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1、20192020学年度北京市大兴区高三第一次综合练习 2020.4 数学 本试卷共 6 页，满分 150 分考试时长120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试 卷上作答无效。 第一部分 （选择题共 40 分） 一、选择题共10 小题，每小题4 分，共 40 分在每题列出的四个选项中，选出符合题目 要求的一项 （1）在复平面内， 2 1i 对应的点位于 （A）第一象限（B）第二象限 （C）第三象限（D）第四象限 （2）已知集合|2Ax xkkZ，|22Bxx，则 AB （A） 1 1 ， （B） 2 2， （C） 02，（D） 2 02， ， （3）已知等差数列 na的前 n 项和为nS ，
2、20a，41a，则4S 等于 （A） 1 2 （B） 1 （C） 2 （D）3 （4）下列函数中，在区间 (0,)上单调递增且存在零点的是 （A）ex y（B）1yx （C） 1 2 logyx （D） 2 (1)yx （5）在(2)n x的展开式中，只有第三项的二项式系数最大，则含 x项的系数等于 （A）32（B）24 （C） 8（D） 4 （6）若抛物线 2 4yx上一点 M 到其焦点的距离等于2，则 M 到其顶点O 的距离等于 （A） 3 （B） 2 （C） 5 （D）3 （7）已知数列 na是等比数列，它的前 n 项和为 n S ，则“对任意 * nN ， 0 n a”是“数 列 n
3、S为递增数列”的 （A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件 （C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件 （8）某四棱锥的三视图如图所示，如果方格纸上小正方形的边长为1，那么该几何体的最 长棱的棱长为 （A）3 （B） 10 （C） 13 （D） 17 （9）已知函数 ( )sin() 6 f xx(0) 若关于x 的方程( )1f x在区间 0，上有且仅 有两个不相等的实根，则的最大整数值为 （A）3（B） 4 （C）5（D）6 （10）如图，假定两点P ， Q 以相同的初速度运动点 Q沿直线CD作匀速运动，CQ x ； 点 P 沿线段 AB （长度为 7 10 单位）运动，它在任何一点
4、的速度值等于它尚未经过的距 离( PBy ) 令 P 与 Q 同时分别从A，C出发，那么，定义 x 为 y的纳皮尔对数，用 现在的数学符号表示x与 y的对应关系就是 7 7 10 1 10 ( ) e x y，其中 e为自然对数的底当点 P 从线段 AB 的三等分点移动到中点时，经过的时间为 （A） ln 2 （B）ln3 （C） 3 ln 2 （D） 4 ln 3 第二部分 （非选择题共 110分） 二、填空题共5 小题，每小题5 分，共 25 分 （11）已知向量( 1 1)，a，(2) t，b， 若ab ，则 t； （ 12） 若 函 数 22 ( )cossinf xxx 在 区 间0
5、 m，上 单 调 减 区 间 ， 则 m 的 一 个 值 可 以 是； （13）若对任意0 x，关于 x 的不等式 1 ax x 恒成立，则实数a 的范围是； （14）已知()()A arB bs，为函数 2 logyx 图象上两点，其中ab已知直线AB 的斜率 等于 2，且|5AB，则ab； a b ； （15）在直角坐标系xOy 中，双曲线 22 22 1 xy ab （00ab，）的离心率2e，其渐近线 与圆 22 (2)4xy交x 轴上方于AB， 两点，有下列三个结论： | |OAOBOAOB； |OAOB存在最大值； | 6OAOB 则正确结论的序号为 三、解答题共6 题，共 85
6、分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程 （16）（本小题14 分） 在ABC中，1c， 2 3 A，且ABC的面积为 3 2 （）求a 的值； （）若D 为 BC 上一点，且，求sinADB的值 从 1AD ， 6 CAD这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答 （17）（本小题14 分） 为了调查各校学生体质健康达标情况，某机构M 采用分层抽样的方法从A 校抽取了m 名学生进行体育测试，成绩按照以下区间分为七组：30,40)， 40,50)， 50,60)， 60,70)， 70,80)， 80,90)，90,100 ，并得到如下频率分布直方图根据规定，测试成绩低于60 分为体质不达
7、标。已知本次测试中不达标学生共有20 人 （）求m的值； （）现从A校全体同学中随机抽取2 人，以频率作为概 率，记 X 表示成绩不低于90 分的人数，求X 的分 布列及数学期望； （）另一机构N 也对该校学生做同样的体质达标测试， 并用简单随机抽样方法抽取了100 名学生，经测试 有 20 名学生成绩低于60 分计算两家机构测试成 绩的不达标率，你认为用哪一个值作为对该校学生 体质不达标率的估计较为合理，说明理由。 （18）（本小题14 分） 如图，在三棱柱 111 ABCA BC 中， 1 ABACBCAA ， 1 60BCC ， 11 ABCBCC B平面平面， D 是BC 的中点， E
8、 是棱 11 A B 上一动点. （）若 E 是棱 11 A B的中点，证明： 11 / /DEACC A平面 ； （）求二面角 1 CCAB的余弦值； （）是否存在点E，使得 1 DEBC ，若存在， 求出 E 的坐标，若不存在，说明理由。 （19）（本小题14 分） 已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的离心率为 2 1 ，且经过点)0,2(，一条直线l与椭圆 C 交于 P ， Q 两点，以 PQ 为直径的圆经过坐标原点O （）求椭圆C 的标准方程； （）求证： 22 | 1 | 1 OQOP 为定值 （20）（本小题15 分） 已知函数( )ln 1 ax f xx x
