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1、全国大学生数学建模竞赛讲座,东南大学数学系陈恩水2012.08,数学建模竞赛介绍,数学建模竞赛是一项应用数学知识、数学工具及现代计算手段解决实际问题的技能性竞赛。竞赛的目的是引导同学主动的、探讨性的、创造性的学习数学知识与技能。,开始于2年，是教育部主办的两项规模最大的大学生课外科技活动。（数模竞赛与电子竞赛）竞赛每年一次，时间为月第二周周末，参加对象为全日制高校学生，今年是9月7日。参赛队可以利用一切非活体的资源，包括网路、媒体、文献、书刊等。,竞赛分本科组及高职高专组，每组提供两个赛题，每个队从中选题。011年全国1万9千多队参赛，其中专科3000多队。论文分赛区与全国两级评审。全国1等奖
2、比例不超过1.5%,全国2等奖比例不超过6.5%。,赛区评审每篇论文由3位评审评阅，综合3位评审的结果给论文打分。按全国组委会要求将部分优秀论文报送全国参加全国评审。每所学校最多报10篇论文，其中一等不超过5篇。江苏报全国比例在8%左右（90-100篇），其中报全国一等与二等各占50%，报全国一等奖论文必须先通过赛区论文答辩。,报送全国的一等与二等的论文分开评审，报二等的论文原则上不参加全国一等评审；报全国一等的论文由3位评委评审，约三分之一的论文最终被评为全国一等奖，约10%的论文直接打回所在赛区，其他论文参加全国二等评审。报全国二等论文由1-2人审核，其中约20%打回所在赛区。,全国一等奖
3、的评审与赛区评审的方式基本相同，采取打分制。具体大致分为：摘要部分（10%）数据处理（如果需要的话）建模（提倡有创造性想法的或简单的模型）求解（提倡简便有效地算法或解法）结果检验（5-10%）论文总体结构（10%）,如何完成竞赛数码相机定位问题,2008全国大学生数模竞赛题分析,背景信息：靶标与靶标的像图1靶标图2靶标的像,需要解决的问题建立数学模型和算法以确定靶标上圆的圆心在该相机像平面的像坐标,这里坐标系原点取在该相机的焦点，x-y平面平行于像平面；计算靶标上圆的圆心在像平面上的像坐标,该相机的像距（即光学中心到像平面的距离）是1577个像素单位(1毫米约为3.78个像素单位)，相机分辨率
4、为1024768,3.设计一种方法检验你们的模型，并对方法的精度和稳定性进行讨论。4.建立用此靶标给出两部固定相机相对位置的数学模型和方法。,数码相机定位的含义：用数码相机摄制物体，确定物体表面某些特征点在相片中的位置。,交通监控最常用双目定位方法：双目定位：用两部相机来定位,有许多关于数码相机定位的实验研究,实验方法：在物平面上画若干个圆（称为靶标），通过圆心作系统标定。圆的像一般会变形，所以必须将靶标上圆心的像精确地找到，实现标定（刻画定位方法，寻找对应法则）。,问题的本身是一个物理问题，涉及数码相机的物理参数，作为竞赛题一般无需将问题专业化。,标定一般应该考虑的问题：,需要将非数值的信息
5、转化为数值信息需要从数学上确定靶标与靶标的像的关系需要了解数码相机成像的原理或对该原理作必要的假设如果作了假设，需要验证假设,非数值信息转化为数值（数据处理）数学软件matlab可以实现将彩图转化为2值灰值图temp1=imread(orign.bmp,bmp);data_orign=rgb2gray(temp1);figure(1);subplot(1,2,1);imshow(temp1);subplot(1,2,2);imshow(data_orign);temp=imread(imaging.bmp,bmp);,（2）获取有用信息：像图的边界及特征点的提取,data_imaging=rg
