第六章地球椭球与椭球计算理论11

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1、第六章第六章 地球椭球与椭球计算理论地球椭球与椭球计算理论 本章提要本章提要本章提要本章提要 6.1 6.1 6.1 6.1 地球椭球的基本几何参数及其相互关系地球椭球的基本几何参数及其相互关系地球椭球的基本几何参数及其相互关系地球椭球的基本几何参数及其相互关系 6.2 6.2 6.2 6.2 椭球面上的常用坐标系及其相互关系椭球面上的常用坐标系及其相互关系椭球面上的常用坐标系及其相互关系椭球面上的常用坐标系及其相互关系 6.3 6.3 6.3 6.3 几种主要的椭球公式几种主要的椭球公式几种主要的椭球公式几种主要的椭球公式 6.4 6.4 6.4 6.4 将地面观测值归算至椭球面将地面观测值

2、归算至椭球面将地面观测值归算至椭球面将地面观测值归算至椭球面 习题习题习题习题 本章提要本章提要 本章讲述地球椭球与参考椭球的概念，进而介本章讲述地球椭球与参考椭球的概念，进而介绍椭球的基本几何参数，基本坐标系及其相互关系。绍椭球的基本几何参数，基本坐标系及其相互关系。同时，讲述椭球面同地面之间的关系，如何将同时，讲述椭球面同地面之间的关系，如何将地面地面观测元素（水平方向及斜距等）归算至椭球面上观测元素（水平方向及斜距等）归算至椭球面上。在对本章的学习中，要建立起空间的概念，只有建在对本章的学习中，要建立起空间的概念，只有建立了地球椭球的这些基本空间概念后，才能更好地立了地球椭球的这些基本空

3、间概念后，才能更好地学习控制测量的内业数据处理等相关知识。学习控制测量的内业数据处理等相关知识。 1地球椭球的定义及其几何意义；地球椭球的定义及其几何意义； 2常用测量坐标系统的建立及其在控制测量中的应用；常用测量坐标系统的建立及其在控制测量中的应用； 3各种测量坐标系统之间的相互转换；各种测量坐标系统之间的相互转换； 4椭球面上几种曲率、弧长、大地线的计算；椭球面上几种曲率、弧长、大地线的计算； 5地面测量值（水平方向和边长）归算到椭球面的方法。地面测量值（水平方向和边长）归算到椭球面的方法。知识点及学习要求知识点及学习要求在对本章的学习中，有大量的公式推导与应用。在对本章的学习中，有大量的

4、公式推导与应用。各种常用测量坐标系统的建立与相互转换；各种常用测量坐标系统的建立与相互转换；几种常用的椭球计算公式；几种常用的椭球计算公式；地面观测值归算到椭球面的方法与计算地面观测值归算到椭球面的方法与计算、大地主题解算、大地主题解算。 本章重点：本章重点：地球椭球几何性质、地面观测值归算地球椭球几何性质、地面观测值归算本章难点：本章难点： 6.1 6.1 地球椭球的基本几何参数及其相互关系地球椭球的基本几何参数及其相互关系一一. . 地球椭球的基本几何参数地球椭球的基本几何参数地球椭球：地球椭球：在控制测量中，用来代表地球的椭球，它是地球的数学模型。在控制测量中，用来代表地球的椭球，它是地

5、球的数学模型。 参考椭球：参考椭球：具有一定几何参数、定位及定向的用以代表某一地区大地具有一定几何参数、定位及定向的用以代表某一地区大地水准面的地球椭球。地面上一切观测元素都应归算到参考椭球面上，并在水准面的地球椭球。地面上一切观测元素都应归算到参考椭球面上，并在这个面上进行计算。参考椭球面是大地测量计算的基准面，同时又是研究这个面上进行计算。参考椭球面是大地测量计算的基准面，同时又是研究地球形状和地图投影的参考面。地球形状和地图投影的参考面。地球椭球的几何定义：地球椭球的几何定义：O是椭球中心，是椭球中心，为为旋转轴，旋转轴，a 为长半轴，为长半轴，b 为短半轴。为短半轴。子午圈子午圈(经圈

6、，或子午椭圆）：包含旋转轴的经圈，或子午椭圆）：包含旋转轴的平面与椭球面相截所得的椭圆。如平面与椭球面相截所得的椭圆。如NKAS平行圈（或纬圈）：垂直于旋转轴的平平行圈（或纬圈）：垂直于旋转轴的平面与椭球面相截所得的圆。如面与椭球面相截所得的圆。如QKQQKQ赤道：通过椭球中心的平行圈赤道：通过椭球中心的平行圈 。如。如EAEEAE地球椭球地球椭球地球椭球是选择的旋转椭球地球椭球是选择的旋转椭球,旋转椭球的形状和大小常用子午椭圆的旋转椭球的形状和大小常用子午椭圆的五个基本几何参数五个基本几何参数(或称元素或称元素):地球椭球的五个基本几何参数：地球椭球的五个基本几何参数： 椭圆的长半轴椭圆的长

7、半轴 椭圆的短半轴椭圆的短半轴b b 椭圆的扁率椭圆的扁率 椭圆的第一偏心率椭圆的第一偏心率 椭圆的第二偏心率椭圆的第二偏心率 其中其中a a、b b 称为长度元素；扁率称为长度元素；扁率 反映了椭球体的扁平程度。偏反映了椭球体的扁平程度。偏心率心率 和和 是子午椭圆的焦点离开中心的距离与椭圆半径之比，是子午椭圆的焦点离开中心的距离与椭圆半径之比， 它们也反映椭球体的扁平程度，偏心率愈大，椭球愈扁。它们也反映椭球体的扁平程度，偏心率愈大，椭球愈扁。二、通常用二、通常用a ,表示表示椭球的形状和大小。球的形状和大小。我国建立我国建立19541954年北京坐标系应用的是克拉索夫斯基椭球；建立年北京

8、坐标系应用的是克拉索夫斯基椭球；建立19801980年国家年国家大地坐标系应用的是大地坐标系应用的是19751975年国际椭球；而全球定位系统年国际椭球；而全球定位系统(GPS)(GPS)应用的是应用的是WGS-84WGS-84系椭球参数。系椭球参数。 几种常见的椭球体参数值几种常见的椭球体参数值克拉索夫斯基椭球体1975年国际椭球体WGS-84椭球体6378245.0000000000(m)6356863.0187730473(m)6399698.9017827110(m)1298.30.006 693 421 622 9660.006 738 525 414 6836378140.0000

9、00000（m） 6356755.288157528（m）6399596.6519880105（m）1298.2570.006 694 384 999 5880.006 739 501 819 4736378137.0000000000 (m)6356752.3142（m）6399593.6258（m）1/298.257 223 5630.006 694 379 901 30.006 739 496 742 27三、相互关系三、相互关系 1 1e e与与 ee的关系的关系2 2e e与与其它关系其它关系 四、引用符号及其相互关系四、引用符号及其相互关系1 1引用符号引用符号 2 2W W与与V

10、 V关系关系两个常用的辅助函数两个常用的辅助函数，W第一基本纬度函数，第一基本纬度函数，V第二基本纬度函数：第二基本纬度函数：C几何意义：极点处的几何曲率半径。几何意义：极点处的几何曲率半径。 3. 3. 地球椭球参数间的相互关系地球椭球参数间的相互关系其他元素之间的关系式如下：其他元素之间的关系式如下：式中，式中，W W 第一基本纬度函数，第一基本纬度函数，V V 第二基本纬度函数。第二基本纬度函数。 6.2 6.2 椭球面上的常用坐标系及其相互关系椭球面上的常用坐标系及其相互关系1 .1 .大地坐标系大地坐标系 p 点的子午面点的子午面NPS 与起始子午面与起始子午面 NGS 所构成的二所

11、构成的二面角面角L，叫做，叫做p 点的大地经度，由起始子午面起算，向东点的大地经度，由起始子午面起算，向东为正，叫东经（为正，叫东经（00180180），向西为负，叫西经（），向西为负，叫西经（00180180）。）。P 点的法线点的法线 与赤道面的夹角与赤道面的夹角B，叫做，叫做P P点点的大地纬度。由赤道面起算，向北为正，叫北纬（的大地纬度。由赤道面起算，向北为正，叫北纬（009090）；向南为负，叫南纬）；向南为负，叫南纬(0(090)90)。从地面点从地面点P沿沿椭球法线到椭球面的距离叫大地高。大地坐标系是用大椭球法线到椭球面的距离叫大地高。大地坐标系是用大地经度地经度L、大地纬度、大

12、地纬度B和大地高和大地高H表示地面点位的。如果表示地面点位的。如果点不在椭球面上，表示点的位置除点不在椭球面上，表示点的位置除B,L外，还要附加另一外，还要附加另一参数参数大地高大地高H，它同正常高及正高有如下关系，它同正常高及正高有如下关系 2. 2. 空间直角坐标系空间直角坐标系地心地心 坐标系，原点位于总地坐标系，原点位于总地球椭球球椭球(或参考椭球或参考椭球)质心；质心；Z轴与地球平均自转轴相重合，轴与地球平均自转轴相重合，亦即指向某一时刻的平均北极亦即指向某一时刻的平均北极点；点；X轴指向平均自转轴与平轴指向平均自转轴与平均格林尼治天文台所决定的子均格林尼治天文台所决定的子午面与赤道

13、面的交点午面与赤道面的交点G；Y轴轴与此平面垂直，且指向东为正。与此平面垂直，且指向东为正。 地心空间直角系与参心空间地心空间直角系与参心空间直角坐标系之分。直角坐标系之分。 3 . 3 . 子午面直角坐标系子午面直角坐标系 设点设点 p 的大地经度的大地经度L为，在过为，在过p点点的子午面上，以子午圈椭圆中心为原的子午面上，以子午圈椭圆中心为原点，建立点，建立x,y 平面直角坐标系。在该坐平面直角坐标系。在该坐标系中，标系中，p 点的位置用点的位置用L,x,y 表示。表示。 4 4 . . 大地极坐标系大地极坐标系 M 为椭球体面上任意一点，为椭球体面上任意一点，MN 为为过过M 点的子午线

14、，点的子午线，S 为连结为连结MPMP的大地线长，的大地线长，A 为大地线在为大地线在M 点的方位角。以点的方位角。以M 为极点，为极点，MN 为极轴，为极轴，S 为极半径，为极半径，A为极角，这为极角，这样就构成大地极坐标系。在该坐标系中样就构成大地极坐标系。在该坐标系中p 点的位置用点的位置用S,A 表示。表示。 椭球面上点的极坐标（椭球面上点的极坐标（S,A）与大地）与大地坐标坐标( (L,B）可以互相换算，这种换算叫）可以互相换算，这种换算叫做大地主题解算。做大地主题解算。 5、地心纬度坐标系、地心纬度坐标系椭球面上椭球面上P点的大地经度点的大地经度L，在此子午面上以椭圆中心，在此子午

