《利用定积分定义求极限(by汤).pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《利用定积分定义求极限(by汤).pdf（9页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、利用定积分定义求极限1入门题 同济 7 的 p226 Z b a f (x)dx = I = lim ?!0 n X i=1 f (?i)xi; xi?16 ? 6 xi 做题时的公式 Z 1 0 f (x) = lim n!1 1 n n X i=1 f ( i n) Z b a f (x)dx = lim n!1 b ? a n x n X i=1 f (a + i n(b ? a) 1入门题 Example1: 求极限 I = lim n!1 ? 1 n + 1 + 1 n + 2 + ? + 1 2n ? Solution I = lim n!1 1 n 1 1 + 1 n + 1 1
2、 + 2 n + ? + 1 1 + n n ! = lim n!1 1 n n X i=1 1 1 + i n = Z 1 0 1 1 + x dx = ln2 Example2: 求极限: lim n!1 ? n! nn ?1 n Solution lim n!1 ? n! nn ?1 n = lim n!1 exp 1 n ln ? n! nn ? = exp lim n!1 1 n ln ? n! nn ? =exp lim n!1 1 n ? ln 1 n + ln 2 n + ? + ln n n ? =exp lim n!1 1 n n X i=1 ln i n = exp Z
3、1 0 lnx dx =exp ?h x lnx i1 0 ? Z 1 0 dx ? = 1 e Example3: 求极限: I = lim n!1 1 n n q n(n + 1)(n + 2)?(2n ? 1) Solution I = exp lim n!1 1 n n?1 X i=1 ln ? 1 + i n ?! = exp ?Z 1 0 ln(1 + x)dx ? = 4 e Example4: 求极限: I = lim n!1 ? 1 p12 + n2 + 1 p22 + n2 + 1 p32 + n2 + ? + 1 pn2 + n2 ? by 汤第1页, 共 9 页 利用定
4、积分定义求极限1入门题 Solution I = lim n!1 n X i=1 1 pi 2 + n2 = lim n!1 1 n n X i=1 1 q ( i n) 2 + 1 = Z 1 0 1 px2 + 1 dx = h ln(x + p x2+ 1) i1 0 =ln(1 + p2) Example5: 求极限: lim n!1 ? 1 12+ n2 + 2 22+ n2 + ? + n n2+ n2 ? Solution I = lim n!1 ? 1 12+ n2 + 2 22+ n2 + ? + n n2+ n2 ? = lim n!1 n X i=1 i i2+ n2 =
5、 lim n!1 1 n n X i=1 i n ? i n ?2 + 1 = Z 1 0 x 1 + x2 dx = 1 2 Z 1 0 1 1 + x2 d(1 + x2) = ?1 2 ln(1 + x2) ?1 0 = 1 2 ln2 Example6: 求极限: lim n!1 n p1 + 2! + 3! + ? + n! n Solution 由于 n pn! n 6 n p1 + 2! + 3! + ? + n! n 6 n pn ? n! n 而 lim n!1 n pn! n = exp ( lim n!1 1 n n X i=1 ln i n ) = exp ?Z 1 0
6、 lnx dx ? = 1 e lim n!1 n pn ? n! n = lim n!1 n pn ? lim n!1 n pn! n = 1 e 所以由夹逼准则知所求极限为 1 e Example7: 求极限: lim n!1 n sin ? n n2+ 1 + sin 2 n? n2+ 2 + ? + sin? n2+ n ! Solution 由于 1 n + 1 n X i=1 sin i? n 6 n X i=1 sin i? n n + i n 6 1 n n X i=1 sin i? n 而 lim n!1 1 n + 1 n X i=1 sin i? n = lim n!1
7、n (n + 1)? ? lim n!1 ? n n X i=1 sin i? n = 1 ? Z ? 0 sinx dx = 2 ? by 汤第2页, 共 9 页 利用定积分定义求极限2进阶题 lim n!1 1 n n X i=1 sin i? n = 1 ? lim n!1 ? n n X i=1 sin i? n = 1 ? Z ? 0 sinx dx = 2 ? 所以由夹逼准则知所求极限为 2 ? Example8: 求极限: lim n!1 n2 X k=1 n n2+ k2 Solution 法 1. 一方面 lim n!1 n2 X k=1 n n2+ k2 = lim n!1
8、 n2 X k=1 Z k k?1 n n2+ k2 dx 6 lim n!1 n2 X k=1 Z k k?1 n n2+ x2 dx = Z n2 0 n n2+ x2 dx = ? 2 另一方面 lim n!1 n2 X k=1 n n2+ k2 = lim n!1 n2 X k=1 Z k+1 k n n2+ k2 dx lim n!1 n2 X k=1 Z k+1 k n n2+ x2 dx = Z n2+1 1 n n2+ x2 dx = ? 2 故由夹逼准则知 lim n!1 n2 X k=1 n n2+ k2 = ? 2 法 2. 设 Sn= lim n!1 n2 X k=1
