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1、布布布朗朗朗运运运动动动及及及随随随机机机分分分析析析张骅月南开大学经济学院金融系Email: FirstPagePrevPageNextPageLastPageClose1 基本定义 马氏性与反射原则 鞅与首中时 离散时间的期权定价 B S 公式Email: FirstPagePrevPageNextPageLastPageClose2Background布朗运动（Brownian motion简写为BM）一类具有连续时间与连续轨道的最基本，最简单同时又是重要的的随机过程。数学上，他是三类随即过程的交叉：它是一个高斯过程，具有 连续轨道的Markov过程，独立增量过程。从实践角度考虑，BM经
2、常被用作物理，生物，管理科学及经济现象的模拟。Email: FirstPagePrevPageNextPageLastPageClose3基基基本本本定定定义义义:一、随机过程 B(t),t 0 称为BM或Wiener过程，若：1.B(0) = 02.B(t) 为平稳独立增量过程3.对任意的 t 0, B(t) N(0,2t)4.t B(t) 是连续的如果 B(t) N(t,2t)，则称 B(t) 为有漂移的BM， 为漂移参数。对Email: FirstPagePrevPageNextPageLastPageClose4于BMB(t)，如果 2= 1， 称为标准BM。如果 2, 1,B(t)是
3、标准BM运动。BM是Gauss过程，均值函数为0，协方差函数C(s,t) = EB(s)B(t) = 2min(s,t)，而且它还是Markov过程。二、随机过程 B(t),t 0 称为BM,若:1.B(0) = 02.B(t) 为独立增量过程3.对任意的 t s 0, B(t) B(s) N(0,2(t s)4.t B(t) 是连续的Email: FirstPagePrevPageNextPageLastPageClose5定定定理理理：定义一 定义二注意：在上述两个定义中，我们强调 B(0) = 0，但是，事实上，BM可以从任何一点开始，即 Bx(t) 表示起始于x点的BM。由于BM具有空
4、间齐次性的特点(即有限维分布是空间平移不变的)，所以我们只需要研究 开始于0点的BM。作为一物理现象，BM由英国植物学家Brown于1827年发现。著名物理学家Einstein在1905年首次从 物理的角度给出BM的一个解释。设 B(t) 表示一个粒子在BM中 x 方向的位移， 由于BM的转移是平稳的，不依赖于起始时刻，故不妨假设初始时刻的位置为 x0，即X(0) = x0， p(x,t|x0) 表示在 X(0) = x0的条件下 X(t) 的条件概率密度，Email: FirstPagePrevPageNextPageLastPageClose6Einstein从物理的原理证明 p(x,t|
5、x0) 满足一个扩散方程pt= D2px2在一般条件下上方程的唯一解为p(x,t|x0) =12(2D)texp1(2D)2t(x x0)2Wiener在他1918年博士论文中以及后续文章中给出BM的精确数学描述，并进一步研究了BM的轨道性质。以下不特别指明所说的BM是指标准的BM，即 2= 1。Email: FirstPagePrevPageNextPageLastPageClose7定定定理理理：设 B(t) 是标准BM，任给定 n 个时刻 0 t1 0, 有EB(t) = 0,EB(t)B(s) = t s, 则 B(t),t 0 是BM，反之亦然。Email: FirstPagePre
6、vPageNextPageLastPageClose8由此定理我们得到判断一个正态过程是否为BM的充要条件。从而我们能得出一系列很有用的结论。定定定理理理：设 B(t),t 0 是标准BM，则：1.B1(t) = B(t),t 0(对称)2.（逆时间）B2(t) =tB(1/t),t 00,t = 0Email: FirstPagePrevPageNextPageLastPageClose93.B3(t) = cB(t/c2),任意固定的 c 0,(刻度不变)4.B4(t) = B(t + h) B(t), 任意固定的 h 0,(平移不变)仍然是标准BM.定定定义义义：(B1(t), , Bn
7、(t) 被称作标准的 n 维BM，如果 B1(t), , Bn(t)都是独立的标准一维BM(2= 1).BM的的的性性性质质质性质1：BM的几乎每条样本轨道是连续的，对几乎每条样本轨道上的任意一点，其导数都不存在；而且在任何区间上 都不是单调的，但是Email: FirstPagePrevPageNextPageLastPageClose10无限变差的；对于任何 t, BMB(t) 在 0,t 上的二次变差等于 t.6.2 BM的的的鞅鞅鞅性性性定理：设 B(t),t 0 为BM，则1.B(t),t 0,2.B2(t) t,t 0,3.eB(t)122t,t 0,都是鞅。(判断3是否为一致可积
8、鞅)Email: FirstPagePrevPageNextPageLastPageClose11注意：2是BM的一个典型特征，即如果连续鞅 X(t) 使得 X2(t) t也是鞅，则 X(t) 是BM.另外，若一初值为0的鞅，有连续路径且满足在任何时刻 t 的二次变差均为 t,则其为BM。Email: FirstPagePrevPageNextPageLastPageClose122.首首首中中中时时时与与与极极极大大大值值值令Ta= inft : t 0, B(t) = a表示BM首中a的时间，到底 P(Ta t) 有多大呢？ 注意到：P(B(t) a) = P(B(t) a|Ta t)P(