15、面上以椭圆中心O为为原点建立地心纬度坐标系。连接原点建立地心纬度坐标系。连接OP，则，则 称为称为地心纬度，而地心纬度，而OP 称为称为P点向径，在此坐标系中，点点向径，在此坐标系中，点的位置为：的位置为：6、 归化纬度坐标系归化纬度坐标系 设椭球面上设椭球面上P P点的大地经度为点的大地经度为L L，在，在此子午面上以椭圆中心此子午面上以椭圆中心O O为圆心，以椭为圆心，以椭球长半径球长半径a a为半径作辅助圆，延长为半径作辅助圆，延长P P2 2P P与与辅助圆相交辅助圆相交P P1 1点，则点，则OPOP1 1与与x x轴夹角称为轴夹角称为P P点的归化纬度，用点的归化纬度，用u u表示

16、，在此归化纬表示，在此归化纬度坐标系中，度坐标系中，P P点位置用点位置用L L，u u 表示。表示。7.7. 各坐标系间的关系各坐标系间的关系 椭球面上的点位可在各种坐标系中表示，由于所用坐标系椭球面上的点位可在各种坐标系中表示，由于所用坐标系不同，表现出来的坐标值也不同。不同，表现出来的坐标值也不同。 1 1）子午面直角坐标系同大地坐标系的关系）子午面直角坐标系同大地坐标系的关系 过过p p 点作法线点作法线 ，它与，它与x 轴之夹角为轴之夹角为B，过点，过点P P作子午圈的切线作子午圈的切线TP，它与它与x 轴的夹角为（轴的夹角为（90+90+B）。子午面直角坐标）。子午面直角坐标x,y

17、 同大地纬度同大地纬度B 的关系式的关系式如下：如下： 以下：推导子午平面坐标系同大地坐标系的关系以下：推导子午平面坐标系同大地坐标系的关系此两式指明了法线Pn在赤道两侧的长度。令令: pn=N（卯酉圈曲率半径）（卯酉圈曲率半径）由图看出：由图看出：与前式与前式 相比相比得：得：于是有于是有由图看出由图看出上两式相比得：上两式相比得：显然有：显然有：上两式即为子午面直角坐标上两式即为子午面直角坐标x，y同大地纬度同大地纬度B的关系式。的关系式。2 2）子午平面直角坐标系同归化纬度坐标系的关系）子午平面直角坐标系同归化纬度坐标系的关系P(xP(x，y)y)，OPOP1 1=a=a由图可知：由图可

18、知：x=OPx=OP2 2=OP=OP1 1coscos=acos=acos代入公式：代入公式：得：得：y=bsiny=bsin3 3）空间直角坐标系同子午面直角坐标系的关系）空间直角坐标系同子午面直角坐标系的关系 空间直角坐标系中的空间直角坐标系中的P P2 2P P相当于子午平面直角坐标系中的相当于子午平面直角坐标系中的y y，前者，前者的的OPOP2 2相当于后者的相当于后者的x x，并且二者的经度，并且二者的经度L L相同。相同。OPOP2 2=x =x 二面角二面角P P2 2OPOP1 1=L=L4 4）空间直角坐标系同大地坐标系的关系）空间直角坐标系同大地坐标系的关系 同一地面点

19、在地球空间直角坐标系中的坐标和在大地坐标系中的同一地面点在地球空间直角坐标系中的坐标和在大地坐标系中的坐标可用如下两组公式转换坐标可用如下两组公式转换 式中：式中：e子午椭圆第一偏心率，可由长短半径按式子午椭圆第一偏心率，可由长短半径按式 算得。算得。N法线长度，可由式法线长度，可由式 算得。算得。以下推导空间直角坐标系同大地坐标系的关系以下推导空间直角坐标系同大地坐标系的关系推导空间直角坐标系同大地坐标系的关系推导空间直角坐标系同大地坐标系的关系 由由大地坐标大地坐标计算计算空间直角空间直角坐标：坐标：代入代入如果如果P点在椭球面上：点在椭球面上：（1）子午面直角坐标同大地坐标关系，子午面直

20、角坐标同大地坐标关系， （2）空间直角坐标同子午面直角坐标关系）空间直角坐标同子午面直角坐标关系YZX如果如果P P点不在椭球面上，设大地高为点不在椭球面上，设大地高为H H，P P点在椭球面上投影为点在椭球面上投影为P P0 0由空间直角坐标计算大地坐标由空间直角坐标计算大地坐标大地经度大地经度大地纬度大地纬度大地高大地高l由空间直角坐标计算相应大地坐标由空间直角坐标计算相应大地坐标大地纬度大地纬度B、归化纬度、归化纬度u、 地心纬度地心纬度之间的关系之间的关系 B和和u之间的关系之间的关系 归化纬度坐标系同子午平面坐标系的关系：归化纬度坐标系同子午平面坐标系的关系：子午平面坐标系同子午平面

21、坐标系同大地坐标系的关系：大地坐标系的关系：nU、之间的关系之间的关系地心纬度地心纬度同子午平面坐标系关系同子午平面坐标系关系归化纬度归化纬度U同子午平面坐标系：同子午平面坐标系：n 、之间的关系之间的关系n 大地纬度、地心纬度、归化纬度之间的差异很小，经过计算，当大地纬度、地心纬度、归化纬度之间的差异很小，经过计算，当B=45时时8 、站心、站心地平地平坐标系坐标系大地站心地平坐标系是以大地站心地平坐标系是以测站测站法线和子法线和子午线方向为依据的坐标系。在描述两点午线方向为依据的坐标系。在描述两点间关系时，为方便直观，一般采用间关系时，为方便直观，一般采用站心站心坐标系坐标系。根据。根据坐

22、标坐标表示方法，又可分为表示方法，又可分为站心站心左手地平直角坐标系左手地平直角坐标系和站心和站心地平极地平极坐标系坐标系，见图，见图1）以）以测站测站P为原点，测站上为原点，测站上P点的垂线点的垂线(法法线线)为为Z轴（轴（U轴），指向天顶为正；轴），指向天顶为正；子午子午线线方向为方向为x轴（轴（N轴），指向参考短半轴，轴），指向参考短半轴，向北为正；向北为正；y轴（轴（E轴）与轴）与x，z轴平面垂轴平面垂直（向东为正）构成左手坐标系就称为直（向东为正）构成左手坐标系就称为垂线垂线(或法线或法线)站心直角坐标系。或称为站站心直角坐标系。或称为站心天文坐标系。心天文坐标系。在站心直角坐标系下

23、点在站心直角坐标系下点的的X（N） 、Y（E）、）、Z（U）坐标为该）坐标为该点在三个坐标轴上的投影长度。点在三个坐标轴上的投影长度。 v站心极坐标系站心极坐标系：以：以P点为中心的站心极坐标系定义如下：点为中心的站心极坐标系定义如下： ( 1 ) X(N）PY（E） 平面为平面为基准面基准面； ( 2 ）极点极点位于位于P； ( 3 ）极轴极轴为为X（N） 轴。轴。Q点在站心极坐标系下的坐标用点在站心极坐标系下的坐标用极距极距（ d 为为由极点到该点的距离）、由极点到该点的距离）、方位角方位角（ 为在为在基准面上，以极点为顶点，由基准面上，以极点为顶点，由极轴顺时极轴顺时针针方向方向量测量测

24、PQ在基准面上在基准面上投影投影的角度）、的角度）、高度角高度角（EL为极点与该点连线与基准面间为极点与该点连线与基准面间的夹角）表示。的夹角）表示。v空间任意一点空间任意一点Q相对于相对于P的位的位置可通过地面观测值置可通过地面观测值斜距斜距d、天文方位角天文方位角和和天顶距天顶距z z来确定来确定进行进行 GPS 观测时，常常采用观测时，常常采用 GPS 卫星相对于测站的卫星相对于测站的高度角高度角、方位方位角角来描述其在空间中的方位。实际上，如果再加上测站到卫星的来描述其在空间中的方位。实际上，如果再加上测站到卫星的距离距离，就是一个完整的站心坐标。，就是一个完整的站心坐标。 类别坐标系

25、椭球面上点的坐标球心坐标系空间直角坐标系 子午面直角坐标系X, Y , ZL, X, Y站心坐标系站心赤道直角坐标系站心赤道极坐标系站心地平直角坐标系站心地平极坐标系x, y, zD，L，x, y, zS, A ,Z曲面曲线坐标系大地坐标系 天文坐标系 归心纬度坐标系球心纬度坐标系大地极坐标系一般曲线坐标系L ，B，L，uL ,S ，Au , v7、大地测量常用坐标系比较、大地测量常用坐标系比较6.3 6.3 椭球面上几种曲率半径椭球面上几种曲率半径（椭球数学性质）（椭球数学性质）过椭球面上任意一点可作一条垂直于椭球面的法线，包含这条法线的平面叫做过椭球面上任意一点可作一条垂直于椭球面的法线，

26、包含这条法线的平面叫做法截面法截面，法截面同椭球面交线叫法截面同椭球面交线叫法截线法截线（或法截弧）。包含椭球面一点的法线，可作无数多个法截（或法截弧）。包含椭球面一点的法线，可作无数多个法截面，相应有无数多个法截线。面，相应有无数多个法截线。椭球面上的法截线曲率半径不同于球面上的法截线曲率半径都等于圆球的半径，而是不同椭球面上的法截线曲率半径不同于球面上的法截线曲率半径都等于圆球的半径，而是不同方向的法截弧的曲率半径都不相同。方向的法截弧的曲率半径都不相同。 1. 1. 子午圈曲率半径子午圈曲率半径子午椭圆的一部分上取一微分弧长子午椭圆的一部分上取一微分弧长DKdS，相应地有坐标增量，相应地

27、有坐标增量dx，点，点n是微分弧是微分弧dS的的曲曲率中心率中心，于是线段，于是线段Dn及及Kn便是子午圈便是子午圈曲率半径曲率半径。 由任意平面曲线的曲率半径的定义公式，易知由任意平面曲线的曲率半径的定义公式，易知任意平面曲线的曲率半径的定义公式为：任意平面曲线的曲率半径的定义公式为：从微分三角形从微分三角形DKE可求得：可求得：联立上两式得：联立上两式得：子午面直角坐标同大地坐标关系：子午面直角坐标同大地坐标关系：x坐标对大地纬度坐标对大地纬度B取导数：取导数：又由第一纬度函数得：又由第一纬度函数得：则有：则有：子午圈曲率半径公式为：子午圈曲率半径公式为：或或M与纬度与纬度B有关它随有关它

28、随B的增大而增大。的增大而增大。变化规律如下表所示：变化规律如下表所示：表中极曲率半径表中极曲率半径c的的几何意义几何意义是椭球体在极点处的曲率半径。是椭球体在极点处的曲率半径。说 明 在赤道上，小于赤道半径此间随纬度的增大而增大在极点上, 等于极点曲率半径 2.2.卯酉圈曲率半径卯酉圈曲率半径过椭球面上一点的法线，可作无限个过椭球面上一点的法线，可作无限个法截面，其中一个与该点法截面，其中一个与该点子午面相垂直子午面相垂直的的法截面同椭球面相截形成的闭合的圈法截面同椭球面相截形成的闭合的圈称为称为卯酉圈卯酉圈。在图中。在图中PEE 即为过即为过点的点的卯酉圈。卯酉圈的曲率半径用卯酉圈。卯酉圈

