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1、2020/6/26,2020/6/26,现代控制理论,东北大学信息科学与工程学院 姜囡 讲师,二一一年三月,2020/6/26,第2章 控制系统状态空间描述,第3章 状态方程的解,第4章 线性系统的能控性和能观测性,第6章 状态反馈和状态观测器,第7章 最优控制,第8章 状态估计,第1章 绪论,第5章 控制系统的李雅普诺夫稳定性分析,2020/6/26,第2章 控制系统状态空间描述,2020/6/26,输入输出模式 状态变量模式 黑箱子 动力学特性,2020/6/26,2.1 基本概念,2.1.1 几个定义:,2020/6/26,2.1 基本概念,2.1.1 几个定义:,(1) 状态:,系统过
2、去、现在和将来的状况,2020/6/26,2.1 基本概念,2.1.1 几个定义:,(1) 状态:,系统过去、现在和将来的状况,(2) 状态变量:,能够完全表征系统运动状态的最小一组变量:,2020/6/26,2.1 基本概念,2.1.1 几个定义:,(1) 状态:,系统过去、现在和将来的状况,(2) 状态变量:,能够完全表征系统运动状态的最小一组变量:,表示系统在 时刻的状态,若初值 给定, 时的 给定, 则状态变量完全确定系统在 时的行为。,2020/6/26,(3) 状态向量:以系统的n个独立状态变量 作为分量的向量,即,2020/6/26,(3) 状态向量:以系统的n个独立状态变量 作
3、为分量的向量,即,(4) 状态空间:以状态变量 为坐标轴构成 的n维空间,2020/6/26,(5) 状态方程:描述系统状态与输入之间关系的、一阶微 分方程(组):,(3) 状态向量:以系统的n个独立状态变量 作为分量的向量,即,(4) 状态空间:以状态变量 为坐标轴构成 的n维空间,2020/6/26,(5) 状态方程:描述系统状态与输入之间关系的、一阶微 分方程(组):,(6) 输出方程:描述系统输出与状态、输入之间关系的数 学表达式:,(3) 状态向量:以系统的n个独立状态变量 作为分量的向量,即,(4) 状态空间:以状态变量 为坐标轴构成 的n维空间,2020/6/26,(5) 状态方
4、程:描述系统状态与输入之间关系的、一阶微 分方程(组):,(6) 输出方程:描述系统输出与状态、输入之间关系的数 学表达式:,(7) 状态空间表达式: (5)+(6).,(3) 状态向量:以系统的n个独立状态变量 作为分量的向量,即,(4) 状态空间:以状态变量 为坐标轴构成 的n维空间,2020/6/26,(1) 独立性:状态变量之间线性独立,(2) 多样性:状态变量的选取并不唯一,实际上存在无穷多种 方案,(3) 等价性:两个状态向量之间只差一个非奇异线性变换,状态变量的特点:,(4) 现实性:状态变量通常取为含义明确的物理量,(5) 抽象性:状态变量可以没有直观的物理意义,2020/6/
5、26,(1) 线性系统,2.1.2 状态空间表达式的一般形式:,其中,A 为系统矩阵,B 为控制矩阵,C 为输出矩阵,D 为直接传递矩阵。,2020/6/26,(1) 线性系统,2.1.2 状态空间表达式的一般形式:,其中,A 为系统矩阵,B 为控制矩阵,C 为输出矩阵,D 为直接传递矩阵。,(2) 非线性系统,或,2020/6/26,2.1.3 状态空间表达式的状态变量图,绘制步骤:(1) 绘制积分器 (2) 画出加法器和放大器 (3) 用线连接各元件,并用箭头示出信号传递 的方向。,加法器 积分器 放大器,2020/6/26,例2.1.1 设一阶系统状态方程为,则其状态图为,2020/6/
6、26,例2.1.1 设一阶系统状态方程为,则其状态图为,2020/6/26,例2.1.1 设一阶系统状态方程为,则其状态图为,2020/6/26,第二章 控制系统状态空间描述,基本概念,则其状态图为,例2.1.2 设三阶系统状态空间表达式为,2020/6/26,第二章 控制系统状态空间描述,基本概念,则其状态图为,例2.1.2 设三阶系统状态空间表达式为,+,2020/6/26,2.2 状态空间表达式的建立,2020/6/26,2.2 状态空间表达式的建立,2.2.1.由物理机理直接建立状态空间表达式:,2020/6/26,2.2 状态空间表达式的建立,例2.2.0 系统如图所示,2.2.1.