6、b2gray(temp);BW=edge(data_imaging);figure(2);subplot(1,2,1);imshow(temp);subplot(1,2,2);imshow(data_imaging);figure(3);imshow(BW);flag=find(BW=1);xx=floor(flag./1024);%yy=mod(flag,768);%,第一问建立该问题的数学模型，就是寻找物与像的对应关系主要有两种途径：（1）物平面的点集与像平面的点集的对应法则。（2）物平面的点与像平面上点的对应法则。,寻找物的具有某种特征的点（特征点）及确定其像的坐标，每个点可以得到两个方
7、程，3个这样的点可以将相关参数定出来。,可以利用的特征：内点至内点，直线至直线，线与线的交点至线与线的交点，边界至边界。映射唯一性。这些信息可以帮助寻找特征点、特征信息。,数学模型,模型假设（1）相机成像模型视为针孔模型，忽略凸透镜的物理尺寸（靶标与像构成线性变换）。（2）相机光轴垂直于像平面。（3）坐标系建立在光学中心平面上。,方法一（点集对应法则）,在像坐标系下，物圆的方程,可以证明：在线性变换下其像表示平面上的二次曲线，根据二次曲线的分类，知其为椭圆（需证明或给出该证明的文献）。,设某物圆的像的椭圆方程为,提取像边界的若干点，通过曲线拟合确定参数,作锥面，锥面方程（略去！）,椭圆为准线，
8、o为顶点如果,消去Z得柱面方程,与靶标平面方程,第二种方法（点与点对应负法则）,寻找靶标与像标的某些特征点关系。如圆的直径的交点是圆心两个圆存在外公切线、内公切线等需要利用像的一些性质直线的像是直线，交点的像是交点像点的唯一性等,假设数码相机成像近似为小孔成像,小孔成像的几何描述,靶标的像位置,靶标圆位置,相机像位置,光学坐标与物坐标的关系（坐标变换公式旋转加平移，描述空间点在两种坐标系下坐标，6个独立变量）,光学坐标与像坐标,像坐标的像素表示,即,如果世界坐标系建在物平面上，则系统标定方程（数学模型）,上述模型中有若干参数是未知的，只要原因是相机与靶标位置关系未知。需要给出确定（估计）参数的
9、方法（常见算法：最小二乘法统计方法）,估计模型参数,选取有代表性的点（自变量及因变量观察值）,绝大多数参赛队是通过圆的公切线的切点,通过几何作图，寻找每个圆上的公切线切点在物坐标下坐标，每个圆上至少12个切点（自变量取值）；在像素坐标系下，读出这些点的像素坐标（因变量观察值）。如此可以初步完成第二问优点：简便已处理缺点：精确度低,以像图左上角为坐标原点像素坐标A（191，323）B（196，421）C（207，639）D（502，579）E(500,284)为问题（2）计算结果。,方法三（方法二之改进）,借助椭圆拟合方程，求公切线的切点,设圆A对应的圆像坐标为,圆C对应的像坐标为,利用4个方程
10、数值求解四个未知量，确定公切点坐标（该方程组有4组解，利用Matlab解析器solve需要慎重确定初值）。,该方法需要进一步判别内切点与外切点，下面的步骤同法1.,值得注意的是：无论哪种方法都涉及像点坐标或像素坐标的确定，matlab可以完成这部分任务，通常将灰值图转化为两值图，分别用0，1表示或直接给出0，1表示的像图边界，但边界像素提取必然会有误差，需要做误差分析。,问题3(开放性问题)：,1模型验证问题需要验证假设及模型的应用范围。2关于模型精度与稳定性精度指计算结果与实际结果的比较，通常借助回代来处理。稳定性指方法对参数，初值的依赖情况。分分析发现：f对问题影响非常大,精度分析：对于本问题，借助前面得到的具体模型，给出各物圆的像，比较计算的像图与实际像图的偏差情况。选择其他形状的物标（如正多边形，长方形等）比较计算的像图与实际像图的偏差情况。,关于问题（4）双目标定位,点与点对应法则,位置关系,点集对应法则（略）,本问题建模中三类明显不足,（1）几何法中，确定M矩阵时，没有考虑的旋转变换的正交性，只用少数点确定M，不同的圆确定出不同的M。（2）圆心与像椭圆心对应。（3）缺乏模型验证,
