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1、浅谈数学开放题及其教学设计广州市番禺区新造职中 广东广州 杨慧君【摘 要】素质教育的核心是培养学生的创新能力,而学生的创新能力往往是在解决数学问题的过程中培养起来的,数学开放题正是为了培养学生的能力。因此加强对数学开放题的研究就显得意义深远。本文试图对数学开放题的教育价值、特征、含义、分类和教学设计作一论述，以期抛砖引玉。【关键词】数学开放题 教学设计一、数学开放题的教育价值、特征和分类大量的研究表明，数学开放题的教育价值在于培养学生对数学的积极态度，在于寻求解答的过程中主体的认知结构的重建，在于能激起多数学生的好奇心，全体学生都可以参与解答过程而不管他是属于何种程度和水平，在于能使学生经历知
2、识再创造的过程，有助于学生创新意识和探索能力的养成。数学题的作用首先表现在帮助学生熟悉和掌握数学知识，发展学生的智能。由于教育选拔功能的需要，数学题的作用还表现在评价学生的学业成绩上。因此，数学题就自然成为数学教学的中心，“问题是数学的心脏”，问题解决是数学教学的核心，这正是数学题重要性的表现。现行中学数学教材中的数学题绝大多数是封闭题，实践表明封闭题已不能完全满足数学素质教育的要求，所以，研究数学开放题并运用于数学教学具有特别重要的现实意义。从上面我们可以看到研究数学开放题的重要性，正所谓“知己知彼，百战不殆”。所以我们就要对开放题有个充分了解才行，那究竟开放题又是怎样的一种题型？关于开放题
3、的含义，还没有统一的界定。一般认为：条件不充分或结论不唯一的题目，称为开放题。弄清它的含义，能使我们更好地理解和研究开放题。其实开放题是相对传统的封闭题而言的。（一） 数学开放题的特征数学开放题一般具有以下特征：（1） 所提的问题常常是不确定的和一般性的，其背景情况也是一般词语来描述的，主体必须收集其他必要的信息，才能着手解题。（2） 没有现成的解题模式，有些答案可能易于直觉地被发现，但是在求解过程中往往需要从多角度进行思考和探索。（3） 有些问题的答案是不确定的，存在着多样的解答，但重要的还不是答案本身的多样性，而在于寻求解答过程中主体的认知结构的重建。（4） 常常通过实际问题的提出，主体必
4、须用数学语言将其数学化，也是建立数学模型。（5） 在求解过程中往往可以引出新的问题，或将问题加以推广，找出更一般，更有概括性的结论。（6） 能激起多数学生的好奇心，全体学生都可以参与解答过程，而不管他是属于何种程度和水平。但是开放题是相对封闭题来而言的，在我们清楚开放题的特征后，为了让大家更清楚地区分开放题和封闭题，请看下面两个简单的数学问题。问题1：数列2，4，8成等比数列。问题2：试写出公比3为的等比数列。明显可以发现问题1的答案是唯一的，一般我们称为封闭题，而问题2的答案不是唯一的，我们称它为开放题。所以我们可以看出一个题目是否开放，与该题目本身结构有关。（二） 数学开放题的分类对数学开
5、放题的分类，从构成数学题系统的四要素（条件、依据、方法、结论）出发，定性地可分成四类，如果寻求的答案是数学题的条件，则称为条件开放题；如果寻求的答案是依据或方法则称为策略开放题；如果寻求的答案是结论，则称为结论开放题；如果数学的条件、解题策略或结论都要求解答者自行设定与寻找，则称为综合开放题。对开放题的分类讨论，有助于理解问题的开放度，有利于教师把握一个数学开放题是否适用于课堂教学，或者有利于教师改变开放题的设问方式以帮助课堂教学，或者有利于有利于考试评分的可操作性与公平性。为了让大家更清楚地区分开放题的各种类型，下面我们住逐一来看下面开放题的四种类型的题目。1、条件开放题这种类型的题目是给定