9、Ta t) + P(B(t) a|Ta t)P(Ta t)显然 P(B(t) a|Ta t) = 0, 由BM的对称性可得P(B(t) a|Ta t) = P(B(t) 0 时，有P(Ta t)=22tZ+aeu22tdu=r2Z+atex22dx=2(1 (at)当 a 0 时，由BM的对称性，我们有 P(Ta t) = P(Ta t),所以对任Email: FirstPagePrevPageNextPageLastPageClose14意的a,有P(Ta t) = 2(1 (|a|t)令 t ,我们有 P(Ta ) = 1, 即 Ta几乎处处有限,但是 ETa= .注注注意意意：根据BM的
10、空间齐次性,始于 a 点的BM与 a + B(t) 是相同的，所以PaTx = P0Txa = 1,即BM从任意一点出发击中 x 的概率都是1。BM首首首出出出区区区间间间定定定理理理:设 a x b, = Ta Tb,然后 Px( ) = 1, 且Ex Email: FirstPagePrevPageNextPageLastPageClose15令M(t) = max0stB(s)m(t) = min0stB(s)分别表示BM在 0,t 上的最大值和最小值，M(t),m(t) 的分布如何呢？注意到Ta t = M(t) a定定定理理理：对于任意的 x 0,P(m(t) x) = 2P(B(t
11、) x) = 2P(B(t) x)Email: FirstPagePrevPageNextPageLastPageClose16Proof:P(m(t) x)=P(max0stB(s) x)=2P(B(t) x)=2P(B(t) x)=2P(B(t) x)?T 是BM在 0,1 上达到最大值的时间，判断 T 是否为一个停时。Email: FirstPagePrevPageNextPageLastPageClose17定定定理理理：设 Bx(t) 为开始于 x 点的BM，则 Bx(t) 在 (0,t) 中至少有一个零点的 概率为|x|2Zt0u32ex22uduProof:如果 x 0 的情况，
12、我们只需要知道BM的最小值的分布即可。于是，我们得到定定定理理理：设BMBy(t) 在 (t1,t2) 中至少有一个零点的 概率为2arccosrt1t2反反反正正正弦弦弦律律律：设 By(t) 为BM，则 By(t) 在 (t1,t2) 中没有零点的 概率为2arcsinrt1t2该定律揭示了上述概率仅与时间区间端点的比值有关。Email: FirstPagePrevPageNextPageLastPageClose19令Lt= maxs t, B(s) = 0lt= mins t, B(s) = 0分别为BM在时刻 t 之前的最后一个零点和 t 之后的第一个零点。(判断 Lt,lt是否为停
13、时),试求 P(Lt x),P(lt y),P(Lt x,lt y)P(Lt x) = pB has no zero point in (x,t) =2arcsinrxtP(Lt x,lt y) = pB has no zero point in (x,y) =2arcsinrxyEmail: FirstPagePrevPageNextPageLastPageClose20BM的的的几几几种种种变变变化化化:1.Brown桥定义B(t) = B(t) tB(1),0 t 1性质：1.B(t) 是Gauss过程；2.EB(t) = 0,EB(t)B(s) = s(1 t),0 s t 1Emai
14、l: FirstPagePrevPageNextPageLastPageClose212.在原点反射的BM定义X(t) = |B(t)|,0 t当 x 0 时，概率分布为PX(t) x=PB(t) x PB(t) x=2PB(t) x 1当 x 0 时,PX(t) x = 0,其数字特征：1.X(t) 均值是 EX(t) =q2t,VarY(t) = t 2tEmail: FirstPagePrevPageNextPageLastPageClose223.几何BM定义X(t) = eB(t),t 0其数字特征：1.X(t) 均值是 EX(t) = EeB(t)= et/2,2.VarX(t)
15、= e2t etEmail: FirstPagePrevPageNextPageLastPageClose234.积分BM定义X(t) =Zt0B(s)ds,t 0性质：1.X(t) 是Gauss过程，但不是Markov过程；2.EX(t) = 0,3.EX(t)X(s) = s2(t2s6)Email: FirstPagePrevPageNextPageLastPageClose245.带有吸收值的BMX(t) =B(t),t 0, 计算 P(X(t) y)?当 y x 时,P(X(t) y) = 1;当 y = x 时,P(X(t) = x) = P(Tx t) =22tRxeu22tdu
16、;Email: FirstPagePrevPageNextPageLastPageClose25当 y x 时,从事件的等价关系着手：(X(t) y) = (B(t) y,max0stB(s) 0,b x 0,X(t) = a,Tb= mint : t 0,X(t) = b 有P(Ta Tb |X(0) = x) =e2b e2xe2b e2aEmail: FirstPagePrevPageNextPageLastPageClose28推推推论论论：设 X(t) = t + B(t),t 0 为漂移系数为 的BM,若 0, 则Pmax0t )Email: FirstPagePrevPageNe
17、xtPageLastPageClose31注意到：P(N(t,1) )=P( t)=P( t ) = (t )于是(1)式等于ertX(0)ete2t/2(t ) ertK()定定定理理理：欧式看涨期权 (ST K)+的公平价格是X0(t ) ertK(),Email: FirstPagePrevPageNextPageLastPageClose32其中 = log(K/X(0)et)/t, = r 2/2.Email: FirstPagePrevPageNextPageLastPageClose33Thank You Very Much!Email: FirstPagePrevPageNextPageLastPageClose34
