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1、中学代数研究与教学习题中学代数研究与教学习题 第一章第一章 数与式数与式 第一节第一节 数系的扩展数系的扩展 1.举例说明数集扩充的原则和方法？ 以 四元数1.i.j.k 为例 方法：添加元素的方法（二元四元）有两种： (1).把新的元素加入到已经建立的数系中而得到。 （添加元素法） (2).用近代数学观点，在原有数系的基础上理论性的构造一个集 合， 再对此集合通过定义关系 运算 划分等价类来建立新数系， 然后证明新数系的一真子集与原数系同构。 （构造法） 原则： (1).二元四元 (2).四元数满足加法交换律 还有乘法减法等性质，而不破坏二元 数的元素间的关系及运算。 (3).二元数满足代数
2、封闭性，故其 n 次方程有 n 个根。而在四元 数中，n 次方程有无穷多个根，故不满足代数封闭性。 (4).四元数是二元数的所有具有上述三个性质的扩展的唯一最小 扩展。因为数集到数集的扩充是有一定条件的。如：四元数是 由二元数舍去乘法交换律扩充得到的。而目前尚未找到通过破 坏二元数的其它性质得到新的数集，故四元数是二元数的最小 扩充。 第五章第五章 中学代数典型解题方法中学代数典型解题方法 第一节第一节 主元法主元法 1. 分解因式： （1）ab-bc+ca-ac+ba+cb-2abc; （2）2x-7xy+3y+5xz-5yz+2z; （3） 4 x +x+2ax-a+1. 解： （1） ：
3、原式=(b-c)a+(c+b-2bc)a-bc(b-c) =(b-c)a+(b-c) a-(b-c)bc =(b-c)(a+ba-ca-bc) =(b-c)(a+b)(a-c) （2） ：原式=3y-(7x+5z)y+2x+5xz+2z =3y-(7x+5z)y+(2x+z)(x+2z) =(3y-x-2z)(y-2x-z) （3） ：原式=-a+2ax+ 4 x +x+1 =(a-x+x+1)(-a+x+x+1) 2. 证明恒等式： （1） ()()()()()() 1 ()()()()()() mb mcmc mama mb ab acbc baca cb += ； （2） 222 111
4、 4()()() 111 ()()()abababab abab abab +=+ + 。 证明： （1）假设（1）为关于 m 的一元二次方程，当 m=a，b，c，时等式都成立， 这与一元二次方程至多有两个根矛盾，故（1）为恒等式。 （2）假设（2）为关于 a 的一元二次方程，当 a=1，-1,2 时等式都成立与一 元二次方程至多有两个根矛盾，故（2）为恒等式。 3 解关于 X 的方程 (1)x-(m+3)x+(m-1)x-(m+2m-3)=0 解：以 m 为主元，原方程可化为： m+(x-x+2)m+(3-x)(x-1)=0 m+(3-x) m+(x-1)=0 m+3-x=0m+x-1=0
5、x=m+3或 x=m1或x=-m1 (2)x=xaa+ 解：原式平方得：x=xaa+ a+x=(a-x) 以 为主元方程可化为： a-（2+1）a+x(x-1)=0 a-x(x-1)a-(x+x+1)=0 a-x+x=0或x+x+1- a=0 2, 1 x =2 411a+ 4, 3 x =2 341a 解方程（用常元法） x+23x+3x+3-1=0 解：令3=y原方程可化为： x+2yx)+yx+y-1=0 以 y 为主元方程可化为： xy +(2x+1) y+(x-1)(x+x+1)=0 y+(x-1)xy+(x+x+1) =0 3=y 3+x-1=0或3x+x+x+1=0 1 x =1
6、-3 3, 2 x = 2 32)31(+ 4 x- 2 x+6x-9=0 解：令 3=y原方程可化为： 4 x - 2 x+ 2 2yxy =0 以 y 为主元方程可化为： y-2xy+(x-x)(x+x)=0 (y-x-x)(y+x-x)=0 3=y (3-x-x)(3+x-x)=0 3-x-x=0或3+x-x=0 2, 1 x = 2 111 4, 3 x = 2 131 设不等式 2x-1m(x-1)对满足|m|2 的一切 m 的值都成立，求 x 的取值 范围。 2 31 x 2 71 x 2 31 x 2 31 2 1x 1x2 ,2m0)3( 2 1 x, 01x20m)2( 2
7、31 x 2 71 x 2 31 x 2 31 x, 2 71 x 2 71 x ) 1x(21x2x 21-x2- 2 1-x 1-x2 2m 1-x 1-x2 m0m2-1 012mx1)-m(x 1-2x 2 22 22 22 + + + = + + + + + + 或由取并集得 得时当 由取并集得 即时则又当 或 取交集得或或 得利用二元函数的性质解 ）（此时有： ，则，时，）当（ 得解：由mx 设集合 A=(x,y)|y=x+ax+2,B=x,y|y=x+1(0x2)，且 AB 空集，求实数 a 的范围。 解：AB空集,则对立面 AB=空集 联立方程组 += += )20( 1 2