6、结论来反探满足结论的条件，而满足结论的条件并不唯一，这类题常以基本知识为背景加以设计而成。例1、（2002年全国高考文科题）对于顶点在原点的抛物线，给出下列条件：（1）焦点在Y轴上；（2）焦点在X轴上；（3）抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；（4）抛物线的通径长为5；（5）由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为（2，1）。能使这抛物线方程为的条件是 。这题是探索条件型答案不唯一的开放题，但很常见，对每一层次的学生都能找到答案，因此大部分同学都会跃跃欲试。2、策略开放题这类题要求学生依据题目提供的题设信息，寻找切合实际的多种途径解决问题。具体表现为一题多变、一题多解、引申推广等，从而
7、使学生接受挑战，进入发现、创造的角色，具有较强的素质要求。例2：已知 ，函数是否存在最值？若存在，请求出最值，若不存在，请说明原因。学生很快能想到运用基本不等式，求得最小值为2.（此题满足运用基本不等式的条件“一正二定三相等”）如果把“”改为“”，此题又该如何求解？因为条件修改后已不满足运用基本不等式的第三个条件，x不能取到不等式等号成立的值，那又该从哪入手？于是引出第二种解法：运用函数的单调性。函数y=x+在（0，1）上是减函数，在1,+）上是增函数，在x=2时取得最小值。如果把题目改为已知x1，求函数y=x+的最小值。这时，应想到拆项法，x=(x-1)+1,x-10,再考虑运用基本不等式，
8、当且仅当x-1=1时等号成立，即x=2时，函数y取得最小值，最小值为3。通过引导学生对问题特征的差异和隐含关系等进行具体的分析，作出问题的联想，用不同的策略去处理和解决问题，培养学生思维的广泛性，深刻性，灵活性，独特性，从而培养学生的创造性思维。3、结论性开放题这种类型的题目是在给定条件下探索结论的多样性,基本解法是：根据命题的条件及所学的知识进行探索，常用分类讨论、等价转换、数形结合、试验等方法。例3、某住宅小区内有一块空地，物业管理部门根据小区实际情况，设计出如图的娱乐场所：ABBC，CDDE，AEED，AC=a,BC=b。其中ABC为人们的活动场地，AEB和CDB为小花园。问：若ABC和
9、CBD相似，四边形AEDC是什么四边形？为什么？解：当ABCCDB时，四边形AEDC为矩形BAEDCABCCDBCBD=ACBCBD+BCD=900BCD+ACB=900E=D=ACD=900四边形AEDC为矩形当ABCBDC时，四边形AEDC为直角梯形或矩形E=D=900AECDABCBDC即CBD=CABCBD=BAEBAE=CABRtAEBRtABC即若.当时，即AECD时四边形AEDC为直角梯形当时，即AE=CD时四边形AEDC矩形这类题目我们常常以答案个数的多少去衡量题目开放度的大小。4、综合性开放题对于这类问题，由于主体思考角度与经验背景不同，必然会提出多种多样的解题策略，得到各种
10、不同的精确的或近似的、繁冗的或简练的、可推广的或难以推广的结论。这样的问题的条件、解题策略与结论都呈现极大的开放性。例4(1999年全国高考试题(文、理)第18题) 、是两个不同的平面，m、n是平面及之外的两条不同直线，给出四个论断：mn， ，n，m，以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题。该题是条件开放结论也开放。四个论断都作为条件，剩余一个则是结论，条件和结论都不是固定的，而是可变的，解答该题时考生需要去思考、分析、尝试、猜想、论证，极具挑战性、探索性。例5、上海市出租车现行收费标准为：3公里以下（含3公里）收起步费10元，3公里以上至10公里（含10公里）
