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1、专题六 几何探究题的解题思路一、方法简述随着中考的改革,几何的综合题不再是定格在”条件-演绎-结论”这样封闭的模式中,而是必须利用题设大胆猜想、分析、比较、归纳、推理,或由条件去探索不明确的结论,或由结论去探索未给予的条件,或讨论存在的各种可能性;探索图形的运动、变换规律更是中考的热点题型.解决此类问题,数学思想的合理应用起着关键性的作用,一个题目往往需要几个思想方法交织应用.二、思想方法1.分类讨论思想分类讨论思想是数学中的重要思想方法之一，数学中的许多问题由于题设交代笼统，需要进行讨论，另外由于题意复杂，包含情况多也需要讨论。分类是按照数学对象的相同点或差异点，将数学对象分为不同种类的方法
2、，其目的是复杂问题简单化。正确的分类必须周全，不重不漏；分类的原则是：（1）分类中的每一部分必须是独立的；（2）一次分类必须是一个标准；（3）分类讨论应逐级进行。2.数形结合思想数型结合就是将数和有关的图形结合起来，通过对图形的研究探索数量之间的关系，从而达到解决问题的方法。利用数型结合思想，可以将复杂的形化为具体的数，由形索数，由数导形，将数形有机地结合起来，加强数形思想的训练，对巩固数学知识，提高问题的解决能力，至关重要。3.函数与方程思想函数关系是指某个变化过程中两个变量之间的对应关系，方程是由已知量和未知量构成的矛盾的统一体，它是由已知探知未知的桥梁，从分析问题的数量关系入手，抓住问题
3、的函数关系或等量关系，用数学语言将函数或等量关系转化为函数关系式或方程式，在通过函数的性质或方程的理论使问题获得解决的思想方法，就称为函数与方程思想。4.转化与化归思想转化与化归思想，也是初中数学常用的思想方法之一，是将不熟悉的问题转化、归结成熟悉问题的思想方法，就是将待解决的问题，通过分析、联想、类比等过程，选择恰当的方法进行变换，转化到已解决或比较容易解决的问题上，最终达到解决问题的目的，解决问题的过程实际上就是转化的过程。转化与化归原则主要有：熟悉化原则、简单化原则、直观性原则、正难则反原则。三、典例分析例1: 阅读理解：如图1，在直角梯形中，,点在边上，当时，易证，从而得到.解答下列问
4、题：（1） 模型探究：如图2，在四边形中，点在边上，当=时，求证：；（2） 拓展应用：如图3，在四边形中，=,于点，以为原点，以所在的直线为轴，建立平面直角坐标系，点为线段上一动点（不与端点、重合） 当时，求点的坐标； 过点作，交轴于点，设，求与的函数关系式，并写出自变量的取值范围(1)证明：如图2，1=180-B-2 3=180-APD-2 B=APD 1=3 又B=C ABPPCD (2) 如图3，当APD=60时 OB=设P点坐标为（x，0），（0 x8）则BP=2+x，PC=8-xB=C=APD=60 即（2+x）(8-x)= 解得：x=2, =4点P的坐标为P（2，0）或P（4，0）
5、解法一：如图3，过点D作DMx轴于点M则CM=，DM= OM=5()当点P在线段OM上设为P，PM=x-5 (0x5)EOP=DMP=EPD=90OPPM=OEDM 即)= (0x5)() 当点P在线段CM上设为P, PM=x-5 (5x8)1+3=90 2+3=90 1=2 RtEOPRtPMD 即x(x-5)= (5x8)解法二：如图3，过点D作DMx轴于点M则CM=，DM= OM=5 D(5，)()当点P在线段OM上设为P，PM=5-x (0x5) 连接DE； 即 -x)+ ()=(-y)+5 (0x5)() 当点P在线段CM上设为P, PM=x-5 (5x8) 连接DE 即-5)+ (
6、)=(+y)+5 (5x8)评析:本题通过“阅读理解模型探究拓展应用”三环节问题设置，实际上向学生展示了一个研究具有一般性问题的较完整的过程：先从这个一般性问题的“特殊”（图1为直角情形）入手，到“一般”（图2为非直角情形）；再从“一般”（问题（2）上升到新背景中的“特殊”（问题（2），使学生经历了“特殊一般特殊”由浅入深、归纳与演绎交替变化的思维过程.试题在第一环节中提供了 “易证, ”的启示，学生在解破“易证”中的具有广泛意义的思考或研究方法（即所谓“一般性方法”）后，就能类比解决后续的各个问题.考查学生利用类比方法进行自主探究学习的能力.本题的价值不仅在于环环相扣、层层推进的精彩设置，更