29、的曲率半径用表示。表示。为了推导为了推导的表达计算式，过的表达计算式，过点作以点作以O为中心的为中心的平行圈平行圈的的切线切线，该切线该切线位于位于垂直于子午面的垂直于子午面的平行圈平面平行圈平面内内。因卯酉圈也垂直于子午面，故。因卯酉圈也垂直于子午面，故也是卯酉圈在也是卯酉圈在点处的切线。即点处的切线。即垂垂直于直于Pn 。所以。所以是平行圈是平行圈及及卯酉圈卯酉圈PEE在在点处的点处的公切线公切线。 麦尼尔定理麦尼尔定理: 假设通过曲面上一点引假设通过曲面上一点引两条两条截弧，一为截弧，一为法截弧法截弧，一为，一为斜截弧斜截弧，且在该点上这两条，且在该点上这两条截弧具有截弧具有公共切线公共

30、切线，这时，这时斜截弧斜截弧在该点处的曲率半径等于在该点处的曲率半径等于法截弧法截弧的曲率半径乘以两截弧平的曲率半径乘以两截弧平面面夹角的余弦夹角的余弦。如图根据直角三角形有平行圈半径如图根据直角三角形有平行圈半径r：根据子午面直角坐标同大地坐标关系：根据子午面直角坐标同大地坐标关系：卯酉圈曲率半径：卯酉圈曲率半径：根据（根据（4-8）式得：）式得：由图可看出：由图可看出：也就是说也就是说卯酉圈曲率半径恰好等于法线介于椭球面和短轴之间的长度，亦即卯酉圈的曲率中心位于卯酉圈曲率半径恰好等于法线介于椭球面和短轴之间的长度，亦即卯酉圈的曲率中心位于椭球的旋转轴上。椭球的旋转轴上。卯酉圈曲率半径的特点

31、卯酉圈曲率半径的特点: :由公式由公式N=r/cosBN=r/cosB得：得： N与与纬纬度度B有有关关它它随随B的的增增大大而而增增大大。卯卯酉酉圈圈曲曲率率半半径径N与与经经度度L无关，即同一平行圈上所有点的卯酉圈曲率半径无关，即同一平行圈上所有点的卯酉圈曲率半径N相同。相同。在极点子午圈曲率半径在极点子午圈曲率半径和卯酉圈曲率半径一致和卯酉圈曲率半径一致子子午午圈圈曲曲率率半半径径M及及卯卯酉酉圈圈曲曲率率半半径径N是是两两个个互互相相垂垂直直的的法法截截弧弧的的曲率半径，统称为曲率半径，统称为主曲率主曲率半径。半径。常引用的两个符号：常引用的两个符号：（1）=/M （2）=/N主曲率半

32、径的计算主曲率半径的计算 以以上上讨讨论论的的子子午午圈圈曲曲率率半半径径M M及及卯卯酉酉圈圈曲曲率率半半径径N N，是是两两个个互互相相垂直的法截弧的曲率半径，这在微分几何中统称为主曲率半径。垂直的法截弧的曲率半径，这在微分几何中统称为主曲率半径。（1 1）主曲率半径是第一纬度函数的表达式）主曲率半径是第一纬度函数的表达式 椭球面上几种曲率半径椭球面上几种曲率半径椭球面上几种曲率半径椭球面上几种曲率半径椭球面上几种曲率半径椭球面上几种曲率半径（2）主曲率半径是第二纬度函数的表达式）主曲率半径是第二纬度函数的表达式3.3.任意法截弧的曲率半径任意法截弧的曲率半径子午法截弧是南北方向，其方位子

33、午法截弧是南北方向，其方位角为角为0或或180。卯酉法截弧是东西。卯酉法截弧是东西方向，其方位角为方向，其方位角为90或或270。现在。现在来讨论方位角为来讨论方位角为的任意法截弧的的任意法截弧的曲率半径曲率半径RA的计算公式。的计算公式。 由欧拉公式知，任意方向方位由欧拉公式知，任意方向方位角为角为的法截弧的曲率半径的计算的法截弧的曲率半径的计算公式如下：公式如下：以下是公式的推导：以下是公式的推导： 任意法截弧的曲率半径任意法截弧的曲率半径由欧拉公式知：由欧拉公式知：在实际应用中，用平均曲率半径在实际应用中，用平均曲率半径R代替代替N,得：得： 椭球面上几种曲率半径椭球面上几种曲率半径 任

34、意法截弧的曲率半径的变化规律任意法截弧的曲率半径的变化规律: : 不仅与点的纬度不仅与点的纬度B有关，而且还与过该点的法截弧的方位有关，而且还与过该点的法截弧的方位角角A有关。有关。 当当或或180180时，时，R RA A值为最小，公式变为计算子午圈曲值为最小，公式变为计算子午圈曲率半径的，即率半径的，即； 当当A A90或或270270时，时，R RA A值最大，公式变为计算卯酉圈曲率半值最大，公式变为计算卯酉圈曲率半径，即径，即。主曲率半径。主曲率半径M及及N分别是分别是的极小值和极大的极小值和极大值值。 当当A由由090时，时，之值由之值由，当，当A由由90180时，时，值由值由N，可

35、见，可见值的变化是以值的变化是以90为周期且与子午圈和为周期且与子午圈和卯酉圈对称的。卯酉圈对称的。 椭球面上几种曲率半径椭球面上几种曲率半径 椭球面上任意一点的平均曲率半径椭球面上任意一点的平均曲率半径 R R 等于该点主曲率半径等于该点主曲率半径（子午圈曲率半径（子午圈曲率半径M M和卯酉圈曲率半径和卯酉圈曲率半径N N）的几何平均值。）的几何平均值。 4.平均曲率半径平均曲率半径R是指经过曲面任意一点是指经过曲面任意一点所有可能方向所有可能方向上的法截上的法截线半径线半径RA的算术平均值。的算术平均值。平均曲率半径平均曲率半径在实际际工程应用中，根据测量工作的精度要求，在实际际工程应用中

36、，根据测量工作的精度要求，在在一定范围内，把一定范围内，把椭球面椭球面当成具有当成具有适当半径的球面适当半径的球面。取过地面某点的。取过地面某点的所有方向所有方向RA的平均值来作为这个球体的半径是合适的。的平均值来作为这个球体的半径是合适的。这个球面的这个球面的半径半径平均曲率半径平均曲率半径R： M，N，R的关系的关系 一般情况下一般情况下 NRM在极点上都等于极曲率半径在极点上都等于极曲率半径椭球面上几种曲率半径椭球面上几种曲率半径对于克拉索夫斯基椭球对于克拉索夫斯基椭球椭球面上几种曲率半径椭球面上几种曲率半径从表看出：同一纬度时，从表看出：同一纬度时， NRM；不同纬度时，随着纬度不同纬

37、度时，随着纬度B的增大，所有的曲率半径都是增大的，且在极点上都等于极曲率的增大，所有的曲率半径都是增大的，且在极点上都等于极曲率半径半径 4.4 椭球面上的弧长计算椭球面上的弧长计算1. 子午线弧长计算公式子午线弧长计算公式子午椭圆的一半，它的端点与极点相重合；而赤道又把子午线分成子午椭圆的一半，它的端点与极点相重合；而赤道又把子午线分成对称的两部分。对称的两部分。因此，只需计算从赤道开始到已知纬度因此，只需计算从赤道开始到已知纬度B间的子午间的子午线弧长的计算公式就可以了。线弧长的计算公式就可以了。如下图所示，取子午线上某微分弧如下图所示，取子午线上某微分弧PP=dx，令，令点纬度为点纬度为

38、，P点点纬度为纬度为B+dB，点的子午圈曲率半径为点的子午圈曲率半径为，于是有：，于是有：从赤道开始到任意纬度从赤道开始到任意纬度的平行圈之间的弧长可由下列积分求出：的平行圈之间的弧长可由下列积分求出： 式中式中M可用下式表达（第一纬度函数表达）：可用下式表达（第一纬度函数表达）：其中：其中：经积分，进行整理后得经积分，进行整理后得子午线弧长计算式子午线弧长计算式（1）：）：为求子午线上为求子午线上两个纬度两个纬度B1及及B2间的弧长，只需按上式分别算出相应间的弧长，只需按上式分别算出相应的的X1及及X2，而后，而后取差取差：，该即为：，该即为所求的弧长所求的弧长。将将克拉索夫斯基椭球克拉索夫

39、斯基椭球元素代入元素代入, ,得得将将1975年国际椭球年国际椭球元素代入元素代入,得得若将（若将（4-70）公式中的幂函数展开为正弦）公式中的幂函数展开为正弦n次幂和余弦乘积的形式，次幂和余弦乘积的形式，进行整理后得进行整理后得子午线弧长计算式子午线弧长计算式（2）（）（此公式适合计算机计算）此公式适合计算机计算）：代入克拉索夫斯基椭球参数得代入克拉索夫斯基椭球参数得子午线弧长计算公式：子午线弧长计算公式：代入代入1975年国际椭球参数得年国际椭球参数得子午线弧长计算公式：子午线弧长计算公式：如果主曲率半径用第二纬度函数的表达式，则可得如果主曲率半径用第二纬度函数的表达式，则可得子午线弧长计

40、算子午线弧长计算公式（公式（3）：）： 或或如如果果以以B B9090代代入入，则则得得子子午午椭椭圆圆在在一一个个象象限限内内的的弧弧长长约约为为10 10 002 002 137m137m。旋旋转转椭椭球球的的子子午午圈圈的的整整个个弧弧长长约约为为40 40 008 008 549.995m549.995m。即即一一象象限限子子午午线线弧弧长长约约为为10 000km10 000km，地球周长约为，地球周长约为40 000km40 000km。为求子午线上两个纬度为求子午线上两个纬度B及及间的弧长，只需按间的弧长，只需按(4-101)式分别算出相应的式分别算出相应的X及及X，而后取差：，

41、而后取差：，该，该即为所求的弧长。即为所求的弧长。当弧长甚短当弧长甚短( (例如例如X40kmX40km，计算精度到，计算精度到0.001m)0.001m)，可视子午弧为，可视子午弧为圆弧圆弧，而圆的半，而圆的半径为该圆弧上径为该圆弧上平均纬度点平均纬度点的的子午圈的曲率半径子午圈的曲率半径M M X=MX=Mm m. .（B B2 2-B-B1 1)/)/=B/B/（1 1）m m 2 2、由子午弧长求大地纬度、由子午弧长求大地纬度底点纬度计算底点纬度计算在高斯投影反算时，已知高斯平面直角坐标（在高斯投影反算时，已知高斯平面直角坐标（X，Y）反求其大地坐）反求其大地坐标（标（L，B）。首先）

42、。首先X当作中央子午线上弧长，反求其纬度，此时当作中央子午线上弧长，反求其纬度，此时的纬度称为的纬度称为底点纬度底点纬度或或垂直纬度垂直纬度。计算底点纬度的公式可以采用。计算底点纬度的公式可以采用迭代解法和直接解法。迭代解法和直接解法。（1 1）迭代解法迭代解法: : 重复迭代直至重复迭代直至 为止。为止。a0为子午圈曲率半径展开的首项为子午圈曲率半径展开的首项系数。系数。例如：例如：在在克拉索夫斯基椭球克拉索夫斯基椭球上计算时，迭代开始时设上计算时，迭代开始时设以后每次迭代按下式计算：以后每次迭代按下式计算：重复迭代直至重复迭代直至 为止。为止。在在1975年国际椭球年国际椭球上计算时，也有

