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1、第一节函数与方程第一课时函数的应用是学习函数的一个重要方面学生学习函数的应用，目的就是利用已有的函数知识分析问题和解决问题通过函数的应用，对完善函数的思想，激发应用数学的意识，培养分析问题、解决问题的能力，增强实践的能力等，都有很大的帮助本章主要内容：函数与方程、函数模型及其应用、实习作业和小结在函数与方程这一节中课本从学生最熟悉的二次函数入手，通过研究方程的根与函数的零点的关系，使函数的图象与性质得到充分的应用，同时也展现了函数和方程的密切关系求函数零点的近似解不仅展示了数学方法的严谨性、科学性，也为计算机的应用提供了广阔的空间让学生进一步受到数学思想方法的熏陶，激发学生的学习热情在函数模型
2、及其应用这一节中让学生近距离接近社会生活，从生活中学习数学，使数学在社会生活中得到应用和提高，让学生体会到数学是有用的，从而培养学生的学习兴趣“数学建模”也是高考考查的重点本章还是数学思想方法的载体，学生在学习中会经常用到“函数方程思想”“数形结合思想”“转化思想”，从而提高自己的数学能力因此应从三个方面把握本章：(1)知识间的联系；(2)数学思想方法；(3)认知规律本章教学时间约需8课时，具体分配如下(仅供参考)：3.1函数与方程约2课时3.2函数模型及其应用约4课时实习作业约1课时本章复习约1课时作者：陈美珠，泉州第九中学教师本教学设计获福建省教学设计大赛一等奖教学内容分析本节课选自普通高
3、中课程标准实验教科书数学必修本(A版)的第三章第一课时3.1.1方程的根与函数的零点函数与方程是中学数学的重要内容，既是初等数学的基础，又是初等数学与高等数学的连接纽带在现实生活注重理论与实践相结合的今天，函数与方程都有着十分重要的应用，再加上函数与方程还是中学四大数学思想之一，因此函数与方程在整个高中数学教学中占有非常重要的地位就本章而言，本节通过对二次函数的图象的研究判断一元二次方程根的存在性以及根的个数，建立一元二次方程的根与相应的二次函数的零点的联系，然后由特殊到一般，将其推广到一般方程与相应的函数的情形它既揭示了初中一元二次方程与相应的二次函数的内在联系，也引出对函数知识的总结拓展之
4、后将函数零点与方程的根的关系在利用二分法解方程中(3.1.2)加以应用，通过建立函数模型以及模型的求解(3.2)更全面地体现函数与方程的关系，逐步建立起函数与方程的联系，渗透“方程与函数”思想总之，本节课渗透着重要的数学思想“特殊到一般的归纳思想”、“方程与函数”和“数形结合”的思想，教好本节课可以为学好中学数学打下一个良好的基础，因此教好本节是至关重要的.学生学习情况分析程度差异性：中低等程度的学生占大多数，程度较高与程度很差的学生占少数知识、心理、能力储备：学生之前已经学习了函数的图象和性质，现在基本会画简单函数的图象，也会通过图象去研究理解函数的性质，这就为学生理解函数的零点提供了帮助，
5、初步的数形结合知识也足以让学生直观理解函数零点的存在性，因此从学生熟悉的二次函数的图象入手介绍函数的零点，从认知规律上讲，应该是容易理解的再者一元二次方程是初中的重要内容，学生应该有较好的基础，对于它的根的个数以及存在性学生比较熟悉，学生理解起来没有多大问题这也为我们归纳函数的零点与方程的根的联系提供了知识基础但是学生对其他函数的图象与性质认识不深(比如三次函数)，对于高次方程还不熟悉，我们缺乏更多类型的例子，让学生从特殊到一般归纳出函数与方程的内在联系，因此理解函数的零点、函数的零点与方程根的联系应该是学生学习的难点加之函数零点的存在性的判定方法的表示抽象难懂因此在教学中应加强师生互动，尽多
6、地给学生动手的机会，让学生在实践中体验二者的联系，并充分提供不同类型的二次函数和相应的一元二次方程让学生研讨，从而直观地归纳、总结、分析出二者的联系设计思想教学理念：培养学生学习数学的兴趣，学会严密思考，并从中找到乐趣教学原则：注重各个层面的学生教学方法：启发诱导式教学目标以二次函数的图象与对应的一元二次方程的关系为突破口，探究方程的根与函数的零点的关系，发现并掌握在某区间上图象连续的函数存在零点的判定方法；学会在某区间上图象连续的函数存在零点的判定方法让学生在探究过程中体验发现的乐趣，体会数形结合的数学思想，从特殊到一般的归纳思想，培养学生的辩证思维以及分析问题解决问题的能力教学重点与难点重
7、点：函数零点与方程根之间的关系；连续函数在某区间上存在零点的判定方法难点：发现与理解方程的根与函数零点的关系；探究发现函数存在零点的判定方法1方程的根与函数的零点以及零点存在性的探索11方程的根与函数的零点导入新课问题1：解方程(比赛)：6x10；3x26x10.再比赛解3x56x10.设计意图问题1(产生疑问，引起兴趣，引出课题)比赛模式引入，调动积极性，可根据学分评定中进行过程性评定加分奖励，充分调动学生的积极性和主动性第三题学生无法解答，产生疑惑引入课题：教师介绍说一次方程、二次方程甚至三次方程、四次方程的解都可以通过系数的四则运算，乘方与开方等运算来表示，但高于四次的方程一般不能用公式