8、2 xxy axxy 整理得:x+1=x+ax+2，要让此方程无解则0 若以为 x 主元方程可化为：x+(a-1)x+1=0 既（a-1）-40 a3 AB空集时实数 a 的范围为 a3. 第二节第二节 集合法集合法 9 解不等式 2 320 xx+ 解：设全集 I=x| 2 320 xx+= x| x12或x 由于 2 325xxx+ 2 2 50 320 325 x xx xxx + + + 5 21 2727 x xx x + 或 |27127xxx+或2 于是不等式的解集为： |2727x xx+或 10 已知关于 x 的方程： 2 22 2 4430 (1)0 220 xmxm xm
9、xm xmxm += += += 它们中至少有一个方程有实数根，求实数 m 的取值范围. 解：由题意可知， 2 1 22 2 2 3 (4 )4(34 )0 (1)40 (2 )80 mm mm mm = = = + 31 22 1 3 1 20 m mm m 或 3 2 1m0, 则 (x-1) +(y-1) 1, (x-2) +(y+2) 1. 可构造集合 A=（x,y）|(x-1) +(y-1) 1 B=（x,y）|(x-2) +(y+2) 1, 从而得 A 中元素全属于 B，于是命题得证。 13. 有 A,B,C 三部新电影，某班学生看过其中一部的有 17 人，看过 A, B,C 的分
10、别有 11 人，9 人，10 人同时看过 A,C 的有 4 人，看过 B,C 的 有 6 人，A,B,C 都看过的有 3 人，问同时看过 A,B 的有多少人？ 解：由集合法知识可知： ABC=17,A=11,B=9,C=10，AC=4,BC=6 ABC=3 又由 ABC =A+B+C- AC - BC -AB+ABC 则 AB=A+B+C- AC - BC+ABC-ABC 代入数据得 AB=6 第三节第三节整体思维法整体思维法 15.已知 a、b、cR R R R，且 a0，给出 i x（i=1,2,n）的方程组 2 112 axbxcx+= 2 223 axbxcx+= 2 11nnn ax
11、bxcx += 2 1nn axbxcx+= 设=() 2 14bac求证， （1）当0 时，方程组有多于一组的实数解。 解：原方程组等价于 2 1121 (1)axbxcxx+= 2 2232 (1)axbxcxx+= . 2 111 (1) nnnn axbxcxx += 2 1 (1) nnn axbxcxx+= 即方程组右端有形如( ) 2 (1)f xaxbxc=+的式子= 2 (1)4bac（1）若0 则有两个x对应y即 12 xx=， 12 xx=， 23 xx=， 23 xx=，即存在多组解。 16.已知复数 1 z、 2 z， 满足 1 z= 2 z=1， 且 1 z+ 2
12、z= 17 55 i+， 求 1 z和 2 z 的值。 解：设 1 zabi=+ 则 2 17 () 55 zab i= + 由 22 1ab+= 22 17 ()()1 55 ab+= 则 22 124914 1 255255 abab+= 即有 75ab=+ 则 1 75zbbi= + 由 22 (75)1bb+= 即 2 5070240bB+= 则 1 3 5 b= 2 4 5 b= 代入 75ab= 得 1 1 4 5 3 5 a b = = 2 2 3 5 4 5 a b = = 即 1 2 43 55 34 55 zi zi = + =+ 或 1 2 34 55 43 55 z z
13、i =+ = + 112 ,1. 339 2 2 9 29 9 1212 3933 1212 3933 12 33 12 33 2 1,1. 9 ababab a b ab b a aa b bb a a a ababa bab =+ =+=+ 17.已知求证 解：由 得 由 即 即 所以有 由曲线在下方，如图,且只能取直线上的点即 18.已知 100299100 01299100 (74 3 ).xaa xa xa xax=+ ，求 22 02410013599 (.)(.)aaaaaaaa+ 的值。 解：将 x=1 或-1 分别代入已知式可得 100 01299100 (74 3).aaa
14、aa=+ （1） 100 01299100 (74 3).()aaaaa+=+ + （2） （1）+（2）得 100 (74 3)+ 100 (74 3)+= 024100 2(.)aaaa+ （1）-（2）得 100 (743) 100 (743)+= 13599 2(.)aaaa+ 则 22 02410013599 (.)(.)aaaaaaaa+ = 22 1 0 01 0 01 0 01 0 0 (743 )(743 )(743 )(743 ) 22 + 100100100100 (743)(743)(743)(743) 22 + = 100100100100 (743)(743)(743)(743) 22 + + =1 2222 22222222 2222 22222222 2222 2222222