43、类似公式。上计算时，也有类似公式。（2）直接解法）直接解法1975年国际椭球年国际椭球：克拉索夫斯基椭球克拉索夫斯基椭球：3、平行圈弧长公式、平行圈弧长公式旋转椭球体的平行圈是一个圆，其短半轴旋转椭球体的平行圈是一个圆，其短半轴就是圆上任意一点的子午面直角坐标。就是圆上任意一点的子午面直角坐标。如果平行圈上有两点，它们的经度差如果平行圈上有两点，它们的经度差平行圈弧长公式：平行圈弧长公式：平行圈弧长随纬度变化的微分公式可近似地写为平行圈弧长随纬度变化的微分公式可近似地写为由于由于 于是于是式中式中 4、子午线弧长和平行圈弧长变化的比较、子午线弧长和平行圈弧长变化的比较从表中可以看出，从表中可以

44、看出，单位纬差单位纬差的子午线弧长随纬度升高而缓慢地增长；的子午线弧长随纬度升高而缓慢地增长；而而单位经差单位经差的平行圈弧长则随纬度升高而急剧缩短。的平行圈弧长则随纬度升高而急剧缩短。同时还可以看出，同时还可以看出，1的子午弧长约为的子午弧长约为110km，1约为约为1.8km，1约约为为30m。而平行圈弧长，仅在赤道附近才与子午弧长大体相当，随纬度的升而平行圈弧长，仅在赤道附近才与子午弧长大体相当，随纬度的升高它们的差值愈来愈大。高它们的差值愈来愈大。5.椭球面梯形图幅面积的计算椭球面梯形图幅面积的计算4.5 大地线大地线 两点间的最短距离两点间的最短距离，在平面上是两点间的直线，在球面上

45、是，在平面上是两点间的直线，在球面上是两点间的大圆弧，那么两点间的大圆弧，那么在椭球面在椭球面上又是怎样的一条线呢上又是怎样的一条线呢? ? 它应是它应是大地线大地线。一、相对法截线一、相对法截线 在椭球面上取在椭球面上取不在同一不在同一子午子午面和平行圈上面和平行圈上的点的点A和和B；过；过A、B两点的法两点的法线分别与短轴线分别与短轴PP1相交于相交于N1和和N2。通过通过AN1含有含有B的的法面法面AN1B与过与过BN2含有含有A的的法面法面BN2A不可能不可能重合而重合而只能只能相交，其相交，其交线交线就是就是A、B间所连的直线。两个法面所截得的间所连的直线。两个法面所截得的法截线法截

46、线AaB和和BbA也也不重合不重合而形成一狭小的而形成一狭小的二面角二面角。这两条法截线称为。这两条法截线称为相对法相对法截线截线。现在。现在证明证明na和和nb将不重合将不重合。 设在椭球上任取不在同一子午面和平设在椭球上任取不在同一子午面和平行圈上的两点行圈上的两点A和和B，纬度分别为，纬度分别为B1和和B2，且二者不等，过且二者不等，过A、B两点分别做法线与短两点分别做法线与短轴交于轴交于na和和nb两点，与赤道面分别交于两点，与赤道面分别交于Q1和和Q2。如图如图又又则则正、反法截线正、反法截线： A点照准点照准B，照准面同椭球面的交，照准面同椭球面的交线线AaB，叫做，叫做A点的点的

47、正法截线正法截线，或，或者者B点的点的反法截线；同样，反法截线；同样，B点照准点照准A，照准面同椭球面的交线照准面同椭球面的交线BbA，叫做叫做B点的点的正法截线正法截线，或者，或者A点的点的反反法截线。法截线。 把把AaB和和BbA叫做叫做A、B两点的两点的相对法截线相对法截线。由公式由公式 知，当知，当B2B1时，卯酉圈曲率半径时，卯酉圈曲率半径N随纬度随纬度B的增的增大而增大，大而增大，OnbOna。这就是说：。这就是说：某点的纬度愈高，其法线与短轴的某点的纬度愈高，其法线与短轴的交点愈低，交点愈低，AB方向在不同的象限时，方向在不同的象限时，正反法截线关系如图：正反法截线关系如图：由纬

48、度由纬度B低低的点照准纬度的点照准纬度高高的点，法截线的点，法截线南南偏；偏；由纬度由纬度B高高的点照准纬度的点照准纬度低低的点，法截线的点，法截线北北偏；偏；在在北北半球，如半球，如A A点位于点位于B B点以点以南南，则，则A A点的正法点的正法截线截线AaBAaB在反法截线在反法截线BbABbA的的南南面，如上图。面，如上图。当当A A、B B两点在同一子午两点在同一子午圈或同一平行圈上时，相对法截线是重合的，夹角为圈或同一平行圈上时，相对法截线是重合的，夹角为0 0。相对法截线相对法截线通常是不重合通常是不重合的，两者所夹的小角的，两者所夹的小角 有下列数值：有下列数值： 当当 S=1

49、5kmS=15km时，时，=0.001=0.001 S=20km S=20km时，=0.002=0.002 S=30km S=30km时，=0.007=0.007 S=50km S=50km时，=0.01=0.01由上可知由上可知: : 相对法截线所夹的角是很小很小的。当相对法截线所夹的角是很小很小的。当S=50kmS=50km时，时，B Bmm=45=45，A=45A=45时，两法截线分开的最大距离为时，两法截线分开的最大距离为0.0008m0.0008m。从上面从上面 的数值看，当距离不超过的数值看，当距离不超过3030公里时，可以不考虑公里时，可以不考虑 所引起所引起的问题，而认为相对法

50、截线是重合的。的问题，而认为相对法截线是重合的。当两点间距离较长时，相对法截线不重合会带来如下的问题：当两点间距离较长时，相对法截线不重合会带来如下的问题： 如上图，在如上图，在A A、B B、C C三个点上，由两条三个点上，由两条正法截线正法截线表示的角度，表示的角度，并并不能不能构成一完整的三角形，这就造成几何图形的构成一完整的三角形，这就造成几何图形的破裂破裂。因此需要。因此需要在相对法截线间寻求一条合适的曲线，以代替相对法截线。经理在相对法截线间寻求一条合适的曲线，以代替相对法截线。经理论证明，这一合适的曲线就是介于相对法截线之间的大地线。论证明，这一合适的曲线就是介于相对法截线之间的

51、大地线。二、大地线的定义和性质二、大地线的定义和性质在椭球面上两点间最短的线是在椭球面上两点间最短的线是大地线大地线。在微分几何中，大地线（又称测地在微分几何中，大地线（又称测地线）另有这样的定义：线）另有这样的定义：“大地线上每点的密切面（无限接近的三个点构成的平面）都大地线上每点的密切面（无限接近的三个点构成的平面）都包含该点的曲面法线包含该点的曲面法线”，亦即，亦即“大地线上各点的主法线与该点的曲面法线重合大地线上各点的主法线与该点的曲面法线重合”。因。因曲面法线互不相交，故大地线是一条空间曲面曲线。曲面法线互不相交，故大地线是一条空间曲面曲线。假设椭球面没有任何磨擦力，在椭球面上两点间

52、紧拉一条细线，假设椭球面没有任何磨擦力，在椭球面上两点间紧拉一条细线，则此细线的位置就和大地线一致。则此细线的位置就和大地线一致。 大地线的形状如图所示，大地线是一条曲线，其长度可以用下大地线的形状如图所示，大地线是一条曲线，其长度可以用下式计算：式计算：大地线与法截线的长度之差甚微，实际上可以不大地线与法截线的长度之差甚微，实际上可以不必考虑两者之差。必考虑两者之差。大地经纬度大地经纬度决定了地面点在椭决定了地面点在椭球面上的绝对位置，球面上的绝对位置，大地方位角大地方位角则决定了椭球面则决定了椭球面上两点间大地线的方向，大地线和由它们所构成上两点间大地线的方向，大地线和由它们所构成的球面角

53、是组成椭球面上大地控制网的基本元素。的球面角是组成椭球面上大地控制网的基本元素。 大地线的性质大地线的性质: :大地线是介于相对法截线之间的一大地线是介于相对法截线之间的一“S” 形曲线。形曲线。两端两端与与正法截正法截线线的的夹角夹角为为。不在同一子午圈或同一平行圈上的两点的正反法不在同一子午圈或同一平行圈上的两点的正反法裁线是不重合的，它们之间的夹角裁线是不重合的，它们之间的夹角；大地线是两点间惟一最短；大地线是两点间惟一最短线，而且位于相对法截线之间，并靠近正法截线，它与正法截线线，而且位于相对法截线之间，并靠近正法截线，它与正法截线间的夹角间的夹角 在椭球面上进行测量计算时，应当以两点

54、间的大地线为依据。在在椭球面上进行测量计算时，应当以两点间的大地线为依据。在地面上测得的方向、距离等，应当归算成相应大地线的方向、距地面上测得的方向、距离等，应当归算成相应大地线的方向、距离。离。实际计算中：实际计算中：在一等三角测量中，在一等三角测量中，数值数值可达干可达干分之一二秒，可见在一等或相当于一等三角测量分之一二秒，可见在一等或相当于一等三角测量精度的工程三角测量中是不容忽略的。精度的工程三角测量中是不容忽略的。 大地线与法截线大地线与法截线长度之差长度之差只有百万分之一毫只有百万分之一毫米，所以在实际计算中，这种长度差异总是可忽米，所以在实际计算中，这种长度差异总是可忽略不计的。

55、略不计的。长度长度差异可忽略差异可忽略, ,方向方向差异需改化。差异需改化。大地线的微分方程和克莱劳方程大地线的微分方程和克莱劳方程 设设P P为大地线上任意一点，其经度为，纬度为，大地线方位角为大地线上任意一点，其经度为，纬度为，大地线方位角为。当大地线增加为。当大地线增加d d到到P P1 1点时，则点时，则上述各量相应变化上述各量相应变化dLdL，dBdB及及dAdA。 所谓所谓大地线微分方程大地线微分方程，即表示，即表示dLdL、dBdB和和dAdA与与dSdS的关系。的关系。 dSdS在子午圈上的分量在子午圈上的分量 dSdS在平行圈上的分量在平行圈上的分量大地线的微分方程大地线的微

56、分方程以上三式称为大地线的微分方程以上三式称为大地线的微分方程三角形三角形PP2P1是一微分直角三角形是一微分直角三角形大地线的微分方程大地线的微分方程推导大地线的克莱劳方程推导大地线的克莱劳方程此式就是克莱劳方程，也叫克莱劳定理。定理表明：此式就是克莱劳方程，也叫克莱劳定理。定理表明：在旋转椭球面在旋转椭球面上，大地线各点的平行圈半径与大地线在该点的大地方位角的正弦上，大地线各点的平行圈半径与大地线在该点的大地方位角的正弦的乘积等于常数。式中常数的乘积等于常数。式中常数C也叫大地线常数也叫大地线常数 。大地线的克莱劳方大地线的克莱劳方程：表明了大地线在椭球面上的走向。程：表明了大地线在椭球面

