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1、函数单调性错例剖析 函数的单调性是函数基本性质之一，考试大纲对本性质作了重要的要求，它的应用非常广泛，但同学们在解题时，往往由于应用不熟练而导致错误，现举几例说明。 一、忽视单调性 例1 已知函数f（x）=x2-x-1，x-1，求f（x）的最大值和最小值。 错解：f（-1）=1+-1=，f（）=3-2-1=0， f（x）的最大值和最小值分别为和0。 剖析：以上解法忽视了函数的单调性，由题设知函数f（x）在-1，上单调递减，在，上单调递增，因而当x=时，f（x）取得最小值。 解：f（x）=（x-）2-，x-1， 当x=时，f（x）的最小值为-，当x=-1时，f（x）的最大值为。 二、不理解单调性
2、定义例2 判断函数f（x）=的单调性。错解：f（x）的定义域为（-，-1）（-1，+），设x1x2-1，则f（x2）-f（x1）=-=。x1x2-1，x1-x20 x1+10 x2+10f（x2）-f（x1）0，即f（x2）f（x1）f（x）在(-,-1)上为减函数，同理可得f（x）在（-1，+）上也是减函数，故f（x）在（-，-1）（-1，+）为减函数。剖析：对函数单调性理解不够导致错误，对于单调性只能是在某个指定区间上来说的，不能用并集表示单调区间。正解：f（x）的定义域为（-，-1）（-1，+），设x1x2-1，则f（x2）-f（x1）=-=x1x2-1，x1-x20，x1+10，x2+
3、10f（x2）-f（x1）0，即f（x2）f（x1）f（x）在(-，-1）为减函数。同理可得f（x）在（-1，+）上也是减函数。f（x）在（-，-1）和（-1，+）上都是减函数。三、错用函数的单调性例3 利用定义判断函数f（x）=x+在区间（-，+）上的单调性。错解：设x1，x2（-，+）且x1x2，则f（x1）-f（x2）=（x1+）-（x2+）=（x1-x2）+（-）x1x2，x1-x20，-0f（x1）-f（x2）0，即f（x1）f（x2）。故函数f（x）在区间（-，+）上是单调增函数。剖析：该解法失误在于错用了g（x）=的单调性，而实际上在R上g（x）=不具备单调性。例如g（-1）=g（1）或由数形结合可知。正解：设x1，x2（-，+）且x1x2，则f（x1）-f（x2）=（x1-x2）+（-）=（x1-x2）+=（x1-x2）+=x1x2，x1-x20，又+0，+x1|x1|+x10，+x2|x2|+x20+x1+x20，所以f（x1）-f（x2）0，即f（x1）f（x2），故函数f（x）在区间（-，+）上是单调增函数。点评：利用定义法判断函数单调性时，一般要将f（x1）-f（x2）化成几个因式的乘积的形式。用心 爱心 专心
