《北师大版选修1-2+第四章：数系的扩充与复数的引入》由会员分享，可在线阅读，更多相关《北师大版选修1-2+第四章：数系的扩充与复数的引入（35页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、4.1.1数系的扩充与复数的引入,4.1数系的扩充和复数的概念,2、数的发展过程,自然数,分数,有理数,无理数,实数,虚数,复数,复数集,实数集,虚数集,纯虚数集,、虚数的引入数系的扩充,为了解决x2这个方程在实数系无解的问题，我们设想引入一个新数i，使i是方程x2的根，即i.i=-1引入的这个数i显然不是实数系中的数，那么我们引入i以后，还希望它能与实数之间像实数系那样进行加法和乘法运算，并满足加法、乘法交换律、结合律，以及乘法对加法分配律。,依照以上设想，实数a,b与i加法和乘法进行运算如下：a+i;b.ia+bi,实数集,产生了一个新的数集,新的数集a+bi|a,bR,、新数系中元素的特
2、点,i=1.i;a=0时，比如2i,3i,-5i等；a=0且b=0时，比如2+3i,4+i,-3+2i,5-2i等；b=0时,规定0i=0,则，,对实数a,b进行讨论：,在新数集中我们完全可以把a+bi（a,bR）看作元素的代表,、复数的相关概念,、我们把集合=a+bi|a,bR中的数，即形如a+bi（a,bR）的数叫做复数，其中i叫做虚数单位。全体复数所成的集合C叫做复数集。,、复数常用字母z表示，即z=a+bi,以后不作特殊说明，都有a,bR，其中a与b分别叫做复数z的实部与虚部。,、规定a+bi=c+dia=c且c=d,4、对于a+bi当且仅当a=时，它是实数；当且仅当a=0且b=0时，
3、它是实数；当b=0时，叫做虚数，当b=0且a=0时，叫纯虚数。,实数集,虚数集,纯虚数集,复数集,、复数集与实数集的关系,2、复数z=a+bi分类,复数z,实数（b=0),虚数（b=0)，当a=0时为纯虚数。,、区分下列几个数分别是什么数？5i,2+i,-3i,-1+6i,0i,9,0.,、熟悉应用,例实数m取什么值时，复数z=m+1+(m-1)i是（）实数？（）虚数？（）纯虚数？,3.1.2复数的几何意义,我们知道实数是客观存在的数，它可以用数轴上点直观表示。,a,实数与数轴上的点一一对应,复数的几何意义（一）,：a+bi,a,b,x,y,实轴,虚轴,复数z=a+bi复平面内的点z(a,b)
4、,一一对应,复平面,复数的几何意义（二）,：a+bi,a,b,x,y,实轴,虚轴,复平面,a+bi|=r=a2+b2,、熟悉应用,例实数m取什么值时，复平面内表示复数（m2_8m+15)+(m2-5m-14)i的点（）位于第四象限？（）位于第一、三象限？（）位于直线y=x上？,、熟悉应用,例在复平面内，O是原点，向量对应的复数是2+i。（）如果点关于实轴的对称点为,求向量OB对应的复数；（）如果（）中点B关于虚轴的对称点,求点对应的复数。,3.1自我评价试题一、选择题（每题3分，共30分）1、若复数z=2m2-3m-2+(m2-3m+2)i是纯虚数，则实数m的值为（）A1或2B-1/2或2C-
5、1/2D22、复数i2+1的实部和虚部分别是（）A1和iBi或1C1和-1D0和03、若a2-a+(a3-2a2-a+2)i是纯虚数，则a的值为（）A1B0或1C0D-1，1，24、若z=m-1+(m1-1)i是虚数，则（）Am1Bm1或m-1Cm1且m-1Dm-15、若a是任意实数，则复数z=a2-2a+4+(a2-a+4)i所对应的点一定于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限6、在复平面上，P到复数-1/3+3i的对应点F的距离与到直线l:3x+1=0的距离相等，则点P的轨迹是（）A抛物线B双曲线C椭圆D直线7、复数-5+6i的实部是，虚部是。8、若（x-2y）+(2x+3y)i=
6、3-2i，其中x,y属于R，则x=,y=.9、下列复数：2+3，0.618，i2，5i+2，i2，其中实数有10、若cos+(m-sin-cos)i不可能是实数，则m的取值范围是。,3.2.1复数代数形式的四则运算,1、规定复数的加法法则如下：设z1=a+bi,z2=c+di是任意两个复数，那么(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)I(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d),2、复数加法交换律、结合律：对任意复数z1,z2,z3有Z1+z2=z2+Z1(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3),复数加法,复数减法,3、规定复数的减法法则如下：设z1=a+bi,z2=c+di是任意