57、上的走向。两边积分，易得两边积分，易得当大地线穿越赤道时当大地线穿越赤道时当大地线达极小平行圈时当大地线达极小平行圈时由此可见，由此可见，某一某一大地线常数大地线常数等于椭球半径与该大地线穿越赤道时的等于椭球半径与该大地线穿越赤道时的大地方位角的正弦的乘积，或者等于该大地线上具有最大纬度的大地方位角的正弦的乘积，或者等于该大地线上具有最大纬度的那一点的平行圈半径。那一点的平行圈半径。由克莱劳方程可以写出由克莱劳方程可以写出此关系式可以检查纬度和方位角计算的正确性。此关系式可以检查纬度和方位角计算的正确性。克莱劳方程还有以下形式：克莱劳方程还有以下形式： 6.4 将地面观测值归算至椭球面将地面观

58、测值归算至椭球面1.概述概述参考椭球面是参考椭球面是测量计算测量计算的的基准面基准面。在野外的各种测量都是在地面上。在野外的各种测量都是在地面上进行，进行，观测的基准线观测的基准线不是各点相应的椭球面的法线，而是各点的不是各点相应的椭球面的法线，而是各点的垂垂线线，各点的垂线与法线存在着，各点的垂线与法线存在着垂线偏差垂线偏差。因此不能直接在地面上处。因此不能直接在地面上处理观测成果，而应将地面观测元素（包括方向和距离等）归算至椭理观测成果，而应将地面观测元素（包括方向和距离等）归算至椭球面。球面。1）归算的）归算的意义意义：归算是将归算是将地面元素地面元素转化为转化为椭球面椭球面上的桥梁。上

59、的桥梁。通过归算，为在椭球面的测量计算提供数据。通过归算，为在椭球面的测量计算提供数据。 2）归算的）归算的基本要求基本要求：以椭球面以椭球面法线法线为基准线。为基准线。 地面地面点点沿法线投影到椭球面。沿法线投影到椭球面。 椭球面椭球面两点连线两点连线用大地线。用大地线。 将地面观测元素加入适当的改正数化为椭球面上将地面观测元素加入适当的改正数化为椭球面上大地线大地线的相应元素。的相应元素。3）地面观测元素的地面观测元素的归算内容归算内容： 水平观测方向、观测天顶距归算、地面长度归算、水平观测方向、观测天顶距归算、地面长度归算、 天文经纬度天文经纬度和方位角归算等方面和方位角归算等方面 1.

60、将地面观测的将地面观测的水平方向水平方向归算至椭球面的内容：归算至椭球面的内容： 将水平方向归算至椭球面上，包括垂线偏差改正、标高差改正将水平方向归算至椭球面上，包括垂线偏差改正、标高差改正及截面差改正，习惯上称此三项改正为及截面差改正，习惯上称此三项改正为三差改正三差改正。 1) 垂线偏差改正垂线偏差改正u产生原因：产生原因：地面上所有水平方向的观测地面上所有水平方向的观测都是以都是以垂线垂线为根据的，而在椭球面上则为根据的，而在椭球面上则要求以该点的要求以该点的法线法线为依据。把以垂线为为依据。把以垂线为依据的地面观测的水平方向值归算到以依据的地面观测的水平方向值归算到以法线为依据的方向值

61、而应加的改正定义法线为依据的方向值而应加的改正定义为为垂线偏差垂线偏差改正，以改正，以u u表示。表示。如上图所示，以如上图所示，以测站测站为中心作出单位半径的辅助球，为中心作出单位半径的辅助球，是垂线偏是垂线偏差，它在子午圈和卯酉圈上的分量分别以差，它在子午圈和卯酉圈上的分量分别以、表示，表示，M是是地面观测地面观测目标目标m在球面上的投影。在球面上的投影。垂线偏差对水平方向的影响是垂线偏差对水平方向的影响是(R-R1)，垂线偏差改正的，垂线偏差改正的计算公式计算公式是：是：式中：式中：，为测站点上的垂线偏差在子午圈及卯酉圈上的分量，它为测站点上的垂线偏差在子午圈及卯酉圈上的分量，它们可在测

62、区的垂线偏差分量图中内插取得；们可在测区的垂线偏差分量图中内插取得；Am为测站点至照准点的为测站点至照准点的大地方位角；大地方位角；Z1为照准点的天顶距；为照准点的天顶距；1为照准点的垂直角。为照准点的垂直角。 结论：结论：垂线偏差改正，不仅与测垂线偏差改正，不仅与测站的站的垂线偏差垂线偏差有关，而且与观测有关，而且与观测方向的方向的方位角方位角和和垂直角垂直角有关。当有关。当法线与铅垂线一致，或者照准点法线与铅垂线一致，或者照准点在在zz1O面内，或者照准点在测站面内，或者照准点在测站水平面上时，垂线偏差改正为零。水平面上时，垂线偏差改正为零。u为为0的情况的情况：（铅垂线与法线一致）（铅垂

63、线与法线一致）（照准点在铅垂线与法线组成的平面内）（照准点在铅垂线与法线组成的平面内）（照准点在测站水平面内）（照准点在测站水平面内）u最大的情况：最大的情况： 即当观测方向与垂线偏差方向垂直时。即当观测方向与垂线偏差方向垂直时。垂线偏差改正垂线偏差改正适用范围适用范围：一、二等角测量一、二等角测量三、四等三角测量中，当三、四等三角测量中，当 和和较大时较大时2) 标高差改正标高差改正h h标高差改正又称由标高差改正又称由照准点高度照准点高度而引起的改正。不在而引起的改正。不在同一子午面或同一平行圈上的两点的法线是不共面同一子午面或同一平行圈上的两点的法线是不共面的。当进行水平方向观测时，如果

64、照准点高出椭球的。当进行水平方向观测时，如果照准点高出椭球面某一高度，则照准面就不能通过照准点的法线同面某一高度，则照准面就不能通过照准点的法线同椭球面的交点，由此引起的方向偏差的改正叫做标椭球面的交点，由此引起的方向偏差的改正叫做标高差改正，以高差改正，以 h h表示。表示。产生原因：产生原因：由于由于A、B两点的法线不在同一平面所两点的法线不在同一平面所产生（即照准点不在椭球面上）产生（即照准点不在椭球面上） 。如右图所示，如右图所示，A为测站点，如果为测站点，如果测站点测站点观测值观测值已加垂线偏差改正已加垂线偏差改正，则可认为垂线同法线一致。这，则可认为垂线同法线一致。这时测站点在椭球

65、面上或者高出椭球面某一高度，对时测站点在椭球面上或者高出椭球面某一高度，对水平方向是水平方向是没有影响没有影响的。这是因为测站点法线不变，的。这是因为测站点法线不变，则通过某一照准点只能有一个法截面。则通过某一照准点只能有一个法截面。设设照准点照准点高出椭球面的高程为高出椭球面的高程为H2，Ana和和Bnb分别为分别为A点及点及B点的法线，点的法线，B点法线与椭球面的交点为点法线与椭球面的交点为b。因。因为通常为通常Ana和和Bnb不在同一平面内，所以在不在同一平面内，所以在A点照准点照准B点得出的法截线是点得出的法截线是Ab而不是而不是Ab ，因，因而产生了而产生了Ab同同Ab方向的差异。按

66、归算的要求，地面各点都应沿自己法线方向投影到椭球方向的差异。按归算的要求，地面各点都应沿自己法线方向投影到椭球面上，即需要的是面上，即需要的是Ab方向值而不是方向值而不是Ab方向值，因此需加入标高差改正数方向值，因此需加入标高差改正数h，以便将，以便将Ab 方向改到方向改到Ab方向。方向。 标高差改正的标高差改正的计算公式计算公式：公式中：公式中：H2为照准点高出椭球面的高程，为照准点高出椭球面的高程，它由三部分组成：它由三部分组成：其中其中H常为照准点标石中心的正常高，常为照准点标石中心的正常高，为为高程异常，高程异常，为照准点的为照准点的觇标高觇标高， B2是照准点纬度，是照准点纬度，M2

67、是相应的子午圈曲率半径。是相应的子午圈曲率半径。A1为测站点至照准点的大地方位角。为测站点至照准点的大地方位角。标高差改正标高差改正主要与主要与照准点的高程有关。经过此项改正后，照准点的高程有关。经过此项改正后，便将地面观测的水平方向值归化为椭球面上相应的法截弧方向。便将地面观测的水平方向值归化为椭球面上相应的法截弧方向。 h为0的三种情况：的三种情况：H2=0 照准点照准点在在椭球面椭球面上上A1=0 ，90 ，180 ，270 照准点照准点在测站点的在测站点的子午圈子午圈或或平行圈平行圈上上B2= 90 照准点照准点在极点在极点上上适用范适用范围：一、二等角测量一、二等角测量三、四等三角测

68、量中，当海拔高于三、四等三角测量中，当海拔高于700m时时2）标高差改正）标高差改正 Correction for skew normals 3）截面差改正）截面差改正g在椭球面上，纬度不同的两点由于其法线不共面，所以在在椭球面上，纬度不同的两点由于其法线不共面，所以在对向观测对向观测时时相对法截弧不重合相对法截弧不重合，应当用两点间的，应当用两点间的大地线大地线代替相对法截弧。这代替相对法截弧。这样将样将法截弧法截弧方向化为方向化为大地线大地线方向应加的改正叫截面差改正，用方向应加的改正叫截面差改正，用g表表示。示。产生原因产生原因：法截线与大地线不一致。：法截线与大地线不一致。如图所示，如

69、图所示，AaB是是A至至B的法截弧，它在的法截弧，它在A点处的点处的大地方位角为大地方位角为A1，ASB 是是AB间的大地线，它在间的大地线，它在A点的大地方位角是点的大地方位角是A1，A1与与A1 之差之差g就是截就是截面差改正面差改正 。截面差改正的截面差改正的计算公式计算公式：式中式中S为为AB间大地线长度，间大地线长度， ，N1为测站为测站点纬度点纬度B1相对应的卯酉圈曲率半径。相对应的卯酉圈曲率半径。g为为0的情况的情况：A1=0、90、180、270照准点在测站点的子午圈或平行圈上照准点在测站点的子午圈或平行圈上适用范围适用范围：一等角测量一等角测量天文方位角归算为大地方位角按（天

70、文方位角归算为大地方位角按（3-170）（前面第三章已讲）（前面第三章已讲）天文天顶距归算为大地天顶距按（天文天顶距归算为大地天顶距按（3-173） 4、三差改正的计算、三差改正的计算现行作业一般规定，现行作业一般规定，一等一等三角测量应加三差改正，三角测量应加三差改正，二等二等三角测量三角测量应加垂线偏差改正和标高差改正，而不加截面差改正；应加垂线偏差改正和标高差改正，而不加截面差改正；三等和四三等和四等等三角测量可不加三差改正。但当三角测量可不加三差改正。但当 时或时或者者H2 000m时，则应分别考虑加垂线偏差改正和标高差改正。在时，则应分别考虑加垂线偏差改正和标高差改正。在特殊情况下，

71、应该根据测区的实际情况作具体分析，然后再做出特殊情况下，应该根据测区的实际情况作具体分析，然后再做出加还是不加改正的规定。如下表所示：加还是不加改正的规定。如下表所示：三差改正主要关系量是否要加改正一等二等三、四等垂线偏差加加酌情标高差截面差不加 将地面观测的长度归算至椭球面将地面观测的长度归算至椭球面 根据测边使用的仪器不同，地面长度的归算分根据测边使用的仪器不同，地面长度的归算分两种两种：一是：一是基线尺基线尺量距的归算，二是量距的归算，二是电磁波电磁波测距的归算。测距的归算。1 1 基线尺量距的归算基线尺量距的归算 将基线尺量取的长度加上测段倾斜改正后，可以认为它是基线将基线尺量取的长度