8、求解，如3x56x10.紧接着介绍阿贝尔(挪威)定理(五次及高于五次的代数方程没有一般的代数解法)，伽罗瓦(法国)的近世代数理论，提出早在十三世纪的中国，秦九韶等数学家就提出了高次方程数值解的解法，振奋学生的民族自豪感，最后引出人们一直在研究方程的近似解方法二分法 问题2：先来观察几个具体的一元二次方程的根及其相应的二次函数的图象：如图1.方程x22x30与函数yx22x3；方程x22x10与函数yx22x1；方程x22x30与函数yx22x3.图1师生互动师：教师引导学生解方程、画函数图象、分析方程的根与图象和x轴交点坐标的关系，推广到一般的方程和函数，引出零点概念零点概念：对于函数yf(x
9、)(xD)，把使f(x)0成立的实数x叫做函数yf(x)(xD)的零点师：填表格：函数yx22x3yx22x1yx22x3函数的零点方程的根生：经过独立思考，填完表格师提示：根据零点概念，提出问题，零点是点吗？零点与方程的根有何关系？生：经过观察表格，得出第一个结论师再问：根据概念，函数yf(x)的零点与函数yf(x)的图象与x轴的交点有什么关系？生：经过观察图象与x轴的交点完成解答，得出第二个结论师：概括总结前两个结论(请学生总结)(1)概念：函数的零点并不是“点”，它不是以坐标的形式出现，而是实数例如函数yx22x3的零点为x1,3.(2)函数零点的意义：函数yf(x)的零点就是方程f(x
10、)0的实数根，亦即函数yf(x)的图象与x轴交点的横坐标(3)方程f(x)0有实数根函数yf(x)的图象与x轴有交点函数yf(x)有零点师：引导学生仔细体会上述结论再提出问题：如何根据函数零点的意义求零点？生：可以解方程f(x)0而得到(代数法)；可以利用函数yf(x)的图象找出零点(几何法)问题2：一方面让学生理解函数零点的含义，另一方面通过对比让学生再次加深对二者关系的认识，使函数图象与x轴交点的横坐标到函数零点的概念转变得更自然、更易懂通过对比教学揭示知识点之间的密切关系问题3：是不是所有的二次函数都有零点？师：仅提出问题，不须做任何提示生：根据函数零点的意义探索研究二次函数的零点情况，
11、并进行交流，总结概括形成结论二次函数yax2bxc(a0)的零点：看.(1)0，方程ax2bxc0有两不等实根，二次函数的图象与x轴有两个交点，二次函数有两个零点(2)0，方程ax2bxc0有两相等实根(二重根)，二次函数的图象与x轴有一个交点，二次函数有一个零点(3)0，方程ax2bxc0无实根，二次函数的图象与x轴无交点，二次函数无零点第一阶段设计意图：本节的前半节一直以二次函数作为模本研究，此题是从特殊到一般的升华，也全面总结了二次函数的零点情况，给学生一个清晰的解题思路，进而培养学生归纳总结的能力12零点存在性的探索师生互动师：要求学生用连续不断的几条曲线连接如图2所示的A、B两点，观
12、察所画曲线与直线l的相交情况，由两个学生上台板书：图2生：两个学生画出连接A、B两点的几条曲线后发现这些曲线必与直线l相交师：再用连续不断的几条函数曲线连接如图A、B两点，引导学生观察所画曲线与直线l的相交情况，说明连接A、B两点的函数曲线交点必在区间(a，b)内生：观察下面函数f(x)0的图象(如图3)并回答：图3(1)区间a，b上_(有/无)零点；f(a)f(b)_0()(2)区间b，c上_(有/无)零点；f(b)f(c)_0()(3)区间c，d上_(有或无)零点；f(c)f(d)_0()答案：略师：教师引导学生结合函数图象，分析函数在区间端点上的函数值的符号情况，与函数零点是否存在着一定
13、的关系生：根据函数零点的意义结合函数图象，归纳得出函数零点存在的条件，并进行交流、评析，总结概括形成结论：一般地，我们有：如果函数yf(x)在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)f(b)0时，函数在区间(a，b)内没有零点吗？探求2：如果函数yf(x)在区间a，b上的图象是一条连续不断的曲线，并且有f(a)f(b)0时，函数在区间(a，b)内有零点，但是否只一个零点？探求3：如果函数yf(x)在区间a，b上的图象是一条连续不断的曲线，并且函数在区间(a，b)内有零点时一定有f(a)f(b)0吗？探求4：如果函数yf(x)在区间a，b上的图象不是一条连续不断的曲线，函数在区间(a，b)内有零点时一定有f(a)f(b)0吗？ 师：总结两个条件：(1)函数yf(x)在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线；(2)在区间a，b上有f(a)f(b)0.一个结论：函数yf(x)在区间a，b内单调则函数在这个区间内有且只有一个零点补充：什么时候只有一个零点？(观察得出)函数yf(x)在区间a，b内单调时只有一个零点例2 求函数f(x)ln x2x6的零点个数问题：(1)你可以想到什么方法来判断函数零点个数？(2)判断函数的单调性，由单调性你能得到该函数具有什么特性？第三阶段设计意图：教师引导学生理解函数零点存在定理，分析其中各条件的作
