+5*2%)=5500.,例 3 上例中若银行以复利计息，其它条件不 变，问5年末的累积值是多少？ 解：A(5)=5000*a(5)=5000*(1+2%)5=5520.4. 即5年末的累积值为5520.4元。 注意：在单利和复利下，也可用各期的实际 利率计算累计函数和总额函数。设第t期的实 际利率为i_t, 则在单利下，,A(n)=A(0)(1+i_1+i_2+i_n); a(n)= 1+i_1+i_2+i_n. 在复利下， A(n)=A(0)(1+i_1)*(1+i_2)*(1+i_n); a

8、(n)= (1+i_1)*(1+i_2)*(1+i_n). 例4 以10000元本金进行5年投资，前2年的利 率为5%，后3年的利率为6%。以单利和复利 计算5年后的累积资金。,解：在单利下，有 A(5)=10000*(1+2*5%+3*6%)=12800(元)。 在复利下，有 A(5)=10000*(1+5%)2*(1+6%)3=13130.95 （元）。 3. 实际贴现率 一个度量期的实际贴现率为该度量期内取得的利息 金额与期末的投资可回收金额之比，通常用字母d来 表示实际贴现率。,可以看出，实际贴现率d与实际利率i的定义十 分类似。事实上，它们都是一个比例，而且 都是利息除以投资金额。只

9、不过实际利率i对 应的投资金额是在期初实际付出的资金金 额，即本金；而实际贴现率d对应的投资金额 是期末投资者可收回的资金金额。 由定义可知，实际利率反映了单位货币在单 位时间内的利息额，而实际贴现率反映了单,位货币在单位时间内的贴现额。贴现额是指 将应该在将来某时期支付的金额提前到现在 来支付时，在支付额中应扣除的一部分金 额，即扣除额。它相当于资金投资在期初的 预付利息。（贴现和利息的区别在于分析的 出发点不同，利息是在本金基础上的增值， 贴现是在累积值基础上的减少值，相当于利 率在每一复利计算期的起点时刻被计入）。,类似于实际利率，也可以定义任意度量期的 实际贴现率，令d_n为从投资日算

10、起第n个时 期的实际贴现率，根据定义，有,I_n为利息金额。一般而言，d_n也可能随不 同度量期而变化。然而，在复利情况下，若 实际利率为常数，则实际贴现率也是常数。 设每期实际利率为i,则,例 5 某人到银行存入1000元，第一年末他存 折上的金额为1050元，第二年末他存折上的 金额为1100元，问：第一年和第二年的实际 贴现率分别是多少？ 解：A(0)=1000,A(1)=1050,A(2)=1100, d_1=A(1)-A(0)/A(1)=50/1050=4.762%, d_2=A(2)-A(1)/A(2)=50/1100=4.545%,实际利率和实际贴现率都是用来度量利息 的，若某人

11、以实际贴现率d借款1，则实际上 的本金为1-d，而利息（贴现）金额为d，若 这笔业务的实际利率为i，则按实际利率的定 义，得 i=d/(1-d),这表明，与实际贴现率d等 价的实际利率为d/(1-d)。同时，由上等式可 以求得d=i/(1+i)，即与实际利率i等价的实际 贴现率为i/(1+i).,贴现率d与贴现因子v之间也存在着重要关 系。由于v=1/a(1)=1/(1+i)，从而d=i/(1+i)=iv 对于这个式子我们可以这样理解：以贴现率d 投资1赚得的（已在期初支付）利息是d,如果 该笔业务以利率度量，且等价的实际利率为 i,也就是说，这笔业务如果投资1，将在期末 赚得利息i，而i在期

12、初的现值为iv，这个值显 然应该等于d。,此外，还可得关系式：,总之，等价的利率i、贴现率d和贴现因子（折 现因子）v之间关系如下：,例6 已知某项投资在一年中能得到的利息金 额为336元，而等价的贴现金额为300元，求 本金额。 解： 设本金为A(0). 假如他以贴现额300元投 资A(0),则其实际本金为A(0)-300, 则实际利率 为i=300/(A(0)-300), 同时，由题设A(0)*i=336 于是，得， 300/(A(0)-300) =336/A(0),可解出A(0)=2800(元)。,4.名义利率和名义贴现率 前面讨论了实际利率和实际贴现率，“实际”一 词的主要含义在于，利

13、息为每个度量期支付 一次，或在期初，或在期末，视具体情况而 定。然而，实际中往往有很多在一个度量期 中利息支付不止一次或多个度量期才支付一 次的情形。这时，我们称相应的一个度量期 的利率和贴现率为“名义”的。例如，银行的,存款年利率为3%，但假如规定一年中可以结 算4次利息，则实际年终累积值肯定会超过年 利率下的累积值。这时，这个年利率3%就是 名义上的利率，即名义利率。再如，银行存 款年利率4%，但至少3.5年才可结算利息， 这时，该年利率也是名义利率。我们用 表 示每一度量期支付m次利息的名义利率，这 里的m可以不是整数也可以小于1。,所谓名义利率 是指每1/m个度量期支付利 息一次，而在

14、每1/m个度量期的实际利率 为 。由此可知，与 等价的实际利率I 之间的关系：,同样的，我们还可以定义名义贴现率 ， 它是指每1/m个度量期支付利息一次，而在每 1/m个度量期的实际贴现率为 。 类似的，我们也可以推导出名义利率与名义 贴现之间的关系：,值得注意的是关于利率的描述，因为实务中 有关利率的术语不统一， 而且有些术语存在 多重含义。我们这里称i(m)为每年计息m次 的年名义利率（各计息期长度相同）；d(m) 为每年计息m次的年名义贴现率，如i(2)=6% 表示每年计息2次的年名义利率为6%，也即 每半年的实际利率为3%。而i(1/2)=6%表示 每两年计息一次的年名义利率为6%。,

15、例7 （1）求与实际利率8%等价的每年计息2 次的年名义利率以及每年计息4次的年贴现率 （2）已知每年计息12次的年名义贴现率为 8%，求等价的实际利率。 解：（1）,例8 求1万元按每年计息4次的年名义利率6% 投资3年的累积值。 解：,5.利息力（利息强度）,前面定义的各种利息度量方式都是用来在规 定的时间区间内的利息的。实际利率和实际 贴现率度量的是一个度量期内的利息，而名 义利率和名义贴现率则用来度量在1/m个度量 期内的利息。 在很多情况下，我们还希望能度量在每一时 间点上的利息， 也就是在无穷小时间区间上 的利息。这种对利息在各个时间点上的度量,称为利息力或利息强度。这相当于度量当

16、m 趋于正无穷大时的1/m度量期内的极限利息。 即 考虑投资一笔资金，设在时刻t的资金金额由 总额函数A(t)给出，这笔资金的变化完全由于 利息的原因，即本金既不增加也不撤回。 定义,式中， 是该投资额在时刻t的利息力 （利息强度），即它是利息在点（时刻t）处 的一种度量，是t时每一单位资金的变化率, 或说是资金的瞬时利率。将定义式变形：,用r代替t， 然后将上式两端在0t 上积分，得 从而， 另外，由定义式，还可得,上式两端在0n上积分，可得 此式解释如下：A(n)-A(0)为度量期内获得的 利息。微分表达式 则看成 利息力为 的情况下资金A(t)在t时刻获得的 利息，将此表达式在0n上积分，即得n各度 量期内获得的利息总额。,例 如果 =0.01t (0=t=2),确定投资1000元 在第1年末的累计值和第2年内的利息金额。 解