72、加上测段倾斜改正后，可以认为它是基线平均高程面平均高程面上的长度，以上的长度，以表示，现要把它归算至表示，现要把它归算至参考椭球面参考椭球面上上的大地线长度的大地线长度S。 1 1）垂线偏差对长度归算的影响）垂线偏差对长度归算的影响 2）高程对长度归算的影响高程对长度归算的影响 如果将上式展开级数，取至二次项，如果将上式展开级数，取至二次项，3 3）顾及以上两项，则顾及以上两项，则顾及以上两项，则顾及以上两项，则地面基线长度地面基线长度地面基线长度地面基线长度归算到椭球面上长度的公式归算到椭球面上长度的公式归算到椭球面上长度的公式归算到椭球面上长度的公式经过以上计算，便得到椭球面上的基线长度。

73、经过以上计算，便得到椭球面上的基线长度。经过以上计算，便得到椭球面上的基线长度。经过以上计算，便得到椭球面上的基线长度。 2. 电磁波测距边长归算椭球面电磁波测距边长归算椭球面电磁波测距仪测得的长度是连接地面两点间的电磁波测距仪测得的长度是连接地面两点间的直线斜距直线斜距，也应将它，也应将它归算到归算到参考椭球面参考椭球面上。上。 如图，大地点如图，大地点Q1和和Q2的大地高分别为的大地高分别为H1和和H2。其间用电磁波。其间用电磁波测距仪测得的斜距为测距仪测得的斜距为D，现要求大地点在椭球面上，现要求大地点在椭球面上沿法线沿法线的投影点的投影点Q1和和Q2间的间的大地线大地线的长度的长度S。

74、在工程测量中边长一般都是几公里，最长也不过十几公里，因此，在工程测量中边长一般都是几公里，最长也不过十几公里，因此，所求的所求的大地线的长度大地线的长度可以认为可以认为是是半径半径 相应的相应的圆弧圆弧长长。电磁波测距边长归算椭球面上的电磁波测距边长归算椭球面上的计算公式计算公式为：为：式中式中电磁波测距的归算公式推导：电磁波测距的归算公式推导： 将上式按反正弦函数展开级数，舍去五次项，得将上式按反正弦函数展开级数，舍去五次项，得进一步化简得：进一步化简得：下式为两点间的弦长：下式为两点间的弦长：电磁波测距边长归算的几何意义：电磁波测距边长归算的几何意义： （1）计算公式中右端第二项是由于控制

75、点之）计算公式中右端第二项是由于控制点之高差高差引起的引起的倾斜改正倾斜改正的主项，经过此项改正，的主项，经过此项改正，测线已变成测线已变成平距平距；（2）第三项是由平均测线）第三项是由平均测线高出高出参考椭球面而引起的参考椭球面而引起的投影改正投影改正，经此项改正后，测，经此项改正后，测线已变成线已变成弦线弦线；（3）第四项则是由弦长改化为）第四项则是由弦长改化为弧长弧长的改正项。的改正项。显然第一项即为经高差改正后的平距。显然第一项即为经高差改正后的平距。问题问题 算例见下表，用上述两个公式计算将电磁波测距边长归算至椭球面上。算例见下表，用上述两个公式计算将电磁波测距边长归算至椭球面上。已

76、知电磁波测距边长归算至椭球面上的计算公式还可用下式表达：电磁波测距边长归算至椭球面上的计算公式还可用下式表达： 4.7 大地测量主题解算4.7.1 大地主题解算的一般说明大地主题解算的一般说明 大地元素大地元素:大地经度大地经度L、大地纬度、大地纬度B、两点间、两点间的大地线长度的大地线长度S及其正反大地方位角及其正反大地方位角A12、A21。 大地主题解算大地主题解算：如果知道某些大地元素推：如果知道某些大地元素推求另一些大地元素，这样的计算问题就叫大地求另一些大地元素，这样的计算问题就叫大地主题解算，大地主题解算有正解和反解。主题解算，大地主题解算有正解和反解。大地主题正解：大地主题正解：

77、已知已知Pl点的大地坐标点的大地坐标(L1，B1)，P1至至P2的大地线长的大地线长S及其大地方及其大地方位角位角A12，计算，计算P2点的大地坐标点的大地坐标(L2，B2)和大地线和大地线S在在P2点的反方位角点的反方位角A21，这，这类问题叫做大地主题正解。类问题叫做大地主题正解。大地主题反解：大地主题反解： 如果已知如果已知P1和和P2点的大地坐标点的大地坐标(L1，B1)和和(L2，B2)，计算，计算P1至至P2的大地线长的大地线长S及其正、反方位角及其正、反方位角A12和和A21这类问题叫做大地主题反解。这类问题叫做大地主题反解。根据大地线的长短，主题解算分为根据大地线的长短，主题解

78、算分为: : 短距离短距离(400km)(400km)， 中距离中距离(1000km)(1000km)， 长距离长距离(1000km(1000km以上以上) )大地主题解算根据不同理论基础可分五类：大地主题解算根据不同理论基础可分五类：1 1以大地线在大地坐标系中的微分方程为基础，直接以大地线在大地坐标系中的微分方程为基础，直接在地球椭球面上进行积分运算。在地球椭球面上进行积分运算。2 2以白塞尔大地投影为基础。以白塞尔大地投影为基础。3 3利用地图投影理论解算大地问题。利用地图投影理论解算大地问题。4 4对大地线微分方程进行数值积分的解法。对大地线微分方程进行数值积分的解法。5 5依据大地线

79、外的其他线为基础。依据大地线外的其他线为基础。1.以大地线在大地坐标系中的微分方程为基础，直接在地球椭球面以大地线在大地坐标系中的微分方程为基础，直接在地球椭球面上进行积分运算。上进行积分运算。主要特点：解算精度与距离有关，距离越长，收敛越慢，因此只主要特点：解算精度与距离有关，距离越长，收敛越慢，因此只适用于较短的距离适用于较短的距离 典型解法：典型解法：高斯平均引数法高斯平均引数法 2.以白塞尔大地投影为基础以白塞尔大地投影为基础白塞尔大地主题解算的步骤：白塞尔大地主题解算的步骤：白塞尔大地主题解算的步骤：白塞尔大地主题解算的步骤： 1)1)按按椭椭球球面面上上的的已已知知值值计计算算球球

80、面面相相应应值值，即即实实现现椭椭球球面面向向球球面面的的过过渡；渡；2)2)在在球面球面上解算大地上解算大地问题问题；3)3)按按球球面面上上得得到到的的数数值值计计算算椭椭球球面面上上的的相相应应数数值值，即即实实现现从从圆圆球球向向椭椭球球的的过过渡。渡。典型解法：典型解法：白塞尔大地主题解算白塞尔大地主题解算 特点：特点：解算精度与距离长短无关，它既适用于短距离解算，也解算精度与距离长短无关，它既适用于短距离解算，也适用于长距离解算。可适应适用于长距离解算。可适应20 000km20 000km或更长的距离，这对于国际联或更长的距离，这对于国际联测，精密导航，远程导弹发射等都具有重要意

81、义。测，精密导航，远程导弹发射等都具有重要意义。3 3 利用地利用地图图投影理投影理论论解算大地解算大地问题问题如在地如在地图图投影中，采用投影中，采用椭椭球面球面对对球面的正形投影和等距离投影以及球面的正形投影和等距离投影以及椭椭球面球面对对平面的正形投影（如高斯投影），它平面的正形投影（如高斯投影），它们们都可以用于解算大都可以用于解算大地主地主题题。这类这类解法解法受距离的限制受距离的限制，只在某些特定情况下才比，只在某些特定情况下才比较较有利有利。4 对大地线微分方程进行数值积分的解法对大地线微分方程进行数值积分的解法这种解法直接进行这种解法直接进行数值积分数值积分计算以解决大地主题的

82、解算。计算以解决大地主题的解算。常用的数常用的数值积分值积分算法算法有高斯法，龙格有高斯法，龙格库塔法，牛顿法以及契巴雪夫法等。库塔法，牛顿法以及契巴雪夫法等。这种算法易于编写程序，这种算法易于编写程序，适用适用于任意长度距离。于任意长度距离。缺点缺点是随着距离是随着距离的增长，计算工作量大，且精度降低，而在近极地区，这种方法的增长，计算工作量大，且精度降低，而在近极地区，这种方法无能为力。无能为力。5 依据大地线外的其他线为基础依据大地线外的其他线为基础连接椭球面两点的媒介除连接椭球面两点的媒介除大地线大地线之外，当然还有其他一些意义的线，之外，当然还有其他一些意义的线，比如比如弦线弦线 、

83、法截线法截线等。利用等。利用弦线弦线解决大地主题解决大地主题实质实质是三维大地测是三维大地测量问题，由电磁波测距得到法截线弧长。量问题，由电磁波测距得到法截线弧长。4.7.2 勒让德级数式勒让德级数式在过已知点在过已知点P P1 1(L(L1 1，B B1 1) )且在该点处大地方位角为且在该点处大地方位角为A A1212的大地线的大地线S S上任意上任意一点一点P P2 2的大地坐标的大地坐标(L(L2 2，B B2 2) )及其方位角及其方位角A A2121必是大地线长度必是大地线长度S S的函数。的函数。 S0时，这些函数值等于时，这些函数值等于P1点的相应数值点的相应数值因此，可在已知

84、点因此，可在已知点P1点点(S0)上，按麦克劳林公式将上，按麦克劳林公式将Pl和和P2点的纬度点的纬度差、经度差及方位角之差展开为差、经度差及方位角之差展开为大地线长度大地线长度S的幂级数的幂级数。为了计算为了计算B、L、A的级数展开式，关键的级数展开式，关键问题是问题是推求推求各阶导数。各阶导数。 一阶导数：一阶导数：二阶导数：二阶导数： 大地测量主题解算三阶导数三阶导数 大地测量主题解算 引用符号：引用符号：顾及顾及V/c=1/N及第及第4、第、第5阶导数，则得阶导数，则得勒让德级数式勒让德级数式： 大地测量主题解算勒让德级数是大地主题解算的一组基本公式，但他仅适用于边长短于30km的情况

85、。边长长的话，级数收敛慢，且计算复杂。后来学者博尔茨、赫里斯托夫、史赖伯对级数系数进行了改化。高斯对勒让德级数也进行了改化，提出：首先首先把勒让德级数在把勒让德级数在 P P点展开改在点展开改在大地线长度中点大地线长度中点M M展开，使级数公式项数减少，收敛快，展开，使级数公式项数减少，收敛快，精度高；精度高；其次其次，考虑到求定中点，考虑到求定中点 M M 的复杂性，将的复杂性，将 M M 点用点用大地线两大地线两端点平均纬度及平均方位角端点平均纬度及平均方位角相对应的相对应的 m m 点来代替，并借助迭代计点来代替，并借助迭代计算便可顺利地实现大地主题正解。算便可顺利地实现大地主题正解。