7、由物理机理直接建立状态空间表达式:,2020/6/26,2.2 状态空间表达式的建立,例2.2.0 系统如图所示,2.2.1.由物理机理直接建立状态空间表达式:,2020/6/26,2.2 状态空间表达式的建立,例2.2.0 系统如图所示,2.2.1.由物理机理直接建立状态空间表达式:,2020/6/26,2.2 状态空间表达式的建立,例2.2.0 系统如图所示,2.2.1.由物理机理直接建立状态空间表达式:,2020/6/26,整理得:,2020/6/26,整理得:,2020/6/26,整理得:,状态方程,2020/6/26,整理得:,状态方程,2020/6/26,整理得:,状态方程,输出方
8、程,2020/6/26,整理得:,状态方程,输出方程,2020/6/26,写成矩阵形式,2020/6/26,写成矩阵形式,2020/6/26,写成矩阵形式,2020/6/26,写成矩阵形式,2020/6/26,写成矩阵形式,2020/6/26,例2.2.1 系统如图,2020/6/26,例2.2.1 系统如图,2020/6/26,例2.2.1 系统如图,电动机电势常数,电动机转轴转角,2020/6/26,例2.2.1 系统如图,电动机电磁转矩常数,电动机转动惯量,电动机粘滞摩擦系数,2020/6/26,例2.2.1 系统如图,取状态变量,2020/6/26,例2.2.1 系统如图,得:,取状态
9、变量,2020/6/26,系统输出方程为:,2020/6/26,系统输出方程为:,写成矩阵形式的状态空间表达式为:,2020/6/26,系统输出方程为:,写成矩阵形式的状态空间表达式为:,2020/6/26,例2.2.2 考虑如下力学运动系统如图,2020/6/26,例2.2.2 考虑如下力学运动系统如图,2020/6/26,例2.2.2 考虑如下力学运动系统如图,由牛顿第二定律可得,2020/6/26,例2.2.2 考虑如下力学运动系统如图,由牛顿第二定律可得,2020/6/26,例2.2.2 考虑如下力学运动系统如图,由牛顿第二定律可得,2020/6/26,例2.2.2 考虑如下力学运动系
10、统如图,由牛顿第二定律可得,选择状态变量,2020/6/26,例2.2.2 考虑如下力学运动系统如图,由牛顿第二定律可得,选择状态变量,2020/6/26,例2.2.2 考虑如下力学运动系统如图,由牛顿第二定律可得,选择状态变量,2020/6/26,例2.2.2 考虑如下力学运动系统如图,由牛顿第二定律可得,选择状态变量,2020/6/26,系统输出方程为:,写成矩阵形式的状态空间表达式为:,2020/6/26,系统输出方程为:,写成矩阵形式的状态空间表达式为:,2020/6/26,2.2.2 根据高阶微分方程求状态空间表达式:,2020/6/26,2.2.2 根据高阶微分方程求状态空间表达式
11、:,2020/6/26,2.2.2 根据高阶微分方程求状态空间表达式:,2020/6/26,2.2.2 根据高阶微分方程求状态空间表达式:,2020/6/26,2.2.2 根据高阶微分方程求状态空间表达式:,的情形,2020/6/26,化为能控标准型,2.2.2 根据高阶微分方程求状态空间表达式:,的情形,2020/6/26,化为能控标准型,2.2.2 根据高阶微分方程求状态空间表达式:,的情形,取状态变量,2020/6/26,化为能控标准型,2.2.2 根据高阶微分方程求状态空间表达式:,的情形,取状态变量,即,2020/6/26,化为能控标准型,2.2.2 根据高阶微分方程求状态空间表达式
12、:,的情形,取状态变量,即,2020/6/26,则有:,写成矩阵形式:,2020/6/26,其中:,称为友矩阵。,能控标准型,2020/6/26,例2.2.3 考虑系统,试写出其能控标准型状态空间表达式。,2020/6/26,例2.2.3 考虑系统,试写出其能控标准型状态空间表达式。,解:选择状态变量:,2020/6/26,例2.2.3 考虑系统,试写出其能控标准型状态空间表达式。,解:选择状态变量:,则状态空间表达式为:,2020/6/26,例2.2.3 考虑系统,试写出其能控标准型状态空间表达式。,解:选择状态变量:,则状态空间表达式为:,2020/6/26,化为能观测标准型,取状态变量:
13、,2020/6/26,整理得:,2020/6/26,则得能观标准型状态空间表达式,2020/6/26,的情形,2020/6/26,的情形,Step 1. 计算,2020/6/26,Step 2. 定义状态变量,2020/6/26,Step 3. 写成矩阵形式的状态空间表达式,2020/6/26,2.2.3. 根据传递函数求状态空间表达式:,2020/6/26,2.2.3. 根据传递函数求状态空间表达式:,(1) 直接分解法,2020/6/26,2.2.3. 根据传递函数求状态空间表达式:,(1) 直接分解法,单输入单输出线性定常系统传递函数:,2020/6/26,2.2.3. 根据传递函数求状
14、态空间表达式:,(1) 直接分解法,单输入单输出线性定常系统传递函数:,2020/6/26,2.2.3. 根据传递函数求状态空间表达式:,(1) 直接分解法,单输入单输出线性定常系统传递函数:,2020/6/26,2.2.3. 根据传递函数求状态空间表达式:,(1) 直接分解法,单输入单输出线性定常系统传递函数:,2020/6/26,输出为:,2020/6/26,输出为:,令:,2020/6/26,输出为:,令:,则有:,2020/6/26,的拉氏变换,则系统的状态空间表达式为:,令,分别表示,2020/6/26,(2) 并联分解法,2020/6/26,(2) 并联分解法,极点两两相异时,20
15、20/6/26,(2) 并联分解法,极点两两相异时,2020/6/26,(2) 并联分解法,极点两两相异时,其中:,2020/6/26,(2) 并联分解法,极点两两相异时,其中:,令:,2020/6/26,2020/6/26,则有:,2020/6/26,则有:,2020/6/26,则有:,则有:,2020/6/26,系统的矩阵式表达:,2020/6/26,2.3 传递函数(矩阵),2020/6/26,2.3 传递函数(矩阵),2.3.1 SISO系统,2020/6/26,2.3 传递函数(矩阵),2.3.1 SISO系统,2020/6/26,2.3 传递函数(矩阵),2.3.1 SISO系统,2020/6/26,2.3 传递函数(矩阵),2.3.1 SISO系统,2020/6/26,2.3 传递函数(矩阵),2.3.1 SISO系统,取拉氏变换得:,2020/6/26,2.3 传递函数(矩阵),2.3.1 SISO系统,取拉氏变换得:,A的特征值即为系统的极点。,2020/6/26,2.3.2 MIMO系统,2020/6/26,2.3.2 MIMO系统,其中:,2020/6/26,2.3.2 MIMO系统,其中:,2020/6/26,2020/6/26,2.4 组合系统,2020/6/26,2.4 组合系统,2.