9、n n2+ k2 = n2 X k=1 1 1 + ?k n ?2? 1 n 因 Zk+1 n k n dx 1 + x2 1 1 + ?k n ?2? 1 n Zk n k?1 n dx 1 + x2 则 Z1 n n2+1 n dx 1 + x2 Sn Z n 0 dx 1 + x2 当 n ! 1 时，该不等式左右两端的极限都趋于 Z +1 0 dx 1 + x2 = ? 2 由夹逼准则可知原极限为 ? 2 2进阶题 Example1: 求 100 X n=1 n? 1 2 的整数部分 by 汤第3页, 共 9 页 利用定积分定义求极限2进阶题 Solution 一方面 100 X n=
10、1 n? 1 2= 1 + 100 X n=2 n? 1 2= 1 + 100 X n=2 Z n n?1 n? 1 2dx 1 + 100 X n=2 Z n n?1 x? 1 2dx = 1 + Z 100 1 x? 1 2dx = 19 或者 100 X n=1 n? 1 2 100 X n=1 Z n+1 n x? 1 2dx = Z 101 1 x? 1 2dx = 2 ?p 101 ? 1 ? ? 18:1 因此 100 X n=1 n? 1 2的整数部分为 18. Example2: 求极限: lim n!1 p 1 ? 2 n2+ 1 + p2 ? 3 n2+ 2 + ? +
11、pn ? (n + 1) n2+ n ! Solution 由于 i n2+ n 6 pi ? (i + 1) n2+ i 6 i + 1 n2+ 1 而 lim n!1 n X i=1 i n2+ n = lim n!1 n2 n2+ n ? lim n!1 1 n n X i=1 i n = 1 ? Z 1 0 x dx = 1 2 lim n!1 n X i=1 i + 1 n2+ 1 = lim n!1 n X i=1 i n2+ 1 + lim n!1 1 n2+ 1 = lim n!1 n2 n2+ 1 ? lim n!1 1 n n X i=1 i n = 1 ? Z 1 0 x
12、 dx = 1 2 故由夹逼准则知 lim n!1 p 1 ? 2 n2+ 1 + p2 ? 3 n2+ 2 + ? + pn ? (n + 1) n2+ n ! = 1 2 Example3: 求极限: I = lim n!1 1p+ 3p+ ? + (2n ? 1)p np+1 Solution 考虑 f (x) = xp(x 2 0;2). 将 0;2 n 等分, 分点为 2i n , (i = 1;2;? ;n), 小区间长度为 xi= 2 n (i = 1;2;? ;n), 取 ?i= 2i ? 1 n (i = 1;2;? ;n), ? = maxfxig = 2 n, by 汤第
13、4页, 共 9 页 利用定积分定义求极限2进阶题 故 I = 1 2 lim n!1 2 n n X k=1 ?2k ? 1 n ?p = 1 2 lim ?!0 n X i=1 (?i)pxi= 1 2 Z 2 0 xpdx = 2p p + 1 Example4: 求极限: lim n!1 1 n n X i=1 sin i ? 1 2 n ? ! Solution 法 1. 考虑 f (x) = sin(?x)(x 2 0;1). 将 0;1 n 等分, 分点为 i n, (i = 1;2;? ;n), 小区 间长度为 xi= 1 n (i = 1;2;? ;n), 取 ?i= i ?
14、1 2 n (i = 1;2;? ;n), ? = maxfxig = 1 n, 故 lim n!1 1 n n X i=1 sin i ? 1 2 n ? ! = lim ?!0 n X i=1 sin(?i?)xi= Z 1 0 sin(?x)dx = 2 ? 法 2. 考虑 f (x) = sinx (x 2 0;?). 将 0;? n 等分, 分点为 i? n , (i = 1;2;? ;n), 小区间长度为 xi= ? n (i = 1;2;? ;n), 取 ?i= i ? 1 2 n ? (i = 1;2;? ;n), ? = maxfxig = ? n , 故 lim n!1 1
15、 n n X i=1 sin i ? 1 2 n ? ! = 1 ? lim n!1 ? n n X i=1 sin i ? 1 2 n ? ! = 1 ? lim ?!0 n X i=1 sin(?i)xi= 1 ? Z ? 0 sinx dx = 2 ? Example5: 求极限: lim n!1 ?1 + 3+ ? + (2n + 1)?+1 ?2 + 4+ ? + (2n) ?+1 (; ?1) Solution I = lim n!1 ?1 + 3+ ? + (2n + 1)?+1 ?2 + 4+ ? + (2n) ?+1 (; ?1) = 2?lim n!1 8 : 2 n ? 1 n ? + ?3 n ? +? + ?2n + 1 n ?#9 = ; +1 8 1): Solution 考虑 sinx 在 1;b 上按以下划分 1 = b 0 n b 1 n b 2 n n X k=1 Z k k?1 x 1 ndx = Z n 0 x 1 ndx = n ? n 1 n+1 n + 1 1 1 n+ 2 1 n+ ? + n 1 n ln(n + 1) + ? + ln(n + n) n + 1 ? lnn ln(n + 1) n + 1 + ln(n + 2) n + 1 2 + ? + ln(n + n) n