86、4.7.3 高斯平均引数正算高斯平均引数正算高斯平均引数正算公式推导的基本思想：高斯平均引数正算公式推导的基本思想：首先首先把勒让德级数在把勒让德级数在P P1 1点点展开改在大地线长度中点展开改在大地线长度中点M M展开，以便级数公式项数减少，收敛展开，以便级数公式项数减少，收敛快，精度高；快，精度高；其次其次，考虑到求定中点，考虑到求定中点M M的复杂性，将的复杂性，将M M点用大地线点用大地线两端点平均纬度及平均方位角相对应的两端点平均纬度及平均方位角相对应的m m点来代替，点来代替，并借助迭代计算，便可顺利地实现大地主题正解。并借助迭代计算，便可顺利地实现大地主题正解。(1)建立级数展

87、开式建立级数展开式:两式相减得：两式相减得： 同理可得同理可得: (2)由于大地线由于大地线中点中点M处的纬度和大地方位角均为未知，不能直接用处的纬度和大地方位角均为未知，不能直接用来计算，为此用来计算，为此用P1和和P2点点平均平均纬度和平均方位角相对应的纬度和平均方位角相对应的m点代点代替替M点。点。 大地测量主题解算 将（将（4-202）（4-204）式中的）式中的BM,AM为依据的导数值为依据的导数值改化为改化为Bm、Am为依据的导数值：为依据的导数值：dB/dS是是B和和A的函数，则：的函数，则：将上式展开为以将上式展开为以Bm、Am为依据的级数：为依据的级数： 大地测量主题解算(3

88、)由大地线微分方程依次求偏导数由大地线微分方程依次求偏导数: 注意：注意： 从公式可知，欲求从公式可知，欲求，及及，必先有，必先有及及。但由于但由于2 2和和2121未知，故精确值尚不知，为此须用逐次未知，故精确值尚不知，为此须用逐次趋近的迭代方法进行公式的计算。趋近的迭代方法进行公式的计算。除此之外，此方法适合与除此之外，此方法适合与200公里以下的大地问题解算，公里以下的大地问题解算，其计算经纬度计算精度可达到其计算经纬度计算精度可达到0.0001, 方位角计算精度方位角计算精度可达到可达到0.001。 4.7.4 高斯平均引数反算公式高斯平均引数反算公式大地主题反算是已知两端点的经、纬度

89、大地主题反算是已知两端点的经、纬度L L1 1，B B1 1及及L L2 2，B B2 2，反求两点间，反求两点间的大地线长度的大地线长度S S及正、反大地方位角及正、反大地方位角A A1212和和A A2121。这时，由于经差这时，由于经差L L、纬差、纬差 B B及平均纬度及平均纬度B Bm m均为已知，故可依均为已知，故可依正算公式很容易地导出反算公式。正算公式很容易地导出反算公式。 高斯平均引数反算公式可以高斯平均引数反算公式可以依正算公式依正算公式导出导出: :上述两式的上述两式的主式主式为为: :将上式代入前两式，并按将上式代入前两式，并按L L和和B B集项得：集项得：已知：已知

90、：求得：求得：4.7.5 白塞尔大地主题解算方法白塞尔大地主题解算方法白塞尔法解算大地主题的基本思想白塞尔法解算大地主题的基本思想: : 以以辅助球面辅助球面为基础为基础, ,将椭球面三角形转换为辅助球面的相应将椭球面三角形转换为辅助球面的相应三角形三角形, ,由三角形对应元素关系由三角形对应元素关系, ,将将椭球面上的大地元素椭球面上的大地元素按照白塞按照白塞尔投影条件投影到尔投影条件投影到辅助球面辅助球面上，然后在上，然后在球面上球面上进行大地主题解算，进行大地主题解算，最后再将球面上的计算结果最后再将球面上的计算结果换算到椭球面换算到椭球面上。上。 这种方法的这种方法的关键关键问题是找出

91、问题是找出椭球面椭球面上的大地元素与上的大地元素与球面球面上相应元素上相应元素之间的关系式之间的关系式, ,同时也要解决在球面上进行大地主题解算的方法。同时也要解决在球面上进行大地主题解算的方法。在球面上进行大地主题解算在球面上进行大地主题解算 球面球面上大地主题上大地主题正算正算: : 已知已知 求解求解 球面球面上大地主题上大地主题反算反算: : 已知已知 求解求解 1、在球面上进行大地主题解算、在球面上进行大地主题解算 极球面极球面三角元素间的相互关系三角元素间的相互关系 球面球面上大地主题上大地主题正解正解 球面球面上大地主题上大地主题反解反解方法方法 2 2 、椭球面和球面上坐标关系

92、式、椭球面和球面上坐标关系式在椭球面上与单位球面上的大地线微分方程为在椭球面上与单位球面上的大地线微分方程为:白塞尔提出如下三个投影条件：白塞尔提出如下三个投影条件：1.1.椭球面椭球面大地线大地线投影到球面上为投影到球面上为大圆弧大圆弧2.2.大地线和大圆弧上相应点的大地线和大圆弧上相应点的方位角相等方位角相等；3.3.球面球面上任意一点上任意一点纬度纬度等于等于椭球面椭球面上相应点的上相应点的归化纬度归化纬度。= = 由（由（4-240）式及第二投影条件（）式及第二投影条件（A=）及公式）及公式得：得：以上两式为以上两式为白塞尔微分方程白塞尔微分方程。表达了椭球面上大地线长度与球面。表达了

93、椭球面上大地线长度与球面上大圆弧长度，椭球面上经差与球面上经差的微分关系。对这组上大圆弧长度，椭球面上经差与球面上经差的微分关系。对这组方程进行积分就可以求得方程进行积分就可以求得S与与，L与与的关系式。的关系式。 3 、白塞尔微分方程的积分白塞尔微分方程的积分积分得到积分得到S与与的关系式：的关系式：利用此公式可以计算赤道至大圆弧任意一点利用此公式可以计算赤道至大圆弧任意一点Pi的大地线的长度。的大地线的长度。为计算两点为计算两点P1P2间的大地线长度，对这两点分别使用上式得：间的大地线长度，对这两点分别使用上式得：因为因为S=S2-S1，=2-1，将上两式相减得，将上两式相减得:适合于反算

94、适合于反算:适合于正算适合于正算: 迭代法迭代法: 直接法直接法:现在研究现在研究:将三角函数幂级数用倍角函数代替，合并同类项，积分。将三角函数幂级数用倍角函数代替，合并同类项，积分。截去截去4倍角项，其值小于倍角项，其值小于0.0001秒。秒。正算：正算：反算：反算：4 白塞尔法大地主题正算步骤 1.计算起点的归化纬度计算起点的归化纬度2.2.计算辅助函数值，解球面三角形可得计算辅助函数值，解球面三角形可得: :3. 3. 按公式计算相关系数按公式计算相关系数A,B,CA,B,C以及以及, 4.计算球面长度计算球面长度 迭代法迭代法: : 直接法直接法:5.计算经度差改正数计算经度差改正数6

95、.计算终点大地坐标及大地方位角计算终点大地坐标及大地方位角 5 白塞尔法大地主题反算步骤 1.1.辅助计算辅助计算2.2.用用逐逐次次趋趋近近法法同同时时计计算算起起点点大大地地方方位位角角、球球面面长长度度及及经差经差 ，第一次趋近时，取，第一次趋近时，取。计算下式计算下式,重复上述计算过程重复上述计算过程2.3. 计算大地线长度计算大地线长度S 4. 计算反方位角计算反方位角大地主题解算编程实验一、实验目的一、实验目的1、提高运用计算机语言编程开发能力。、提高运用计算机语言编程开发能力。2、 加深对大地主题解算计算公式及辅助参数的理解并掌握其计算步骤。加深对大地主题解算计算公式及辅助参数的

96、理解并掌握其计算步骤。3 、实现大地主题解算计算机的计算过程提高解算精度。、实现大地主题解算计算机的计算过程提高解算精度。二、实验工具二、实验工具运用自己熟悉的编程开发语言（运用自己熟悉的编程开发语言（C、VC、VB、FORTRAN、Matlab等）等）三、实验要求提交报告、实验总结及编写的源代码程序三、实验要求提交报告、实验总结及编写的源代码程序1、每人独立完成大地主题解算的计算程序编制，并调试运行并计算出正确结果；、每人独立完成大地主题解算的计算程序编制，并调试运行并计算出正确结果；2、此次编程实验应上交成果资料（每人一份）：、此次编程实验应上交成果资料（每人一份）：（1）编程思想、编程过

97、程中出现的问题及如何解决问题的；）编程思想、编程过程中出现的问题及如何解决问题的； （2）源程序编码；）源程序编码； （3）计算结果；）计算结果；四、注意四、注意1、计算所需的变量多。、计算所需的变量多。2、正反算函数的编写。、正反算函数的编写。3、函数的调用。、函数的调用。4、弧度及角度的转换。、弧度及角度的转换。5、输出的参数精度正确。、输出的参数精度正确。本章小结1.1.地球椭球的几何性质。几个重要概念：法截地球椭球的几何性质。几个重要概念：法截线、子午圈曲率半径、卯酉圈曲率半径、大地线、子午圈曲率半径、卯酉圈曲率半径、大地线、相对法截弧。线、相对法截弧。2.2.地面观测值归算到椭球面的

98、原理及过程：方地面观测值归算到椭球面的原理及过程：方向归算、长度归算。向归算、长度归算。3.3.大地测量主题解算方法。大地测量主题解算方法。习习 题题1 1试写出椭球的基本元素及其基本关系式。试写出椭球的基本元素及其基本关系式。 2 2在控制测量的椭球解算中，常引用下列符号：在控制测量的椭球解算中，常引用下列符号： 、 、 、 ，3 3我国解放后主要采用哪两种参考椭球我国解放后主要采用哪两种参考椭球? ?其主要参数是什么其主要参数是什么? ?4 4绘图并说明表示椭球面上点位的三种常用坐标系统。绘图并说明表示椭球面上点位的三种常用坐标系统。5 5在报纸上经常看到在报纸上经常看到X XX X号轮船

99、在东经号轮船在东经XXXXXX度，北纬度，北纬X XX X度遇险一度遇险一6 6写出参考椭球体的五个基本元素及相互间的关系。写出参考椭球体的五个基本元素及相互间的关系。7 7什么叫子午圈？什么叫平行圈？什么叫子午圈？什么叫平行圈？8 8参考椭球体扁率的变化，椭球体的形状发生怎样的变形？参考椭球体扁率的变化，椭球体的形状发生怎样的变形？9 9简要说明并图示地面某一点的大地高、正常高以及大地水准面简要说明并图示地面某一点的大地高、正常高以及大地水准面 差距的几何意义。差距的几何意义。1010什么是大地测量的基本坐标系？有何优点？什么是大地测量的基本坐标系？有何优点？1111画图表示地心纬度坐标系和

