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1、第六章第4课时 基本不等式 课时闯关（含答案解析）一、选择题1. 已知f(x)x2(x0), 则f(x)有()A. 最大值为0 B. 最小值为0C. 最大值为4 D. 最小值为4解析：选C.x0, x2(x)222 4, 等号成立的条件是x, 即x1.2. (2012兰州质检)已知pa(a2), q()x22(xR), 则p、q的大小关系为()A. pq B. pqC. pq D. pq解析：选A.pa(a2)24, 当且仅当a3时等号成立; q()x22()24, 当且仅当x0时等号成立. 显然, pq.3. 已知0x1, 则x(33x)取得最大值时x的值为()A. B.C. D.解析：选B
2、.0x0.x(33x)3x(1x)32.当且仅当x1x, 即x时取等号. 4. (2012宜昌调研)函数f(x)的最大值为()A. B.C. D. 1解析：选B.x0, (1)当x0时, f(0)0; (2)当x0时, f(x), 当且仅当, 即x1时取等号, 故选B.5. 已知x0, y0, 若m22m恒成立, 则实数m的取值范围是()A. m4或m2 B. m2或m4C. 2m4 D. 4m0, y0, 所以28.要使原不等式恒成立, 只需m22m8, 解得4m0, 则 的最小值为_. 解析：x0, x2, 当且仅当x即x时取等号. 答案：27. 已知x, y(0, ), 且满足1, 则x
3、y的最大值为_. 解析：x, y(0, )且1, 由基本不等式有12 , 解得xy3, 当且仅当, 即x, y2时, 等号成立. 所以xy的最大值为3.答案：38. (2011高考天津卷)已知log2alog2b1, 则3a9b的最小值为_. 解析：由log2alog2b1得log2(ab)1, 即ab2, 3a9b3a32b23(当且仅当3a32b, 即a2b时“”号成立). 又a2b24(当且仅当a2b时“”成立), 3a9b23218.即当a2b时, 3a9b有最小值18.答案：18三、解答题9. (1)当x时, 求函数yx的最大值; (2)当0x时, 求函数yx(12x)的最大值. 解
4、：(1)y(2x3).当x0, 24, 当且仅当, 即x时取等号. 于是y4, 故函数有最大值.(2)0x0, 则y2x(12x)2, 当且仅当2x12x, 即x时取到等号, ymax.10. (1)当点(x, y)在直线x3y40上移动时, 求表达式3x27y2的最小值; (2)已知x, y都是正实数, 且xy3xy50, 求xy的最小值. 解：(1)由x3y40得x3y4, 3x27y23x33y222222220, 当且仅当3x33y且x3y40, 即x2, y时取“”, 此时所求最小值为20.(2)由xy3xy50得xy53xy.25xy53xy.3xy250, (1)(35)0, ,
5、 即xy, 等号成立的条件是xy.此时xy, 故xy的最小值是.11. 合宁高速公路起自安徽省合肥西郊大蜀山, 终于苏皖交界的吴庄, 全长133千米. 假设某汽车从大蜀山进入该高速公路后以不低于60千米/时且不高于120千米/时的速度匀速行驶到吴庄. 已知该汽车每小时的运输成本由固定部分和可变部分组成, 固定部分为200元, 可变部分与速度v(千米/时)的平方成正比. 当汽车以最快速度行驶时, 每小时的运输成本为488元. (1)把全程运输成本f(v)(元)表示为速度v(千米/时)的函数; (2)汽车应以多大速度行驶才能使全程运输成本最小？最小运输成本为多少元？解：(1)依题意488200k1202, 解得k0.02.f(v)(2000.02v2)133(0.02v)(60v120). (2)f(v)133(0.02v)1332 532, 当且仅当0.02v, 即v100时, “”成立, 即汽车以100 千米/时的速度行驶, 全程运输成本最小为532元. 3
