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1、,二、无界函数的反常积分,第四节,常义积分,积分限有限,被积函数有界,推广,一、无穷限的反常积分,机动目录上页下页返回结束,反常积分,(广义积分),反常积分,第五章,一、无穷限的反常积分,引例.曲线,和直线,及x轴所围成的开口曲,边梯形的面积,可记作,其含义可理解为,机动目录上页下页返回结束,定义1.设,若,存在,则称此极限为f(x)的无穷限反常积分,记作,这时称反常积分,收敛;,如果上述极限不存在,就称反常积分,发散.,类似地,若,则定义,机动目录上页下页返回结束,则定义,(c为任意取定的常数),只要有一个极限不存在,就称,发散.,无穷限的反常积分也称为第一类反常积分.,并非不定型,说明:上
2、述定义中若出现,机动目录上页下页返回结束,它表明该反常积分发散.,例1.计算反常积分,解:,机动目录上页下页返回结束,思考:,分析:,原积分发散!,注意:对反常积分,只有在收敛的条件下才能使用,“偶倍奇零”的性质,否则会出现错误.,例2.证明第一类p积分,证:当p=1时有,当p1时有,当p1时收敛;p1,时发散.,因此,当p1时,反常积分收敛,其值为,当p1时,反常积分发散.,机动目录上页下页返回结束,例3.计算反常积分,解:,机动目录上页下页返回结束,二、无界函数的反常积分,引例:曲线,所围成的,与x轴,y轴和直线,开口曲边梯形的面积,可记作,其含义可理解为,机动目录上页下页返回结束,定义2
3、.设,而在点a的右邻域内无界,存在,这时称反常积分,收敛;,如果上述极限不存在,就称反常积分,发散.,类似地,若,而在b的左邻域内无界,若极限,数f(x)在a,b上的反常积分,记作,则定义,机动目录上页下页返回结束,则称此极限为函,若被积函数在积分区间上仅存在有限个第一类,说明:,而在点c的,无界函数的积分又称作第二类反常积分,无界点常称,邻域内无界,为瑕点(奇点).,例如,机动目录上页下页返回结束,间断点,而不是反常积分.,则本质上是常义积分,则定义,注意:若瑕点,的计算表达式:,则也有类似牛莱公式的,若b为瑕点,则,若a为瑕点,则,若a,b都为瑕点,则,则,可相消吗?,机动目录上页下页返回
4、结束,下述解法是否正确:,积分收敛,例4.计算反常积分,解:显然瑕点为a,所以,原式,机动目录上页下页返回结束,例5.讨论反常积分,的收敛性.,解:,所以反常积分,发散.,例6.证明反常积分,证:当q=1时,当q1时收敛;q1,时发散.,当q1时,所以当q1时,该广义积分收敛,其值为,当q1时,该广义积分发散.,机动目录上页下页返回结束,例7.,解：,求,的无穷间断点,故I为反常,积分.,机动目录上页下页返回结束,内容小结,1.反常积分,积分区间无限,被积函数无界,常义积分的极限,2.两个重要的反常积分,机动目录上页下页返回结束,说明:(1)有时通过换元,反常积分和常义积分可以互,相转化.,例如,(2)当一题同时含两类反常积分时,机动目录上页下页返回结束,应划分积分区间,分别讨论每一区间上的反常积分.,(3)有时需考虑主值意义下的反常积分.其定义为,P256题1(1),(2),(7),(8),机动目录上页下页返回结束,常积分收敛.,注意:主值意义下反常积分存在不等于一般意义下反,思考与练习,P2561(4),(5),(6),(9),(10);2;3,第五节目录上页下页返回结束,提示:P256题2,求其最大值.,作业,备用题试证,并求其值.,解:,令,机动目录上页下页返回结束,机动目录上页下页返回结束,
