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1、1,线性代数,2,这次课继续讲：,矩阵及其运算第二讲,矩阵的运算(二).,3,五、矩阵的转置,1.定义定义5把矩阵A的行换成同序数的列得到,例如矩阵,的转置矩阵为,一个新矩阵,叫做A的转置矩阵,记作AT.,4,2.运算规律设A，B，C，A1，A2，Ak是矩阵，且,(A1A2Ak)T=AkTA2TA1T;,(1)(AT)T=A;(2)(B+C)T=BT+CT;(3)(kA)T=kAT;(4)(AB)T=BTAT;,则,它们的行数与列数使相应的运算有定义，k是数，,证明,五、矩阵的转置,6,例6已知,求(AB)T.,解法1先乘积后转置,解法2先转置后乘积,五、矩阵的转置,7,例7设A为n1矩阵,且
2、ATA=1,En为n,阶单位矩阵,B=En-2AAT,证明:B为对称矩阵,且B2=En.,证明,五、矩阵的转置,8,六、方阵的行列式,1.定义,定义6由n阶方阵A的元素所构成的行列,式(各元素的位置不变),叫做方阵A的行列式,记,作|A|或detA.,注意,方阵与行列式是两个不同的概念,n阶,方阵是n2个数按一定方式排成的数表,而n阶行,列式则是这些数(也就是数表A)按一定的运算,法则所确定的一个数.,9,2.运算规律,设A,B为n阶方阵,为数,则有,(1)|AT|=|A|;,(2)|A|=n|A|;,(3)|AB|=|A|B|.,证明,六、方阵的行列式,10,值得注意：,(2)说明一个数乘以
3、方阵所得方阵的行列式等,于这个数的n次幂乘以该方阵的行列式,这个数不,能直接提出来,同学们一定要注意这一点.,由(3)可知,对于n阶方阵A,B,一般来说,ABBA,但总有|AB|=|BA|.,(1)即为行列式的性质1;,六、方阵的行列式,11,例8行列式|A|的各个元素的代数余子式,Aij所构成的如下方阵,称为方阵A的伴随矩阵,试证,AA=AA=|A|E.,证明,六、方阵的行列式,12,七、共轭矩阵,复数,记,称为A的共轭矩阵.,共轭矩阵有以下运算规律(设A,B为复矩阵,为复数,且运算都是可行的):,13,1引例线性变换的逆变换,设给定一个线性变换,它的系数矩阵是一个n阶矩阵A，若记,八、逆矩
4、阵,14,则线性变换(1)可记作,Y=AX.(2),按克拉默法则，若|A|0，则由(1)可解出,即x1,x2,xn可用y1,y2,yn线性表示为,1引例线性变换的逆变换,15,其中,并且这个表示式是唯一的.,(3)是一个从y1,y2,yn到x1,x2,xn的线性,变换，称为线性变换(1)的逆变换.,若把(3)的系数矩阵记作B，则(3)也可记作,1引例线性变换的逆变换,16,X=BY(4),我们从(2)、(4)两式分析变换所对应的方阵A,与逆变换所对应的方阵B之间的关系.,Y=A(BY)=(AB)Y，,由此可得AB=E.,把(2)代入(4)，得,X=B(AX)=(BA)X，,类似地有BA=E.,
5、于是有,AB=BA=E.,由此我们引入：,把(4)代入(2)，得,1引例线性变换的逆变换,17,定义7设是n阶方阵，若存在n阶方,阵，使得,ABBAE，（5）,则称矩阵A可逆，且称B是A的逆矩阵，记作,BA1,如果不存在满足（5）的矩阵B，则称矩阵,A是不可逆的,2逆矩阵的概念,18,现在的问题是:,可逆矩阵的逆矩阵是否唯一，如何求逆矩阵？,可逆矩阵有什么性质？,矩阵A满足什么条件时可逆？,这是本次课要讨论的主要问题,2逆矩阵的概念,19,3矩阵可逆的充要条件,定理1如果n阶矩阵可逆，则它的逆,矩阵是唯一的,证明,20,定理n阶矩阵可逆的充要条件是,|0.如果可逆，则,其中为矩阵的伴随矩阵.,
6、证明,3矩阵可逆的充要条件,21,由定理2,推论若AB=E（或BA=E），则,B=A-1.,可得下述推论：,证明,3矩阵可逆的充要条件,22,若n阶矩阵A的行列式不为零，即|A|0，,则称A为非奇异矩阵，否则称A为奇异矩阵.,说明，矩阵A可逆与矩阵非奇异是,等价的概念.,定理不仅给出了矩阵可逆的充要条件，而,且给出了求矩阵逆矩阵的一种方法，称这种方法为,伴随矩阵法.,定理2,3矩阵可逆的充要条件,23,4可逆矩阵的性质,设A,B,Ai(i=1,2,m)为n阶可逆矩阵，,k为非零常数，则,A-1,kA,AB,A1A2Am,AT,也都是可逆矩阵，且,（1）(A-1)-1=A;,（3）(AB)-1=
