量子力学复习题 [共10页]

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1、1 第一章：第一章： 一、波粒二象性： 1、单缝衍射、双缝干涉证明光具有波动性， 黑体辐射、光电效应证明光具有粒子性。 2、波函数具有相位的不定性，即( ) r 与 ( ) i er 描述的是同一个量子态。 3、使用电子的平面波函数解释双缝干涉实 验，例题见第一章作业。 4、结合 Bohn 的统计诠释，解释什么是波粒 二象性。 波粒二象性是指物质同时具备波的特性及 粒子的特性。在测量中，微观粒子体现出不 可分割的特性，体现了粒子性，但粒子在空 间上的分布却由波函数来描述，根据 Bohn 的统计诠释， 粒子在空间某点附近出现的概 率正比于该点的波函数的模的平方。 波函数 的演化由波动方程（薛定谔

2、方程）来决定， 体现了微观粒子的波动性。 二、波函数的意义： 1、设粒子的波函数是 ( ) r ，则在位置r 处 的体积元x y z 中找到粒子的概率是 2 ( ) rx y z 。 在位置( ,)x xdx之间找 到粒子的概率是 2 ( )dydzrdx 。 2、设粒子在动量空间的波函数是( )p ，则 在动量p 处的体积元 xyz ppp中找到粒 子的概率是 2 ( ) xyz pppp 则粒子动量 在(,) xxx ppdp范 围 内 的 概 率 是 2 ( ) yzx dpdppdp 。 3、 设粒子的波函数为 2/2 ( ) x xAe ， 求归 一化常数A。并说明 2 ( )xxd

3、的物理意 义。 【 注 ： 请 利 用 高 斯 积 分 公 式 2 ax edx a 】 解：归一化条件是 2 2 2 22 1 4 1 2 1 4 ( )1 1 1 ( ) x x xdxAedxA A xe 2 ( )xdx的物理意义是在位置( ,)x xdx 范围中找到粒子的概率。 这里 A 只取实数，相当于自由相因子取为 1 了。 4 、 设 粒 子 在 动 量 空 间 的 波 函 数 为 2/2 ( ) p pAe ，求归一化常数A。并说明 2 ( )ppd的物理意义。 解：归一化条件是 2 2 2 22 1 4 1 2 1 4 ( )1 1 1 ( ) p p pdxAedpA A

4、 pe 2 ( )pdp的 物 理 意 义 是 在 动 量 ( ,)p pdp范围内找到粒子的概率。 这里 A 只取实数，相当于自由相因子取为 1 2 了。 三、坐标表象和动量表象 1、在一维空间中，动量为 0 p的动量本征态 用 Dirac 符号表示为 0 p, 它在坐标表象 下的形式为 0 x p 0 / 1/2 1 (2) ip x e ，它在 动量表象下的形式为 0 p p 0 ()pp。 2、在一维空间中，位置为 0 x的位置本征态 用 Dirac 符号表示为 0 x， 它在坐标表象下 的形式为 0 x x 0 ()xx，它在动量表 象下的形式为 0 p x 0 / 1/2 1 (2

5、) ix p e 。 3、动量表象下的波函数和坐标表象下的波 函数的关系。 4、证明：在一维空间中，坐标表象下动量 算符的形式是 x i 。 证明： 一维的波函数的坐标表象和动量表象 的关系是 / 1/2 / 1/2 1 ( )( ) (2) 1 ( )( ) (2) ipx ipx xx edx px edx 根据波函数在动量空间的统计诠释， 动量平 均值是 2 * * / 1/2 */ 1/2 */ 1/2 */ 1/2 ( ) ( )( ) 1 ( )( ) (2) 1 ( )( ) (2) 1 ( )( ) (2) 1 ( ) (2) ipx ipx ipx ipx pppdp p p

6、p dp x ep dp x edx pp dp x pe dp xied x p */ 1/2 * * ( ) 1 ( )( ) (2) ( )( ) ( )( ) ipx xp dp xiep dp dx x xix dx x x px dx 交换积分顺序，先积 所以在坐标表象下，动量算符的形式是 pi x 四、薛定谔方程 1、 写出在势场( )V r 中的粒子满足的薛定谔 方程。 2、 写出在势场( )V r 中的粒子满足的能量本 征方程。 五、流密度 1在 一 维 空 间 中 ， 概 率 密 度 * ( , )( , ) ( , )x tx tx t，利用薛定谔方程 证 明 概 率 流

7、 密 度 的 形 式 为 * ( , ) 2 i j x t mxx 3 证明：一维的薛定谔方程是 22 2 ( , )( )( , ) 2 ix tV xx t tm x ，（1） 两边取复共轭得到 22 * 2 ( , )( )( , ) 2 ix tV xx t tm x （2） * (1)(2)得到， * 222 * 22 2 * 2 2 i t mxx m xxx 于是 2 * ( , )( , ) 2 x tx t tt i m xxx 根 据 物 质 概 率 密 度 和 流 的 关 系 ( , )( , )x tj x t tx 所以 * ( , ) 2 i j x t mxx

