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1、2014年湖北省高考数学理科试题及解析(全部题目)2014年湖北省高考数学理科试题及解析1. 为虚数单位，A. 1 B.1 C. D. 【解题提示】利用复数的运算法则进行计算【解析】选A. 2.若二项式的展开式中的系数是84，则实数A. 2 B. C.1 D.【解题提示】 考查二项式定理的通项公式【解析】选C. 因为 ，令，得，所以，解得a1.3.设为全集，是集合，则“存在集合使得”是“”的A. 充分而不必要的条件B. 必要而不充分的条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要的条件【解题提示】考查集合与集合的关系，充分条件与必要条件的判断 【解析】选C. 依题意，若，则，当，可得；若，不妨另
2、 ，显然满足，故满足条件的集合 是存在的.4.根据如下样本数据x345678y4.02.5-0.50.5-2.0-3.0得到的回归方程为，则A. B. C. D.【解题提示】 考查根据已知样本数判绘制散点图，由散点图判断线性回归方程中的与的符号问题【解析】选B. 画出散点图如图所示，y的值大致随x的增加而减小，因而两个变量呈负相关，所以，5.在如图所示的空间直角坐标系中，一个四面体的顶点坐标分别是（0,0,2），（2,2,0），（1,2，1），（2,2,2），给出编号、的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为A.和 B.和 C. 和 D.和 【解题提示】 考查由已知条件，在空间坐标系中作出几
3、何体的大致形状，进一步得到正视图与俯视图【解析】选D. 在坐标系中标出已知的四个点，根据三视图的画图规则判断三棱锥的正视图为与俯视图为，故选D.6.若函数， 满足，则称，为区间-1,1 上的一组正交函数，给出三组函数：；其中为区间的正交函数的组数是（ ）A.0 B.1 C.2 D.3【解题提示】 考查微积分基本定理的运用【解析】选C. 对，则、为区间上的正交函数；对，则、不为区间上的正交函数；对，则、为区间上的正交函数.所以满足条件的正交函数有2组.7.由不等式确定的平面区域记为，不等式，确定的平面区域记为，在中随机取一点，则该点恰好在内的概率为（ ）A. B. C. D.【解题提示】 首先根
4、据给出的不等式组表示出平面区域，然后利用面积型的几何概型公式求解【解析】选D. 依题意，不等式组表示的平面区域如图，由几何概型概率公式知，该点落在内的概率为.8.算数书竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，另相乘也。又以高乘之，三十六成一。该术相当于给出了有圆锥的底面周长与高，计算其体积的近似公式它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率近似取为3.那么近似公式相当于将圆锥体积公式中的近似取为（ ）A. B. C. D.【解题提示】 考查圆锥的体积公式以及学生的阅读理解能力。根据近似公式，建立方程，即可求得结论【解析】选B
5、. 设圆锥底面圆的半径为，高为，依题意，所以，即的近似值为9.已知是椭圆和双曲线的公共焦点，是他们的一个公共点，且,则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（ ）A. B. C.3 D.2【解题提示】 椭圆、双曲线的定义与性质，余弦定理及用基本不等式求最值【解析】选A. 设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为（），半焦距为，由椭圆、双曲线的定义得，所以，因为，由余弦定理得，所以，即，所以，利用基本不等式可求得椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为.10.已知函数是定义在上的奇函数，当时，若，则实数的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【解题提示】 考查函数的奇函数的性质、分段函数、最值
6、及恒成立【解析】选B. 依题意，当时，作图可知，的最小值为，因为函数为奇函数，所以当时的最大值为，因为对任意实数都有，所以，解得，故实数的取值范围是.11.设向量，若，则实数_.【解析】因为，因为，所以，解得答案：【误区警示】 解题时要明确知道的充要条件是，不要与向量平行的充要条件弄混。12.直线和将单位圆分成长度相等的四段弧，则_.【解析】依题意，圆心到两条直线的距离相等，且每段弧的长度都是圆周的，圆心到的距离为，圆心到的距离为，即，所以，故.答案：2【误区警示】 解答本题时容易出现的问题是不能把“将单位圆分成长度相等的四段弧” 用数学语言表示出来。13.设是一个各位数字都不是0且没有重复数
7、字的三位数.将组成的3个数字按从小到大排成的三位数记为，按从大到小排成的三位数记为（例如，则，）.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，任意输入一个，输出的结果_. 【解析】当，则；当，则；当，则；当，则，终止循环，故输出答案：495【误区警示】 解答本题时易犯的错误是循环计算 时出现计算错误14.设是定义在上的函数，且，对任意，若经过点的直线与轴的交点为，则称为关于函数的平均数，记为，例如，当时，可得，即为的算术平均数.（1） 当时，为的几何平均数；（2） 当时，为的调和平均数；（以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可）【解析】：（1）设，（x0），则经过点、的直线方程为，令y=0，求得
