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1、初二数学二次三项式的因式分解；三角形学案人教版【本讲教育信息】一. 教学内容： 代数：二次三项式的因式分解。 几何：已知三角形的三个元素画出三角形，进一步探究两三角形完全重合的条件。学习目标 1. 掌握用“十”字相乘法分解因式。 2. 初步学会用配方法分解因式。 3. 已知三元素画三角形。 4. 归纳两三角形完全重合的条件。二. 重点、难点： 1. 重点： 代数：“十”字相乘法 几何：两三角形重合的条件 2. 难点： 代数：配方法 几何：已知三元素画三角形三. 内容概要： 1. “十”字相乘法； 2. 配方法； 3. 已知三角形中三元素画三角形； 4. 归纳两三角形重合的条件；【例题分析】代数
2、 多项式乘法中有 反向，则有： 虽不一定可用，但可用下边竖式乘法方法来试。 例1. 把下列分解因式。 （1） （2） （3） 解：（1）由下边“十”字相乘可知： （2） （3） 例2. 把下列分解因式。 （1） （2） （3） （4） 解：（1） （2） （3）分析：把原式看成x的二次三项式。 原式 （4）分析：想办法整理成某个整式的二次三项式。 原式 例3. 分解因式： 分析：原式是两个含x、y的一次式的形式。 解：原式 也可用例2中（3）题的方法。 例4. 用配方法分解下列各式： （1） （2） （3） 解：（1） 要点：二次项系数为“1”时； 加一次项系数的一半的平方，配成完全平方式；
3、之后用平方差公式分解。 （2）原式中的二次项系数提出来，转化为二次项系数为“1”的形式。 原式 （3）原式 例5. 用配方法求出当x取何值时下列多项式有最大（小）值，并求出最大（小）值。 （1） （2） 解：（1）原式 当时，有最小值，最小值为-1 （2）原式 当时，有最大值，最大值是4 例6. 比较与的大小。 解： 即：几何 例1. 已知ABC中，ABc，BCa，CAb，如图所示： 求作：ABC。按此条件再做一个，问能做出不同的三角形吗？ 画法： （1）作射线AM，在AM上截取。 （2）分别以A、B为圆心，以b、a为半径画弧交于点C。 （3）连AC、BC。 （4）则ABC为所求。 这样已知三
4、边所作出的三角形做不出不同的。 所以三边确定大小后所作的三角形是可以完全重合的。（本题中条件为已知三边） 所作三角形唯一确定。 例2. 已知ABC中，A60，ABc，ACb，如图： 求作：ABC，这样的三角形能作出不同的吗？ 画法： （1）作射线AM。 （2）作射线AN，使MAN60。 （3）以A为圆心，b为半径画弧交AM于C；以A为圆心，c为半径画弧交AN于B。 （4）连BC。 （5）则ABC为所求。 按此条件作的三角形也是能完全重合的。（本题中条件结构：两边及夹角） 所作三角形唯一确定。 例3. 已知：ABC中，A40，B60，ABc，如图： 求作：ABC，能作出不同的吗？ 画法： （1）
5、作线段AB，使ABc。 （2）作射线AM使MAB40，作射线BN使NBA60，AM、BN交于点C。 则ABC为所求。 按此条件所作三角形，也是可以完全重合的，所作唯一确定。 本题中已知条件结构为：两角及夹边。 例4. 已知：ABC中，A30，ABc，BCa，如图： 求作：ABC，这样的三角形能作出不同的吗？ 画法： （1）作射线AM。 （2）作NOM，使NAM30。 （3）以A为圆心，c为半径，画弧交AN于B。 （4）以B为圆心，a为半径画弧交AM于C。 （5）连BC。 则ABC为所求。 但第4步中与AM可有两个交点，另一个交点是C，则ABC也为所求。 所以所作三角形不唯一确定。 例5. 已知
6、：ABC中， （1）已知：A40，C80，ABc，如图，问能否作出唯一的三角形ABC来，唯一确定大小及形状？ （2）已知：A20，B100，C？，能否作出唯一确定大小及形状的三角形？ 解：（1）中， 可利用来作ABC 此时与例3完全相同，故由例3的结论可推出本题也有唯一确定的三角形ABC。 （2） 可在任意长的线段两端作A、B得到ABC，故不能唯一确定一个三角形，但可发现这样作的三角形形状相同大小不同如图： 对这几个例题进行归纳： 在下面的已知条件下作出的三角形，作得的结果（作两个或更多）是完全重合的三角形，即唯一确定三角形的形状和大小：（用S表示边，用A表示角） 已知三边（SSS） 已知两边
7、及这两边的夹角（SAS） 已知两角及这两角的夹边（ASA） 已知两角及一角的对边（AAS） 今后可用上面这4种方法判定两个三角形的形状大小均相同，即完全重合。 但已知两边及一边的对角时，即（SSA），不能判定两三角形完全重合。小结 （1）在已知：SSS、SAS、ASA、AAS结构的三元素条件下，正确画出三角形。 （2）在已知：SSS、SAS、ASA、AAS结构的三元素的条件下可判定两三角形完全重合。【模拟试题】代数一. 用“十”相乘法把下列因式分解。 （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7）二. 填空题。 （1）是x的完全平方式，则k_。 （2）是x的完全平方式，则b_。 （3）
8、当x_时，有最_值（填：大或小），其值为_。当x取_时的值为0。 （4）设，则M是_的平方。几何一. 判断下列中两个三角形能否完全重合。 （3）ABC和ABC中，A50，AB6cm，BC5cm，A50，AB6cm，CB5cm。 （4）ABC和ABC中，AB3cm，BC4cm，CA5cm，AC4cm，BA5cm，BC3cm。二. 已知ABC和ABC中，ABAB，BCBC，当_时，ABC与ABC能完全重合。三. 已知ABC中，A30，AB10cm，BC5cm。求作：ABC，问能作出几个满足条件的不同的三角形来？【试题答案】代数一. （1） （2） （3） （4）原式 （5）原式 （6）原式 （7）解法一： 原式 解法二： 原式 二. （1） （2） （3） 当或时，的值为零 （4）令，则 几何一. （1）完全重合；（2）完全重合；（3）不重合；（4）完全重合。二. 时，或时三. 作ABC见下图，仅能作唯一的三角形。