100、归化纬度坐标系，这两种坐标系画图表示地心纬度坐标系和归化纬度坐标系，这两种坐标系 在大地测量中有何意义？在大地测量中有何意义？1212用公式表示空间直角坐标系和大地坐标系之间的关系。用公式表示空间直角坐标系和大地坐标系之间的关系。1313何为大地纬度、归化纬度、地心纬度？三者间有何关系？何为大地纬度、归化纬度、地心纬度？三者间有何关系？试问它们之间函数关系的一个基本共同特点是什么？试问它们之间函数关系的一个基本共同特点是什么？类的报导，试问这是指的什么坐标系，为什么类的报导，试问这是指的什么坐标系，为什么? ?1414简要叙述简要叙述M、N、R 三种曲率半径之间的关系。三种曲率半径之间的关系。

101、1515大地坐标系和天文坐标系各以什么作基准面和基准线？大地坐标系和天文坐标系各以什么作基准面和基准线？1616试推证卯酉圈、子午圈曲率半径的计算公式。试推证卯酉圈、子午圈曲率半径的计算公式。1717B B0000的平行圈是否有可能是法截线？为什么？的平行圈是否有可能是法截线？为什么？ 1818卯酉圈曲率半径卯酉圈曲率半径N N与子午圈曲率半径与子午圈曲率半径M M何时有最大值？何时有最小值？何时有最大值？何时有最小值？1919，为什么说任意方向法截线曲率半径，为什么说任意方向法截线曲率半径 随随A A的变化是以的变化是以900900为周期的？这为周期的？这 一结论对椭球问题的解算有什么意义？

102、一结论对椭球问题的解算有什么意义？2020什么是法线？什么是法截面？它们对椭球解算有什么意义？什么是法线？什么是法截面？它们对椭球解算有什么意义？2121当椭球元素确定之后，椭球面上任意方向法截线曲率半径的计算值当椭球元素确定之后，椭球面上任意方向法截线曲率半径的计算值 取决于哪两个变量？为什么？取决于哪两个变量？为什么？2222已知欧拉公式：已知欧拉公式：2323研究平均曲率半径研究平均曲率半径R R对椭球解算有何意义？在我国中纬度地区对椭球解算有何意义？在我国中纬度地区R R与的与的 最大差异是多少？试将它对距离化算（用最大差异是多少？试将它对距离化算（用R R代替）的影响作一定量分析。代

103、替）的影响作一定量分析。 试由椭球基本元素及公式出发，用两种方法导出计算任意方试由椭球基本元素及公式出发，用两种方法导出计算任意方 向法截线曲率半径的公式和平均曲率半径向法截线曲率半径的公式和平均曲率半径R R的公式。的公式。 2424在推导计算子午线弧长公式时，为什么要从赤道起算？若欲求纬度在推导计算子午线弧长公式时，为什么要从赤道起算？若欲求纬度B1B1和和B2B2间的子午线弧长间的子午线弧长( 0( 0) )，如何计算？，如何计算？2525当子午线弧长不超过当子午线弧长不超过45km45km时，则可将其视为圆弧，试论证其计算精时，则可将其视为圆弧，试论证其计算精度的可靠性。度的可靠性。2

104、626何谓椭球面上的相对法截线和大地线？试鉴别下列各线是否为大地何谓椭球面上的相对法截线和大地线？试鉴别下列各线是否为大地线并简要说明理由：线并简要说明理由：(1)(1)任意方向法截线，任意方向法截线， (2)(2)子午圈，子午圈， (3)(3)卯酉圈，卯酉圈， (4)(4)平行圈。平行圈。2727试证明椭球面上过任一点试证明椭球面上过任一点P(B、L，B0)0)的任一方向的法截线只有的任一方向的法截线只有子午线是大地线，而平行圈为什么不是大地线？若为球面，情况又如何子午线是大地线，而平行圈为什么不是大地线？若为球面，情况又如何？2828研究相对法截线有何意义？画出某方向在不同象限时正反法截线

105、的研究相对法截线有何意义？画出某方向在不同象限时正反法截线的关系图。关系图。2929什么叫大地线？为什么可以用大地线代替法截线？大地线具有什么什么叫大地线？为什么可以用大地线代替法截线？大地线具有什么性质？性质？3030大地线微分方程表达了什么之间的关系？有何意义？试述其推导思大地线微分方程表达了什么之间的关系？有何意义？试述其推导思路。路。3131怎样理解克莱洛定理中大地线常数怎样理解克莱洛定理中大地线常数C C的含义？的含义？3232试述三差改正的几何意义。为什么有时在三角测量工作中可以不试述三差改正的几何意义。为什么有时在三角测量工作中可以不考虑三差改正？考虑三差改正？3333三差改正的

106、改正数大小，各与什么有关？三差改正的改正数大小，各与什么有关？3434解释下列名词：解释下列名词： 大地水准面，参考椭球，大地线，法截线，大地经纬度大地水准面，参考椭球，大地线，法截线，大地经纬度3535已知椭球已知椭球 面上一点面上一点P的空间直角坐标的空间直角坐标X、Y、Z。试求：。试求： (1)(1)该点的大地坐标该点的大地坐标( (B、L) )； (2)(2)该点的平行圈半径该点的平行圈半径 ，主曲率半径，主曲率半径M M与与N N； (3)(3)该点上大地方位角为该点上大地方位角为A A的方向上的法截弧曲率半径。的方向上的法截弧曲率半径。3636在边长大致相等的三角网中，各方向的方向

107、改正值是否也大致相在边长大致相等的三角网中，各方向的方向改正值是否也大致相等？为什么？等？为什么？3737什么是拉普拉斯方程式？在大地测量中有何意义？什么是拉普拉斯方程式？在大地测量中有何意义？3838为什么说通过比较一点的天文经纬度和大地经纬度，可以求出该为什么说通过比较一点的天文经纬度和大地经纬度，可以求出该点的垂线偏差点的垂线偏差? ?试绘图导出垂线偏差的计算公式试绘图导出垂线偏差的计算公式? ?3939图示垂线偏差对观测天顶距的影响。图示垂线偏差对观测天顶距的影响。4040试定量分析距离改正公式在何种情况下需用下列或更精密的计算试定量分析距离改正公式在何种情况下需用下列或更精密的计算公

108、式：公式：4141将地面实测长度归化到国家统一的椭球面上，其改正数应用下式将地面实测长度归化到国家统一的椭球面上，其改正数应用下式求得：求得：式中式中H H应为边长所在高程面相对于椭球面的高差，而实际作业中通应为边长所在高程面相对于椭球面的高差，而实际作业中通常用什么数值替代？这对常用什么数值替代？这对 的计算精度是否有影响？为什么？的计算精度是否有影响？为什么？4242根据垂直角将导线测量中的斜距化为平距时，有化算至测站高根据垂直角将导线测量中的斜距化为平距时，有化算至测站高程面以及化算至测站点与照准点平均高程面上两种公式，两公式之程面以及化算至测站点与照准点平均高程面上两种公式，两公式之间

109、有何差异？试导出其差异的来源。间有何差异？试导出其差异的来源。4343导出由电磁波测距仪测得的斜距化算为大地线长度的计算公式。导出由电磁波测距仪测得的斜距化算为大地线长度的计算公式。4444什么是球面角超？为什么应用球面角超可以检核方向改正值计什么是球面角超？为什么应用球面角超可以检核方向改正值计算的正确性？算的正确性？4545在北纬在北纬22002200地区三角网中有一三角形地区三角网中有一三角形ABCABC，已知归化到椭球，已知归化到椭球面上的三个内角为面上的三个内角为A A=564007.50=564007.50，B B=831349.00=831349.00，C C=400604.23

110、=400604.23“。并已知三角形三顶点的近似坐标分别为。并已知三角形三顶点的近似坐标分别为 ， ； ， ； ， 。试用两种不同方法求出该三角形闭合差（在球面。试用两种不同方法求出该三角形闭合差（在球面上计算时略去长度改化；注上计算时略去长度改化；注 处处 ）。）。 4646什么叫大地主题解算？为什么要研究大地主题解算？其解析什么叫大地主题解算？为什么要研究大地主题解算？其解析意义是什么？意义是什么？4747在推导正算公式和反算公式过程中主要运用的是什么数学方在推导正算公式和反算公式过程中主要运用的是什么数学方法和原理？运用的根据是什么？反算公式中的起什么作用？试根法和原理？运用的根据是什么

111、？反算公式中的起什么作用？试根据正反算公式画图说明子午线和平行圈投影至平面后的形状。据正反算公式画图说明子午线和平行圈投影至平面后的形状。4848用电磁波测距仪测得地面倾斜距离为用电磁波测距仪测得地面倾斜距离为D，已知数据列于中。试，已知数据列于中。试求求D 归化到椭球面上的大地线长度归化到椭球面上的大地线长度S。符号已知数据符号计算数值(m)B13016H2-H1A128036N1H12780.51mRAH22373.43mSD1794.106m4949某椭球面三角形某椭球面三角形ABCABC，其平均纬度，其平均纬度B Bm m =3350=3350，起算边长，起算边长AC=bAC=b=47

112、652.597m=47652.597m，三角形的三个内角观测值为，三角形的三个内角观测值为=704603.49=704603.49=650515.01=650515.01=440845.68=440845.68试解算椭球面三角形试解算椭球面三角形ABCABC。附附：1. 1. 电磁波测距边归化到椭球面上的计算示例：电磁波测距边归化到椭球面上的计算示例：计算公式计算公式式中式中D地面倾斜距离；地面倾斜距离； S椭球面大地线长度；椭球面大地线长度； H1，H2大地高；大地高； RA沿观测方向的曲率半径。沿观测方向的曲率半径。已知数值：已知数值：D=34884.181m， B1=3033， A12=

113、12935，H1=3930.35m， H2=3879.54m。常数值：常数值：a=6378245m e2=0.00669342 e2=0.00673852解：解：RA=6371440m S=34862.821m示例：下图中示例：下图中ABC 为球面三角形，其球面角用为球面三角形，其球面角用 ， ， 表示，表示，边长按长度为单位用边长按长度为单位用a，b，c表示之；表示之；ABC为以球面边长为以球面边长a，b，c为边的平面三角形，其中为边的平面三角形，其中 ， ， 称为平面归化角。设平称为平面归化角。设平均纬度均纬度Bm =3450=3450，起算边长，起算边长BC=a=14862.821m，球

114、面三角形，球面三角形的三个内角观测值的三个内角观测值 ， ， 列于下表，试求列于下表，试求b、c边长？边长？2 2按勒让德尔定理解算球面三角形按勒让德尔定理解算球面三角形上式中上式中 、 、 为平差后的球面角，为平差后的球面角，为球面角超，为球面角超，分别按下列公式计算：分别按下列公式计算：计算公式：计算公式： ( (当边长小于当边长小于9090km时时) )其中其中 ；w为三角形闭合差，即为三角形闭合差，即计算步骤：计算步骤：三角形概算和球面角超的计算三角形概算和球面角超的计算 f=0.002541 表表a a三角形编号顶点名称角度值（ ）边 长（km）球面角超1A35 54 4714.86

115、30.863B69 05 3623.671C74 59 3524.475W179 59 58椭球面三角形的解算椭球面三角形的解算顶点名称球面上的角度观测( )角度平差改正数()平差后的球面角值( )平 面归化角（）球面边长（m）球面角超ABC35 54 47.1869 05 6.3174 59 35.43+0.647+0.648+0.64835 54 47.82769 05 36.95874 59 36.078-0.287-0.288-0.28847.54036.67035.79014862.82123670.78724474.8270.863闭合差 -1.943179 59 58.92179 59 58.92