7、两个复数，那么(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i,4、从向量的角度来认识复数加法,z1,z2,z3,z1,z2,z3,特别提醒：一般两个复数不能比较大小，若有大小之分时，一定都是实数，即虚部为0.,例1计算(5-6i)+(-2-i)-(3+4i),解:(5-6i)+(-2-i)-(3+4i)=(5-2-3)+(-6-1-4)I=-11i,例2若z+(3-2i)=5i,求复数z的模,例3、若a是任意实数，则复数z=a2(1+i)-a(2+i)+4+i所对应的点一定于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限,例3,如图的向量oz对应的复数是z,在图中作出运算结果对应的向量.,
8、0,x,y,z,作出z+(-2+i),3.2复数的加减法,例4,如图在平行四边形OABC中，顶点O,A,C分别表示0,3+2i,-2+4i,求：（1）AO所表示的复数，BC所表示的复数。（2）对角线AC所表示的复数；（3）对角线OB所表示的复数及OB的长度。,0,A,B,C,X,Y,3.2复数的加减法,学生练习；已知复平面内三点A，B，C,其中A点对应的复数为2+i，向量BA对应的复数为1+2i，向量BC对应的复数为3-i，求点C对应的复数。,复数乘法,3.2复数的乘除法,一、规定复数的乘法法则如下：设z1=a+bi,z2=c+di是任意两个复数，那么(a+bi)(c+di)=ac+adi+b
9、ci+bdi2=(ac-bd)+(ad+bc)i,1、两个复数相乘类似两个多项式相乘，只是在所得结果中将i2换成-1,且把实部与虚部分别合并即可。2、两个复数的积是一个确定的复数3、两个虚数的积一定是虚数吗？,复数乘法,3.2复数的乘法满足的运算律,1、对于任意z1,z2,z3C，有z1.z2=z2.z1(z1.z2)z3=z1(z2.z3)Z1(z2+z3)=z1z2+z1.z3,2、例题(1)、计算(1-2i)(3+4i)(-2+i)(2)、(3+4i)(3-4i)(3)、(1+i)2(4)、（2+3i)(4-6i),3、分解因式（1）、x2-4(2)、a4-b4,4、Z2=8+6i,试求
10、z,例5、已知x为纯虚数，且x2+(t2-t+2tx)i=0，求实数t的值。,解:令x=bi(bR,b0),则(bi)2+t2-t+2t(bi)=0即(-b2-2bt)+(t2-t)i=0-b2-2btt2-t解得t=1或t=0(舍)故t=1,复数乘法,3.2复数的乘除法,一、共轭复数1、这两个复数3+4i与3-4i称为共轭复数2、一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数。3、虚部不等于0的共轭复数也叫做共轭虚数(如i与-i,2i与-2i等）。,0,x,y,Z1:a+bi,Z2:a-bi,思考、两个共轭复数的乘积一定是实数吗？乘积是实数的两个复数一定是共轭复数
11、吗？,（2+3i)(4-6i),(3+4i)(3-4i),复数乘法,3.2复数的乘除法,思考：我们知道i.i=-1,（-i)(-i)=-1,那么,若x2=-1,则此方程和根有几个呢？是什么呢？,思考：试在复数范围内求方程的解X2-x+1=0,两个重要结论：1、如果a+bi是实系数一元n次方程的根，那么它的共轭复数a-bi也是它的根，这叫虚根成对；2、实系数一元二次方程在复数系C内根为x1,x2,同样满足韦达定理，即根与系数关系。,一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)0时，方程有二实根0时，方程有二虚根,已知2i-3是关于x的方程2x2+px+q=0的一个根，求实数p,q的值。两种方法求解,
12、复数除法,3.2复数的乘除法,一、规定复数的除法法则如下：设z1=a+bi,z2=c+di是任意两个复数，那么这两个复数相除步骤:1、写成类似分式形式；2、类似分母有理化，将分子分母都乘以分母的共轭复数，将分母实数化；3、分子按复数乘法法则算，最后写成两部分。,复数除法,3.2复数的乘除法,例题1、计算（1）、（1+2i)(3-4i)(2)、（1+i)(1-i)(3)、1i(4)、(-1+i)(3+i)(-i),复数除法,3.2复数的乘除法,例题4、计算,例题3、计算（1）、（1+i)2(2)、,复数除法,3.2复数的乘除法,1、说出下列各式的值i(4n+1),i(4n+2),i(4n+3),
13、i(4n+4)(nN)。,2、试求i1,i2,i3,i4,i5,i6的值，并推测in(nN),的值有什么规律?并把这个规律用式子表示出来。,1、已知关于x的方程（1+i)x2-2(a+i)x+5-3i=0有实数解，求a的值。2、已知关于x,y的方程组，（2x-1)+i=y-(3-y)i(2x+ay)-(4x-y+b)i=9-8i有实数解，求a,b的值。,已知关于x的方程x2+(2+i)x+4ab+(2a-b)i=0，当方程有实数根时，求点(a,b)的轨迹。,复数除法,3.2复数的乘除法,1、说出下列各式的值i(4n+1),i(4n+2),i(4n+3),i(4n+4)(nN)。,2、试求i1,i2,i3,i4,i5,i6的值，并推测in(nN),的值有什么规律?并把这个规律用式子表示出来。,