7、B-1A-1,(A1A2Am)-1=Am-1A2-1A1-1;,（4）(AT)-1=(A-1)T;,（5）(Am)-1=(A-1)m,m为正整数.,（2）(kA)-1=k-1A-1;,证明,24,例9求二阶矩阵,的逆矩阵.,5举例,解,“两调一除”口诀,先将矩阵A中的主对角线上的元素调换位置，,再将次对角线上的元素调换符号,最后用|A|去除,A的每一个元素,即可得A的逆矩阵.,25,例10用伴随矩阵法求下列矩阵的逆矩阵：,解,5举例,26,例11解矩阵方程AXB=C，其中,解,5举例,27,例12设,求An.,解,5举例,28,小结：,这次课继续讲了矩阵的运算：,转置矩阵、方阵的行列式和共轭矩
8、阵.,重点讲了,逆矩阵的定义、条件、性质和计算.,29,本讲内容已结束!谢谢.,30,则,A=(aij)ms,B=(bij)sn,我们只证明(4)的第一式.,设,记AB=C=(cij)mn,BTAT=D=(dij)nm.,证明,而BT的第i行为(b1i,bsi),AT的第j列为,(aj1,ajs)T,因此,公式(AB)T=BTAT的证明,31,所以dij=cji(i=1,2,n;j=1,2,m),即D=CT,亦即BTAT=(AB)T.,证毕,公式(AB)T=BTAT的证明,32,解法1先乘积后转置,所以,因为,例6的解答1,33,解法2先转置后乘积,(AB)T=BTAT,例6的解答2,解毕,3
9、4,由于,BT=(En-2AAT)T=En-(2AAT)T,=En-2(AT)TAT=En-2AAT=B,因而矩阵B为对称矩阵.,B2=(En-2AAT)(En-2AAT),=En-2AAT-2AAT+4AATAAT,=En-2AAT-2AAT+4A(ATA)AT=En.,证明,又,证毕,例7的解答,35,证明,公式|AB|=|A|B|的证明,只证（3）.,设A=(aij)，B=(bij)，,记2n阶行列式,一方面，由第一章例10,可知D=|A|B|.,另一方面，在D中以,b1j乘第1列，b2j乘第2列，,36,，bnj乘第n列，都,加到第n+j列上（j=1,2,其中C=(cij)，cij=b
10、1jai1+b2jai2+bnjain，,故,C=AB.,再对D的行作rjrn+j（j=1,2,n），有,n），有,公式|AB|=|A|B|的证明,37,从而按第一章例10有,D=(-1)n|-E|C|,=(-1)n(-1)n|C|,=|C|,=|AB|.,于是|AB|=|A|B|.,证毕,公式|AB|=|A|B|的证明,38,证毕,设A=(aij),记AA=(bij),则,bij=ai1Aj1+ai2Aj2+ainAjn=|A|ij,故AA=(|A|ij)=|A|(ij)=|A|E.,类似地有,证明,例8的解答,39,设矩阵B与C都是A的逆矩阵，则有,AB=BA=E，AC=CA=E，,因而,
11、B=BE=B(AC)=(BA)C=EC=C,证毕,证明,定理1的证明,40,必要性若可逆，则,两边取行列式，得|A|A-1|=1,因而|0.,充分性若|0，则,AA-1=A-1A=E,证明,由逆阵的定义可知，A可逆，且有,证毕,定理2的证明,41,AB=E=，,因而A-1存在，于是,B=EB=(A-1A)B=A-1(AB)=A-1E=A-1.,证毕,证明,推论的证明,若AB=E（或BA=E），则,有A0，,42,我们只证（）和（）,（）因为(AB)(B-1A-1)=A(BB-1)A-1,=AEA-1=AA-1=E.,（）因为AT(A-1)T=(A-1A)T=ET=E,所以(AT)-1=(A-1)T.,证毕,证明,所以(AB)-1=B-1A-1.,可逆矩阵性质的证明,43,解,矩阵A的行列式|A|,=adbc,伴随矩阵,利用逆阵公式,当|A|0时，有,例9的解答,解毕,44,例10的解答,解,存在.,且,45,同理可得,故,伴随矩阵求逆法,解毕,即得,例10的解答,46,解,下面先求A和B的逆矩阵，,由已知易得X=A-1CB-1,所以,例11的解答,解毕,47,解,因为|P|=2，所以P可逆，且易得,在等式AP=P两边右乘P-1，得,A=PP-1，,于是,A2=PP-1PP-1,=P2P-1，,，,An=PnP-1，,例12的解答,而,48,故,解毕,