11、部分每公里收费2元，10公里以上部分每公里收费3元。如果小王所乘的公里数分别是6公里，15公里，那么他所需付出的出租车费用分别是多少？（为解题方便，途中等候费忽略不计。）这是一个从生活实际出发的应用题，它将“书本世界”与学生的“生活世界、经验世界”相互沟通，计算虽极其简单，但却需要根据不同情况分别求出所需费用。如果对此应用题进一步增加设问： 如果小王所乘的公里数为x，那么他所需付出的出租车费用是多少？ 如果小王从甲地乘出租车到乙地有18公里，而他有两种乘车方案，方案一：从甲地乘一辆出租车到达乙地；方案二：先从甲地上车，行驶到10公里处下车，再换乘另一辆出租车到达乙地，分两次付费。试问：小王选择
12、哪一种乘车方案省钱？ 甲、乙、丙三人合乘一辆出租车，并商定车费要合理分担。如果甲在全程三分之一处下车，乙在全程三分之二处下车，丙一人坐到终点，全程共计车费48元。你认为他们如何分摊车费比较合理？那么上述应用题通过引用开放性设计后，就变成了一个综合性开放题，使得原本就有一定价值的实际问题更具有现实意义和可发展性。上面几个例子，可以体会到数学开放题的优势：一方面，数学开放题的教学可以提高学生解决实际问题的能力；另一方面，在解决问题的过程中，学生会自己找出解决问题的新办法或策略，有时还可表现为对某些定理和公式的结论进行深化和延伸，达到创造性地解决问题的效果，最终培养学生的创新能力和创造思维。二、数学
13、开放题的教学设计研究数学开放题，弄清它的含义、分类，一个重要的目的就是要利用开放题对学生进行教育，充分发挥开放题的教育价值。让开放题进入数学教学课堂，让学生解决开放题，是实现开放题教育价值的重要途径，一般来说，数学题的教学，有下面几个环节。2、 呈现问题无论是条件性、策略性开放题，还是结论性、综合性开放性题，教师可以根据教学的需要，把握好时机，合理、适时的呈现各类开放题。如：在“线面垂直和面面垂直的判定和性质”复习课中，教师可出示前面的“例4”。这个问题的开放度比较大，又具有一定的层次性，尽管学生之间的能力有差异，但每个学生都能“做得出”，满足了各种层次学生的要求，再通过寻找规律，能使学生更进
14、一步理解“垂直关系”的含义和有关解题方法，有利于达到复习目标。2、研究问题一般地，研究解决开放题的方法大致有：学生个别学习、小组讨论学习，班内组际交流学习和教师讲解等几种形式。例如，在研究“例2”时，教师首先让每个学生根据自己的能力积极参与，独立完成这个题目，并鼓励学生充分利用开放题的多样性，找出多种答案。由于该开放题的开放度比较大，所以每个学生都或多或少能获得几个答案。这大大激发了学生的学习热情，每个学生在学习中都有一定的成就感，增强了学习数学的自信心。接着进行小组交流，通过组内讨论，不同层次的学生集思广益，互通启迪，缩小了差异。这样，借助于这个开放题的教学过程。既为学生提供了充分发展个性的
15、机会，又充分畅通了学生之间交流信息的渠道，有利于促进学生的思维活动。3、小结问题对开放题进行小结。可以采用学生代表发言小结，也可以教师进行总结性发言。小结是诱发学生产生顿悟，使认知结构产生质的飞跃的重要的步骤。同时可以帮助学生去伪存真，纠正学生思维的偏差。小结除了罗列一些可能的答案外，更重要是要归纳规律和提出有关问题之间的联系。如能再适当提问，可以增加问题的开放度，又可以促进学生进一步思考、探索，把问题向课外延伸，使理论与实际紧密结合，做到“言尽意不尽”，真正达到教育的目的。数学开放题的教学要注意以下几点：(1) 教师对于有关的问题，事先要作好充分的准备与估计，这样方能得心应手地对付课堂内可能发生的发生的情况。(2) 课堂上要让学生自己去动手做，让学生充分的通过自己的思考，互相交流，互相启发找出答案。(3) 启发要得当，要善于从学生正确的或不正确的答案中，分析其思路，及时肯定成绩，指出不足，引导前进。(4) 开放题教学是对教师临场应变能力的挑战，教师既要照顾到差生的解答水平，又要鼓励优生去寻找更高水平更一般的解答，并力图使各种智力体验变