8、五、物理量的测量，量子态的坍缩 理解： 物理量的可能测得的值是该物理量算 符的本征值， 而测得该值的概率是量子态在 该本征态上分解系数的模的平方。 测得某值 后，量子态立刻坍缩成该值对应的本征态。 例题： 假设一个力学量算符 A的本征方程是 22 1 2 11 Aa Aa ，( 12 , 已经归一化) （1）如 果 一 个 粒 子 处 于 状 态 12 (12) i（波函数未做归一化） ， 对该粒子测量A这个力学量， 那么我们测得 1 a和 2 a的概率各是多少？ （2）如果某次测量粒子的A这个力学量得 到了结果 2 a， 写出测量后的时刻该粒子的波 函数。 解 ：（ 1 ） 测 到 1 Aa

9、的 概 率 是 2 12 2 22 3 21 p i ， 测到 2 Aa的概率是 2 22 2 11 3 21 i p i ， （2）答： 2 六、量子态的演化 掌握：求解初态演化问题的常规解法，分三 步： （1）解能量本征问题，求出一系列的本 征能量和本征态； （2）初态在各本征态下分 解，用内积的方法求出分解系数； （3）各项 配上动力学相因子即为演化的解。 例 题 ： 假 设 粒 子 的 能 量 本 征 方 程 为 ,1,2,3. nnn HEn （1） 如果一个粒子在0t 时刻处于状态 (0) nn n c，则对于其后的任意时 刻t，波函数( ) t将是怎样的？ （2） 如果某次测量粒

10、子的能量得到了结果 1 E，写出测量后的瞬间该粒子的波函数。 答：1、 / ( ) n iE t nn n tc e 2、 1 第二章：第二章： 一、一维势场能量本征态的一般性质： 4 1、势是实的，能量本征波函数一定是实函 数吗？ 否，因为自由相因子可以是复数，又或者在 反射透射问题中， 本征波函数就可以取为复 函数。 2、当势是实函数，能量本征波函数总可以 取为实函数。证明见书上 p27。 3、 势具有空间反射不变性，本征波函数一 定有确定的宇称吗？ 否， 比如有简并的时候就可以组合出没有确 定宇称的本征波函数， 比如在反射透射问题 中，本征波函数就没有确定的宇称。 4、 势具有空间反射不

11、变性，如果能级 无简并，则本征波函数一定有确定的宇称， 证明见书上 p28。 5、 当势具有空间反射不变性 ( )()V xVx时，粒子的能量本征波函数 可能具有偶宇称( )()xx，也可能具 有奇宇称( )()xx 。 6、 能量本征波函数和波函数的导数总是连 续的吗？ 否，比如在势中，波函数导数就不连续。 7、 在有限势场中，能量本征波函数和波函 数的导数总是连续的，证明见书上 p29。 8、 规则势场中的能量本征态可以有 简并，比如在反射透射问题中，从左入射和 从右入射的本征解是能量简并的。 9、 规则势场中能量本征态如果是束 缚态， 则必定是非简并的， 证明见书上 p30。 二、束缚态

12、问题： 1、对于一维无限深势阱，有限深势阱，谐 振子势， 分别画出最低的三个能级的波函数 的示意图，和对应的概率密度的示意图。例 题见第二章作业。 三、束缚态问题和反射透射问题： 掌握： 求解一维势场中的能量本征问题的一 般解法，分三步： （1）能量分区； （2）在选 定的能量区，再把空间分区，在各区给出形 式解(含待定参数)； （3）根据边界条件确定 解里面的参数。 要求会： 1、在空间各区会写出能量本征方程。 2、在任何能量区间，任何空间区域写出波 函数的形式 （1）能量EV处， 通式是( ) ikxikx xAeBe ，但还要会根 据实际情况写出最简的形式，比如 如果是左侧入射区，( )

13、 ikxikx xeRe 如果是右侧出射区，( ) ikx xSe 如果是中间区，( ) ikxikx xAeBe （2）能量EV处， 通式是( ) xx xAeBe ，但还要会根 据实际情况写出最简的形式，比如 在左侧的经典禁区，( ) x xAe 在右侧经典禁区，( ) x xBe 如果是中间区，( ) xx xAeBe 还要会根据宇称选择系数，比如，偶宇称态 AB，奇宇称态AB （3）会写出指数上的参数和能量之间的关 系式 22 2 ()2 () , m VEm EV k 3、会写出边界的连接条件：波函数连续， 波函数导数连续。 4、会根据流的定义在各个空间区域写出流 的表达式： * ( )() 2 j x imxx ，会区分 入射流 i j、反射流 r j、透射流 t j。进而求 出反射系数 r i j R j ,透射系数 t i j T j 。 例题见第二章作业。 四、对势垒和势阱，会求解能量本征问 题，包括势阱中束