《2020届新高考数学大一轮精准复习11.2 离散型随机变量及其分布列、均值与方差Word版含解析》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020届新高考数学大一轮精准复习11.2 离散型随机变量及其分布列、均值与方差Word版含解析（48页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、11.2离散型随机变量及其分布列、均值与方差挖命题【考情探究】考点内容解读5年考情预测热度考题示例考向关联考点1.离散型随机变量及其分布列1.理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念,了解分布列对于刻画随机现象的重要性2.理解超几何分布及其导出过程,并能进行简单的应用2018天津,162017天津,162016天津,162015天津,16离散型随机变量的分布列与数学期望古典概型、互斥事件的概率加法2.离散型随机变量的均值与方差理解取有限个值的离散型随机变量的均值、方差的概念,能计算简单离散型随机变量的均值、方差,并能解决一些实际问题2014天津,16分析解读1.会求简单的离散型随机变量的
2、分布列,理解超几何分布的概念.2.理解数学期望与方差的概念,熟练掌握期望与方差的求解方法.3.分布列、期望及方差均为高考的必考内容.本节在高考中一般以解答题的形式出现,分值约为13分,属于中高档题.破考点【考点集训】考点一离散型随机变量及其分布列1.(2015重庆,17,13分)端午节吃粽子是我国的传统习俗.设一盘中装有10个粽子,其中豆沙粽2个,肉粽3个,白粽5个,这三种粽子的外观完全相同.从中任意选取3个.(1)求三种粽子各取到1个的概率;(2)设X表示取到的豆沙粽个数,求X的分布列与数学期望.解析(1)令A表示事件“三种粽子各取到1个”,则由古典概型的概率计算公式有P(A)=C21C31
3、C51C103=14.(2)X的所有可能值为0,1,2,且P(X=0)=C83C103=715,P(X=1)=C21C82C103=715,P(X=2)=C22C81C103=115.综上知,X的分布列为X012P715715115故E(X)=0715+1715+2115=35(个).2.春节期间,受烟花爆竹集中燃放的影响,我国多数城市空气中PM2.5浓度快速上升,特别是在大气扩散条件不利的情况下,空气质量在短时间内会迅速恶化.2017年除夕18时和初一2时,国家环保部门对8个城市空气中PM2.5浓度监测的数据如下表(单位:微克/立方米):除夕18时PM2.5浓度初一2时PM2.5浓度北京75
4、647天津66400石家庄89375廊坊102399太原46115上海1617南京3544杭州13139(1)求这8个城市除夕18时空气中PM2.5浓度的平均值;(2)环保部门发现:除夕18时到初一2时空气中PM2.5浓度上升不超过100的城市都是“禁止燃放烟花爆竹”的城市, 浓度上升超过100的城市都未禁止燃放烟花爆竹.从以上8个城市中随机选取3个城市组织专家进行调研,记选到“禁止燃放烟花爆竹”的城市个数为X,求随机变量X的分布列和数学期望.解析(1)8个城市除夕18时空气中PM2.5浓度的平均值为75+66+89+102+46+16+35+1318=70微克/立方米.(2)8个城市中“禁止
5、燃放烟花爆竹”的有太原,上海,南京,杭州4个城市,随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3,则P(X=0)=C40C43C83=114,P(X=1)=C41C42C83=614,P(X=2)=C42C41C83=614,P(X=3)=C43C40C83=114.所以X的分布列为X0123P114614614114X的数学期望EX=0114+1614+2614+3114=2114=32.考点二离散型随机变量的均值与方差3.已知离散型随机变量X的分布列为X123P35310110则X的数学期望E(X)=()A.32B.2C.52D.3答案A4.(2014浙江,12,4分)随机变量的取值为0,1,2
6、.若P(=0)=15,E()=1,则D()=.答案25炼技法【方法集训】方法1离散型随机变量分布列的求法1.某次有600人参加的数学测试,其成绩的频数分布表如下,规定85分及其以上为优秀.区间75,80)80,85)85,90)90,95)95,100人数3611424415650(1)现用分层抽样的方法从这600人中抽取20人进行成绩分析,求其中成绩为优秀的学生人数;(2)在(1)中抽取的20名学生中,要随机选取2名学生参加活动,记“其中成绩为优秀的人数”为X,求X的分布列与数学期望.解析(1)设其中成绩为优秀的学生人数为x,则x20=244+156+50600,解得x=15.所以其中成绩为
7、优秀的学生人数为15.(2)依题意,随机变量X所有可能的取值为0,1,2.P(X=0)=C52C202=119,P(X=1)=C51C151C202=1538,P(X=2)=C152C202=2138.所以X的分布列为X012P11915382138所以数学期望E(X)=0119+11538+22138=32.2.(2015福建,16,13分)某银行规定,一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错误,该银行卡将被锁定.小王到该银行取钱时,发现自己忘记了银行卡的密码,但可以确认该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之一,小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试.若密码正确,则结束尝试;否则继续尝试,直
