《高考数学 考前最后一轮基础知识巩固之第八章 第4课 直线与圆的位置关系.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考数学 考前最后一轮基础知识巩固之第八章 第4课 直线与圆的位置关系.doc（7页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第4课直线与圆的位置关系【考点导读】能利用代数方法和几何方法判定直线与圆的位置关系；熟练运用圆的有关性质解决直线与圆、圆与圆的综合问题，运用空间直角坐标系刻画点的位置，了解空间中两点间的距离公式及其简单应用.【基础练习】1.若直线4x-3y-2=0与圆x2+y2-2ax+4y+a2-12=0总有两个不同交点，则a的取值范围是-6a4 2.直线x-y+4=0被圆x2+y2+4x-4y+6=0截得的弦长等于3.过点P(2，1)且与圆x2+y2-2x+2y+1=0相切的直线的方程为 x=2或3x-4y-2=0 .4.设集合,若MN=M，则实数a的取值范围是-2a25.M（2,-3,8）关于坐标平面x
2、Oy对称点的坐标为（2，-3，-8）【范例导析】例1.已知圆C：（x1）2（y2）225，直线l：（2m+1）x+（m+1）y7m4=0（mR）.（1）证明：不论m取什么实数，直线l与圆恒交于两点；（2）求直线被圆C截得的弦长最小时l的方程.分析：直线过定点，而该定点在圆内，此题便可解得.（1）证明：l的方程（x+y4）+m（2x+y7）=0. 由得即l恒过定点A（3，1）.圆心C（1，2），AC5（半径），点A在圆C内，从而直线l恒与圆C相交于两点.（2）解：弦长最小时，lAC，由kAC，l的方程为2xy5=0.点拨:直线与圆相交截得弦长的最小值时,可以从垂径定理角度考虑,充分利用圆的几何性
3、质.例2.已知圆O: ，圆C: ，由两圆外一点引两圆切线PA、PB，切点分别为A、B，满足|PA|=|PB|.(1)求实数a、b间满足的等量关系；(2)是否存在以P为圆心的圆，使它与圆O相内切并且与圆C相外切？若存在，求出圆P的方程；若不存在，说明理由.分析: 问题（1）可直接根据题目条件求得,在解决问题（2）时,要注意问题（1）结论的运用.例2(1)连结PO、PC，|PA|=|PB|，|OA|=|CB|=1|PO|2=|PC|2，从而化简得实数a、b间满足的等量关系为: . (2)圆O和圆C的半径均为1，若存在半径为R圆P，与圆O相内切并且与圆C相外切，则有 且 于是有: 即从而得 两边平方
4、，整理得将代入上式得：故满足条件的实数a、b不存在，不存在符合题设条件的圆P. 点拨: 注意圆与圆的位置关系的判断.例3.已知圆C与两坐标轴都相切，圆心C到直线的距离等于.（1）求圆C的方程.（2）若直线与圆C相切，求证：分析:本题要充分利用圆的几何性质以得到简单的解法.解：（1）设圆C半径为，由已知得： ，或 圆C方程为. （2）直线， 左边展开，整理得， ， 点拨:有关直线和圆的位置关系,一般可以考虑圆心到直线的距离,当然也以联立方程组用代数手段解决.例4.如图，在平面直角坐标系xOy中，平行于x轴且过点A(3，2)的入射光线l1被直线l：y=x反射反射光线l2交y轴于B点，圆C过点A且与
5、l1, l2都相切.(1)求l2所在直线的方程和圆C的方程；xyOABl2l1l(2)设P，Q分别是直线l和圆C上的动点，求PB+PQ的最小值及此时点P的坐标例4解：（1）直线设. 的倾斜角为，反射光线所在的直线方程为. 即.已知圆C与,圆心C在过点D且与垂直的直线上， ,又圆心C在过点A且与垂直的直线上，,，圆C的半径r=3，故所求圆C的方程为. （2）设点关于的对称点，则，得,固定点Q可发现，当共线时，最小，故的最小值为.此时由,得. 反馈练习：1.圆x2+y2-4x=0在点P(1,)处的切线方程为2.直线x+y2=0截圆x2y24得的劣弧所对的圆心角为解析：如图77所示，由消y得：x23