9、 （）若1a，求曲线 ( )yf x 在点 (1(1)f， 处的切线方程； （）求证：函数( )f x 有且只有一个零点. （21）（本小题14 分） 已知数列 1210 aaa，满足：对任意的1,2,3,4,5,6,7,8,9,10ij， ， 若 ij ， 则 ijaa ， 且1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 i a，设集合 12|1,2,3,4,5,6,7,8iiiAaaai ，集合 A 中元素 最小值记为()m A ，集合 A 中元素最大值记为()n A . （）对于数列：106 1 2 7 8 3 9 54， ， ， ，写出集合 A 及 ()()m An A，； （）求证：()
10、m A 不可能为18； （）求 ()m A 的最大值以及 ()n A 的最小值 20192020学年度北京市大兴区高三第一次综合练习 高三数学 参考答案及评分标准 一、选择题（共10 小题，每小题4 分，共 40 分） 题号12345678910 答案DDBCABCDBD 二、填空题（共5小题，每小题5 分，共 25 分） （11）2 （12）答案不唯一，只要 0 2 m （13） (2， （或 |2a a （14） 1； 4 （第一个空3 分，第二个空2分） （15）（不选或有错选得0 分，只选对1 个得 3 分，全部选对得5 分 ） 三、解答题（共6 小题，共 85 分） （16）（共 1
11、4 分） 解：（ ） 由于1c， 2 3 A， 1 sin 2 ABC SbcA ，2分 所以2b3分 由余弦定理 222 2cosabcbc A ， 5分 解得 7a6分 （ ）当1AD时， 在ABC中，由正弦定理 sinsin bBC BBAC ，2 分 即 27 sin3 2 B ，所以 21 sin 7 B4 分 因为1ADAB，所以ADBB6 分 所以 sinsinADBB，7分 即 21 sin 7 ADB8 分 当30CAD时， 在ABC中，由余弦定理知， 222 7142 7 cos 272 71 ABBCAC B AB BC 3 分 因为 120A，所以90DAB，4 分 所
12、以 2 BADB，5 分 所以sincosADBB，7分 即 2 7 sin 7 ADB8分 （17）（共 14 分） 解：（）由频率分布直方图知，(0.0020.0020.006)1020m， 2 分 解得200m. 3 分 （） 方法 1： 由图知，每位学生成绩不低于90 分的频率为0.01 10=0.1 ， 1 分 由已知，X 的所有可能取值为0 1 2， 2 分 则 02 2 (0)(10.1)0.81P XC， 1 2 (1)0.1(1 0.1)0.18P XC， 22 2(2)0.10.01P XC. 5 分 所以 X 的分布列为 6 分 所以=00.81+1 0.1820.010
13、.2EX. 7 分 方法 2：由图知，每位学生成绩不低于90 分的频率为0.01 10=0.1 ， 1 分 由已知(2,0.1)XB， 2 分 则 02 2(0)(10.1)0.81P XC， 1 2(1)0.1(1 0.1)0.18P XC， 22 2 (2)0.10.01P XC. 5 分 所以 X 的分布列为 6 分 X012 P0.810.180.01 X012 P0.810.180.01 所以=20.10.2EX. 7 分 （）机构M 抽测的不达标率为 20 0.1 200 ， 1分 机构 N 抽测的不达标率为 20 0.2 100 2 分 （以下答案不唯一，只要写出理由即可） 用机
14、构M 测试的不达标率0.1估计 A 校不达标率较为合理。 3 分 理由：机构M 选取样本时使用了分层抽样方法，样本量也大于机构N，样本更有代 表性，所以，能较好反映了总体的分布。 4 分 没有充足的理由否认机构N 的成绩更合理 3 分 理由：尽管机构N 的样本量比机构M 少，但由于样本的随机性，不能排除样本较好 的反映了总体的分布，所以，没有充足的理由否认机构N 的成绩更合理。 4 分 （18）（共 14 分） （）证明：取 11 AC 中点为P，连结 CPEP， 在 111 CBA 中，因为PE、为 1111 CABA、的中点， 所以 11 /CBEP 且 11 2 1 CBEP=. 1分
15、又因为D是 BC 的中点， 1 2 CDBC ， 所以BCEP /且CDEP=， 所以 CDEP 为平行四边形 所以DECP/.2 分 又因为 DE平面 11A ACC，. 3分 ?CP平面 11A ACC， 所以/DE平面 11A ACC .4 分 （）连结ADDC、 1 ， 因为ABC是等边三角形，D是 BC 的中点， 所以 ADBC ， 因为 11 CCAABC=， 60 1 =BCC， 所以 1 C DBC. 因为 11 ABCBCC B平面平面， 11 ABCBCC BBC平面平面， 1 C D 平面11B BCC， 所以 1 C D平面 ABC ， 所以 1 DCDADB， 两两垂直 . 如图，建立空间直角坐标系Dxyz ，1 分 则( 300)A， ，(01 0)C， 1(0 0 3)C， ， 1(0 13)CC ，( 3 1 0)CA， ， 设平面 1 ACC的法向量为()xyz， ，n ， 则 10 0 CC CA uuu r n n ，2 分 即 30 30 yz xy ，3 分 令1=x，则3y，1z， 所以(13 1)，n. 4 分 平面 ABC 的法向量为 1 (003)DC， ， uuu u r ， 1 1 1 5