8、至该银行卡被锁定.(1)求当天小王的该银行卡被锁定的概率;(2)设当天小王用该银行卡尝试密码的次数为X,求X的分布列和数学期望.解析(1)设“当天小王的该银行卡被锁定”的事件为A,则P(A)=564534=12.(2)依题意得,X所有可能的取值是1,2,3.P(X=1)=16,P(X=2)=5615=16,P(X=3)=56451=23,所以X的分布列为X123P161623所以E(X)=116+216+323=52.方法2求离散型随机变量的期望与方差的方法3.(2018浙江,7,4分)设0p1,随机变量的分布列是012P1-p212p2则当p在(0,1)内增大时,()A.D()减小B.D()
9、增大C.D()先减小后增大D.D()先增大后减小答案D4.(2014重庆,18,13分)一盒中装有9张各写有一个数字的卡片,其中4张卡片上的数字是1,3张卡片上的数字是2,2张卡片上的数字是3.从盒中任取3张卡片.(1)求所取3张卡片上的数字完全相同的概率;(2)X表示所取3张卡片上的数字的中位数,求X的分布列与数学期望.(注:若三个数a,b,c满足abc,则称b为这三个数的中位数)解析(1)由古典概型的概率计算公式知所求概率为P=C43+C33C93=584.(2)X的所有可能值为1,2,3,且P(X=1)=C42C51+C43C93=1742,P(X=2)=C31C41C21+C32C61
10、+C33C93=4384,P(X=3)=C22C71C93=112,故X的分布列为X123P17424384112从而E(X)=11742+24384+3112=4728.评析本题考查概率的计算,随机变量的分布列及数学期望.其中概率的计算要求较高,不过整体难度不大,属中等偏易题.过专题【五年高考】A组自主命题天津卷题组1.(2018天津,16,13分)已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24,16,16.现采用分层抽样的方法从中抽取7人,进行睡眠时间的调查.(1)应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人?(2)若抽出的7人中有4人睡眠不足,3人睡眠充足,现从这7人中随机抽取3人做进
11、一步的身体检查.(i)用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数,求随机变量X的分布列与数学期望;(ii)设A为事件“抽取的3人中,既有睡眠充足的员工,也有睡眠不足的员工”,求事件A发生的概率.解析本题主要考查随机抽样、离散型随机变量的分布列与数学期望、互斥事件的概率加法公式等基础知识.考查运用概率知识解决简单实际问题的能力.(1)由已知,甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为322,由于采用分层抽样的方法从中抽取7人,因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人,2人,2人.(2)(i)随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3.P(X=k)=C4kC33-kC73(k=0,1,2,3).所以,随机
12、变量X的分布列为X0123P13512351835435随机变量X的数学期望E(X)=0135+11235+21835+3435=127.(ii)设事件B为“抽取的3人中,睡眠充足的员工有1人,睡眠不足的员工有2人”;事件C为“抽取的3人中,睡眠充足的员工有2人,睡眠不足的员工有1人”,则A=BC,且B与C互斥.由(i)知,P(B)=P(X=2),P(C)=P(X=1),故P(A)=P(BC)=P(X=2)+P(X=1)=67.所以,事件A发生的概率为67.导师点睛超几何分布描述的是不放回抽样问题,随机变量为抽到某类个体的个数.超几何分布的特点:(1)考察对象分两类;(2)已知各类对象的个数;
13、(3)从中抽取若干个个体,考察某类个体个数X的概率分布.超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型,其实质是古典概型.2.(2017天津,16,13分)从甲地到乙地要经过3个十字路口,设各路口信号灯工作相互独立,且在各路口遇到红灯的概率分别为12,13,14.(1)记X表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数,求随机变量X的分布列和数学期望;(2)若有2辆车独立地从甲地到乙地,求这2辆车共遇到1个红灯的概率.解析本题主要考查离散型随机变量的分布列与数学期望,事件的相互独立性,互斥事件的概率加法公式等基础知识.考查运用概率知识解决简单实际问题的能力.(1)随机变量X的所有可能取值为0,1
14、,2,3.P(X=0)=1-121-131-14=14,P(X=1)=121-131-14+1-12131-14+1-121-1314=1124,P(X=2)=1-121314+121-1314+12131-14=14,P(X=3)=121314=124.所以,随机变量X的分布列为X0123P14112414124随机变量X的数学期望E(X)=014+11124+214+3124=1312.(2)设Y表示第一辆车遇到红灯的个数,Z表示第二辆车遇到红灯的个数,则所求事件的概率为P(Y+Z=1)=P(Y=0,Z=1)+P(Y=1,Z=0)=P(Y=0)P(Z=1)+P(Y=1)P(Z=0)=141124+112414=1148.所以,这2辆车共遇到1个红灯的概率为1148.技巧点拨解决随机变量分布列问题的关键是正确求出随机变量可以取哪些值以及取各个值时对应的概率,只有正确理解随机变量取值的意义才能解决这个问题.3.(2016天津,16,13分)某小组共10人,利用假期参加义工活动,已知参加义工活动次数为1,