7、在于其本身突出地展示着“一般性方法”的深刻含义和普遍适用性，能掌握并善于运用一般性方法，就显示出较高的数学学习能力. 例2. 已知菱形的边长为1，等边两边分别交边、于点、.（1）特殊发现：如图1，若点、分别是边、的中点，求证：菱形对角线、的交点即为等边的外心；（2）若点、始终在分别在边、上移动，记等边的外心为点.猜想验证：如图2，猜想的外心落在哪一直线上，并加以证明；拓展运用：如图3，当面积最小时，过点任作一直线分别交边于点，交边的延长线于点，试判断是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由O 图1FEDCBA解：（1）证明：如图1，分别连接、四边形是菱形,平分，又、分别为、中点、 点
8、即为的外心（2）猜想：外心一定落在直线上证明：如图2，分别连接、，过点分别作于，于.则 图2JIPFEDCBA 点是等边的外心， 点在的平分线上，即点落在直线上分析：证点落在的平分线上，也就证明点到直线、的距离相等，如此便可构造两个直角三角形证明全等。若考虑对角互补，便可联想到四点共圆，从而利用圆的性质便有下面两种解法。另解法一：分别连接、 四边形是菱形,图3PFEDCBA,点是等边的外心，, 、四点共圆， 落在的平分线上.即点落在直线上.图4PFEDCBA另解法二：:分别连接、点是等边的外心，、 四点共圆.N图5PMGFEDCBA落在的平分线上.即点落在直线上.为定值2当时，面积最小，此时点
9、、分别为、中点连接、交于点，由（1）可得点即为的外心解法一：如图，设交于点设，则，且，是的中点 即图6PNMGFEDCBA分析：观察图形，得到结论，把1用或代替，把要计算的线段或相关线段集中到两个相似的三角形，中，并把长度用字母表示，化简含字母的代数式从而得到结论。依据此策略，可得到解法二、三、四。解法二：如图，连接 点、分别为、的中点， 设，则 H图7PNMGFEDCBA 解法三：过点作直线交于点， 解法四：过点作直线交于点，过点作交于.KH图8PNMGFEDCBA， ， ， 由得： 解法五：如图，过点作于，于，则图9JINMPFEDCBA 分析：因为，而正与的面积有关，其中，也可以看成是将
10、分为和后，计算面积过程中涉及的底边。这种对所求的结论作等份变形，找寻解题思路的方法是我们分析问题时常采用的一种重要方法。解法六：如图4，以点为坐标原点，所在直线为轴，建立平面直角坐标系设直线的解析式为可求得点的坐标为 N图10yxPMOFEDCBA直线的解析式为求得直线的解析式为令， 令， 评析：本题是一道集阅读理解、实验操作、猜想证明、应用探究于一体的综合题型。试题以菱形中的一个等边三角形旋转作为载体，综合考查了等边三角形、菱形两个基本图形的性质，同时考查了等边三角形的外心（中心）、三角形的中位线、相似、全等等初中数学几何主干知识；试题源于教材，立足数学通性、通法，具有公平性、原创性，既紧扣
11、双基，又突出能力要求。本题就改变了传统几何证明题的模式（已知，求证，证明），将合情推理与演绎推理有机融合在一起，试题引导学生学会一种解决问题的策略试验、发现、联想、推广。其新意主要体现在让学生在操作、实验等尝试性活动中表现出对基础知识的理解水平，对图形的分解与组合的能力，考查了学生的分析、观察、猜测、验证、计算与推理能力。本题结论开放、方法开放、思路开放，能有效地反映高层次思维，融会了特殊与一般、转化思想、数学建模思想、函数思想、数形结合思想。其中第一道小题在静态图形中考查了特殊点下等边三角形外心（中心）的的判定，属于基础题；第二问为先猜想，因有第一步作铺垫不难猜测点P落在直线DB上，证点P落
12、在ADC的平分线上，也就证明点P到直线AD、AC的距离相等（结论转换），如此便可构造两个直角三角形证明相等，思路自然，知识基本，方法核心，属于能力考查范围；第2小题第以探究性问题让学生先判断、后推理，重思维，轻计算，对学生的思维能力要求较高。四、强化训练1. 如图，在矩形中，点是边上的动点（点不与点、点重合），过点作直线，交边于点，再把沿着动直线对折，点的对应点是点，设的长度为，与矩形重叠部分的面积为（1）求的度数；（2）当取何值时，点落在矩形的边上？（3）求与之间的函数关系式；DQCBPRA第1题图BADC（备用图1）BADC（备用图2）2.如图1，在中，是边上一点，是在边上的一个动点（与点、不重合），与射线相交于点。（1）如图1，如果点是边的中点，求证：；（2）如图2，如果，求的值；（3）如果，设，求关于的函数关系式，并写出的取值范围；3.四边形是矩形，点是射线上的一个动点（点不与点重合），是点关于的对称点，射线交射线于，设，的面积为.(1)如图1，当点在边上运动时，试用的代数式表示，并写出的取值范围；（2）当点在射线上运动时，判断的面积是否为定值，若是定值，请求出该定值；若不是，请用的代数式表示，并写出的取值范围.