6、x+2=0x1=2，x2=1A（2，0），B（1，）|AB|=2又|OB|OA|=2AOB是等边三角形，AOB=，故选C.评述：本题考查直线与圆相交的基本知识，及正三角形的性质以及逻辑思维能力和数形结合思想，同时也体现了数形结合思想的简捷性.如果注意到直线AB的倾斜角为120.则等腰OAB的底角为60.因此AOB=60.更加体现出平面几何的意义.3.已知直线过点，当直线与圆有两个交点时，其斜率k的取值范围是4.设m0,则直线(x+y)+1+m=0与圆x2+y2=m的位置关系为相切或相离解析：圆心到直线的距离为d=,圆半径为. d-r=-=(m-2+1)=(-1)20, 直线与圆的位置关系是相切
7、或相离.5.圆(x-3)2+(y-3)2=9上到直线3x+4y-11=0的距离等于1的点有个数为36.点P从(1,0)出发,沿单位圆逆时针方向运动弧长到达Q点,则Q的坐标为 7.若圆与直线相切，且其圆心在轴的左侧，则的值为8.已知P(3，0)是圆x2+y2-8x-2y+12=0内一点则过点P的最短弦所在直线方程是x+y-3=0 ，过点P的最长弦所在直线方程是 x-y-3=0 9.设P为圆上的动点，则点P到直线的距离的最小值为 1 . 10. 已知与曲线C：x2+y2-2x-2y+1=0相切的直线L交x轴、 y轴于A、B两点, O为原点, 且|OA|=a, |OB|=b (a2,b2) （1）求
8、证曲线C与直线L相切的条件是(a-2)(b-2)=2 (2)求AOB面积的最小值.解 依题意得，直线L的方程为 +=1即bx+ay-ab=0，圆C的方程为(x-1)2+(y-1)2=1（1） 直线与圆相切, =1,化简: (a-2)(b-2)=2 （2） 由(a-2)(b-2)=2, 得ab=2a+2b-2 SAOB=|ab|=a+b-1=(a-2)+(b-2)+32+3=2+3, 当且仅当a=b=2+时，面积有最小值：2+3.11.已知平面区域恰好被面积最小的圆及其内部所覆盖(1)试求圆的方程.(2)若斜率为1的直线与圆C交于不同两点满足,求直线的方程.解:(1)由题意知此平面区域表示的是以
9、构成的三角形及其内部,且是直角三角形, 所以覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆,故圆心是(2,1),半径是,所以圆的方程是. (2)设直线的方程是:.因为,所以圆心到直线的距离是, 即 解得:.所以直线的方程是:. 12、（本题满分16分）已知：和定点，由外一点向引切线，切点为，且满足(1) 求实数间满足的等量关系；(2) 求线段长的最小值；(3) 若以为圆心所作的与有公共点，试求半径取最小值时的方程解：（1）连为切点，由勾股定理有又由已知，故.即：.化简得实数a、b间满足的等量关系为：. （3分） （2）由，得. =.故当时，即线段PQ长的最小值为 （7分）（3）设P 的半径为，P与O有公共点，O的半径为1，即且.而，故当时，此时, ，.得半径取最小值时P的方程为 （12分）P0l解法2解法2：P与O有公共点，P半径最小时为与O外切（取小者）的情形，而这些半径的最小值为圆心O到直线l的距离减去1，圆心P为过原点与l垂直的直线l 与l的交点P0.r = 1 = 1.又l：x2y = 0,解方程组，得.即P0( ,).所求圆方程为. - 7 -
