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1、介绍一组优美的圆锥曲线焦半径公式 吴文尧 （ 浙江省宁波市北仑中学吴文尧工作室， ） 我们通常把圆锥曲线上的点与圆锥曲线的 焦点的连线段 称为圆锥曲线过点的焦半 径 在解答有关圆锥曲线涉及焦点的问题时， 经常 需要计算焦半径的长， 且“ 工程量”往往较大； 如何 简化其计算过程， 缩短解题长度是大家共同的心 愿 本文介绍一组优美的求圆锥曲线焦半径的计 算公式， 供大家参考 一、 公式介绍 众所周知， 在极坐标系中圆锥曲线的极坐标 方程为 ， 其中为圆锥曲线的离心 率， 为焦点到相应准线的距离， 事实上， 其中 的 即为圆锥曲线的焦半径， 即其极坐标方程也 可以看成是圆锥曲线统一的焦半径公式，
2、但在具 体的使用过程中， 这个公式不是很便捷， 下面利用 圆锥曲线的性质对这个公式进行“ 再加工” （ ）时， 曲线为抛物线 设 是过抛物线 （ ） 的焦点 的弦（ 点在轴上方） ， 直线 的倾斜角为 ， 则 ， ， 所以 当 时， （ 抛物线的通径的 长） （ ） 时， 曲线为椭圆， 其极坐标方程 为 设 是椭圆 （ ） 过焦点 （ 左或右焦点）的弦， 直线 与轴的夹角为（ ） ， 若 ， 则 ， ， 当 时， （ 椭圆的通径的 长） ； 当时， （ 椭圆的长轴的 长） （ ）时， 曲线为双曲线， 其极坐标方程为 设 是双曲线 （ ，） 过 焦点（ 左或右焦点） 的弦， 直线 与轴的夹角 为
3、（ ） ， 且 （ ），两点同在双曲线的左支（ 或同在双曲 线的右支）时， ， 当 时， （ 双曲线的通径的 长） （ ），两点不同在双曲线的左支（ 也不同在 右支）时， ， 当 时， （ 双曲线的实轴的 长） 二、 公式的应用 用于求焦点弦所在直线的斜率 数学通讯 年第期（ 上半月） 辅教导学 由于前面给出的焦半径公式都与直线的倾斜 角相关联， 因此在求焦点弦所在的直线的斜率时， 可运用焦半径公式及题设条件得到一个关于直线 倾斜角的方程， 然后求出其倾斜角的某一三角函 数值， 进而求出其斜率 例 （ 年高考全国（ ）数学理科第 题） 已知椭圆的离心率为槡 ， 过右焦点且斜率为 （ ）的直线与
4、相交于、两点若 ， 则 （ ） （） （）槡 （）槡 （） 解答 设直线 的倾斜角为 ， 则 ， ， 由 可得 ， 即 槡 ， 所以 槡， 故选（） 评注 本题的常规解法通常是写出直线 的方程， 然后把直线方程代入椭圆的方程， 再运用 韦达定理， 把条件 翻译成关于的方 程， 从而得到结论， 其运算量显然较大； 若利用椭 圆的定义解之， 则对数学能力的要求较高而本解 法容易操作且运算简单 例 （ 年高考浙江省数学理科试卷第 题） 设，分别为椭圆 的左、 右焦 点， 点，在椭圆上， 若 ， 则点的坐 标是 分析 要得到点的坐标只须确定直线 的方程， 即只须确定其倾斜角的大小， 所以问题的 本质与
5、例相同 解答 设直线与轴的夹角为， 则 槡槡 由于 ， 所以直线 与轴的夹 角也为 ， 故 槡槡 所以 槡 槡槡 槡 槡槡 ， 解得 槡 ， 槡， 故点恰为短轴的端点， 所以（，） 评注 焦点作为过圆锥曲线焦点的弦的定比 分点， 设置问题情景很容易与平面向量知识相结 合， 所以也容易得到高考命题组专家的青睐， 这类 问题与焦半径直接相关联， 所以对于这类试题， 运 用这组焦半径公式解之可谓“ 专业对口” 用于求圆锥曲线的离心率 对于第一类问题的逆向问题， 即已知圆锥曲 线的某一焦点弦所在直线的斜率及焦点分过焦点 的弦所成的比， 求曲线的离心率； 运用焦半径公式 很容易建立一个关于，的方程， 然
6、后求其离心 率 例 （ 年高考辽宁省数学理科试卷第 题）设椭圆： （ ）的左焦 点为， 过点的直线与椭圆相交于，两点， 直线的倾斜角为 ， （ ）求椭圆的离心率； （ ）如果 ， 求椭圆的方程 解答 （）设椭圆的焦距为， 则 ， ， 由 可得 ， 即 ， 故 （ ） 由（） 可知 ， 槡 槡 ， ， 所以， 槡， 椭圆的方程为 评注 在圆锥曲线的有关运算中， “ 最苦、 最 累” 的活是把直线方程代入椭圆（ 双曲线） 方程， 再 利用韦达定理解决相关的问题， 运用焦半径公式 可以很好地回避做这件很辛苦的事 用于求过焦点的弦的长 求圆锥曲线的弦长是圆锥曲线中最常规的问 题， 我们也有所谓的圆锥曲
7、线的弦长公式可以利 用， 但都不可回避的是必须做“ 把直线方程代入曲 线方程”这件事 对于求圆锥曲线过焦点的弦的 长， 利用焦半径公式可“ 一望而解” 例 （ 由 年全国高中数学学竞赛湖北 省预赛试题改编）已知直线与椭圆： 辅教导学 数学通讯 年第期（ 上半月） 交于， 两点， 过椭圆的右焦点作倾 斜角为的直线交弦 于， 交椭圆于点， ， 试用表示四边形的面积 图 分析 由于当确定 时， 直线 与的夹角 也随之确定， 所以本题的关 键是计算过椭圆右焦点的 弦 的长 解答 把代入 椭圆方程： 可 解得（ 槡 ， 槡 ） ， （ 槡 ， 槡 ） ， 所以 槡 槡 由于直线的倾斜角为， 所以 槡 ，
8、 槡 ， 槡 槡 ， ， 所以四边形的面积 槡 （ ） 槡 用于圆锥曲线的综合问题 对于圆锥曲线的“ 触 焦”问 题， 文 已 较 系统介绍其解题的基本对策， 其不足之处是没 有提及圆锥曲线的焦半径公式的角度形式， 事 实上在解决有关圆锥曲线中具有挑战性的“ 触 焦” 问题时， 运用这组公式往往能收到意想不到 的效果 例 （ 自编题）已知点为椭圆 （ ） 的一个动点（ 不在长轴上） ， ，为 其左、 右焦点， 直线 和椭圆相交于点， 直线 和椭圆相交于点 ， 且 ， 求证： 为定值（ 用，表示之） 分析 易见， 当点确定时， 整个图形也随之 确定， ，的值也随之确定，的值“ 照理” 可 用点的坐标（ ， ） 表示之， 即 可表示成关于的函数， 若 真的为定值， 则 这个函数必为常数函数 但要把 ，表示成的 函数是件很不容易的事， 注意到题设的主条件是 焦点分焦点弦所得的比为 （） ， 所以可以利用 焦半径公式解之 图 证明 不妨设点在 轴 上 方， 如 图， 在 中，设 ， ， 令 ， ， ， 则 ， 由正弦定理可知： （） ， 所以 （） ， 化简可得 ， 由椭圆的焦半径公式可得 ，