8、 ，当，（x0）时，为a，b的几何平均数（2）设，则经过点，的直线方程为，令，所以，所以当时，为的调和平均数答案：（1）（2） 【误区警示】 解答本题时容易出现的错误是不能正确理解新定义 15.（选修4-1：几何证明选讲）如图，为外一点，过作的两条切线，切点分别为，过的中点作割线交于两点，若则. 【解析】由切割线定理得，所以，.答案：4【误区警示】解答本题时容易出现的问题是错误使用切割线定理。16.（选修4-4：坐标系与参数方程）已知曲线的参数方程是，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程是，则与交点的直角坐标为_.【解析】由消去得，由得，解方程组得与的交点坐标为.答
9、案：【误区警示】解答本题时容易出现的问题是消去中的参数时出现错误。17.某实验室一天的温度（单位：）随时间（单位;h）的变化近似满足函数关系： (1) 求实验室这一天的最大温差；(2) 若要求实验室温度不高于11，则在哪段时间实验室需要降温？【解题指南】（）将化为y=Asinx+b的形式，可求得只一天的温度最大值和最小值，进而求得最大温差。（）由题意可得，当f（t）11时，需要降温，由f（t）11，求得，即，解得t的范围，可得结论 【解析】（）因为又当时，；当时，。于是在0,24)上取得最大值12，取得最小值8.故实验室这一天最高温度为12，最低温度为8，最大温差为4。（）依题意，当时实验室需
10、要降温由（1）得，故有 即。又，因此，即。在10时至18时实验室需要降温。18.已知等差数列满足： 2，且 成等比数列.（1） 求数列的通项公式.（2） 记 为数列的前 项和，是否存在正整数，使得若存在，求的最小值；若不存在，说明理由.【解题指南】（）由，成等比数列可求得公差d,从而根据通项公式表示出数列的通项；（）根据的通项公式表示出的前n项和公式Sn,令，解此不等式。 【解析】（1）设数列的公差为，依题意，成等比数列，故有化简得，解得或当时，当时，从而得数列的通项公式为或。（2）当时，。显然此时不存在正整数，使得成立。当时，令，即，解得或（舍去），此时存在正整数，使得成立，的最小值为41。
11、综上，当时，不存在满足题意的；当时，存在满足题意的，其最小值为41。19.如图，在棱长为2的正方体中，分别是棱的中点，点分别在棱,上移动，且.（1） 当时，证明：直线 平面;（2） 是否存在，使平面与面所成的二面角为直二面角？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.【解题指南】（）建立坐标系，求出，可得BC1FP，利用线面平行的判定定理，可以证明直线BC1平面EFPQ；（）求出平面EFPQ的一个法向量、平面MNPQ的一个法向量，利用面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角，建立方程，即可得出结论 【解析】以为原点，射线分别为轴的正半轴建立空间直角坐标系。由已知得（）证明：当时，因为，所以，即
12、而，且，故直线 平面。（）设平面的一个法向量为，则由可得，于是可取同理可得平面的一个法向量为若存在，使得平面与面所成的二面角为直二面角，则，即解得故存在，使平面与面所成的二面角为直二面角。20.计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站，过去50年的水文资料显示，水库年入流量(年入流量：一年内上游来水与库区降水之和.单位：亿立方米）都在40以上.其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年.将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立.(1) 求未来4年中，至多1年的年入流量超过120的概率；(2) 水电站希望安装的
13、发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量限制，并有如下关系：年入流量X发电机最多可运行台数123若某台发电机运行，则该台年利润为5000万元；若某台发电机未运行，则该台年亏损800万，欲使水电站年利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？【解题指南】（）先求出年入流量X的概率，根据二项分布，求出未来4年中，至少有1年的年入流量超过120的概率；（）分三种情况进行讨论，分别求出一台，两台，三台的数学期望，比较即可得到 【解析】（）依题意，由二项分布，在未来4年中至多有一年的年入流量超过120的概率为（）记水电站年总利润为（1） 安装1台发电机的情形由于水库年入流量总大于40，故一台发电机运行的概率为1，对应的年利润， （2）安装2台发电机的情形依题意，当时，一台发电机运行，此时，因此；当时，两台发电机运行，此时，因此；由此得的分布列如下Y420010000P0.20.8所以，。（3）安装3台发电机的情形依题意，当时，一台发电机运行，此时，因此；当时，两台发电机运行，此时，因此；当时，两台发电机运行，此时，因此由此得的分布列如下Y3400820015000P0.20.70.1所以，。综上，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机2台。21. 在平面直角坐标系中，点M到点的距离比它到轴的
