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1、 0 引言 为了利用矩阵研究线性变换, 希望能找到线性空间的基使线性变换在该基下的矩阵具有最简单的形式, 因此我们引进了特征值与特征向量. 特征值与特征向量在线性变换中起着举足轻重的作用, 充分利用特征值与特征向量的命题与性质对我们解题带来极大的帮助, 能使复杂的问题变的简单, 化简为易, 化繁为简. 本文就矩阵的特征值与特征向量在一些解题中的应用作了初步的探讨. 1. 关于矩阵的特征值与特征向量的一般理论我们知道, 在有限维线性空间中, 取了一组基之后, 线性变换就可以用矩阵来表示. 为了利用矩阵来研究线性变换, 对于每个给定的线性变换, 我们希望能找到一组基使得它的矩阵具有最简单的形式.
2、从现在开始, 我们主要的来讨论, 在适当的选择基之后, 一个线性变换的矩阵可以化成什么样的简单形式. 为了这个目的, 先介绍特征值和特征向量的概念, 它们对于线性变换的研究具有基本的重要性 定义1.1 设是数域上的一个阶方阵,若存在一个数以及一个非零维列向量,使得 则称是矩阵的一个特征值,向量称为矩阵关于特征值的特征向量 定义1.2 设是数域上一级矩阵, 是一个文字. 矩阵的行列式，称为的特征多项式, 这是数域上的一个次多项式. 设是维线性空间上的一个线性变换，求解的特征值与特征向量的方法可以分成一下三几步：1) 在线性空间中取一组基, 写出在这组基下的矩阵;2) 求出的特征多项式在数域中全部
3、的根, 它们也就是线性变换的全部特征值;3) 对于的每个特征值求其次线性方程组的一组基础解系： 于是的属于的全部特征值组成的集合是 例1 设是数域上3维线性空间，是上的一个线性变换，它在在的一个基，下的矩阵是 ，求的全部特征值与特征向量.解: 因为特征多项式为 所以的全部特征值3（二重），-6 对于特征值3，解齐次线性方程组， 得到一个基础解系：， 因此，的属于3的两个线性无关的特征向量就是，而的属于3的全部特征向量就是 . 对于特征值-6代入, 求出的一个基础解系： .因此, 的属于特征值-6的一个线性无关的特征向量就是 ，而的属于特征值-6的全部特征向量是 . 例2 设是复数域上维线性空间
4、上的一个线性变换，它在的一个基下的矩阵A是 ,求的特征值和特征向量.解 ：令下面用数学归纳法求解当时， 假设对于上述形式的阶行列式，有 对于阶行列式，把它第1行展开，得 根据数学归纳法原理，此命题对一切自然数都成立.故 即为的特征多项式. 设 是的全部复根. 对于，有 因此 ()是的属于特征值的一个特征向量. 由于 而，因此. 从而齐次线性方程组的解空间的维数为. 于是的属于特征值的所有特征向量组成的集合是 从而的属于特征值的全部特征向量是 () 例2 在空间（n1)中(为实数域), 求微分运算 的 特征多项式，并证明：在任何一组基下的矩阵不可能是对角矩阵. 证：在中取一组基 微分运算在此基下
5、的矩阵为的特征多项式是 从而的特征多项式为.因此的特征值为. 又的对应特征值0的奇次线性方程组的系数矩阵的秩为n-1,从而基础解系只含一个向量.它小于的维数n(n1),故不可能同任何对角矩阵相似.所以微分运算在任何基下的矩阵都不可能是对角形. 2矩阵特征值与特征向量的五个应用 2.1特征值与特征向量判断线性变换可对角化的应用 定义2.1.1如果中存在一个基，使得线性变换在这个基下的的矩阵是对角矩阵，那么可对角化.由于线性变换在的不同基下的矩阵是相似的，因此线性变换可对角化当且仅当在的基下的矩阵可对角.定理2.1.1域上n维线性空间上线性变换可对角化当且仅当有n个线性无关的特征向量，此时在基下的
6、矩阵A为 其中是所属的特征值（即）， 矩阵A称为线性变换的标准形，除了主对角线上元素的排列次序外，的标准形是有唯一决定的. 推论2.1.1 域上n维线性空间上线性变换可对角化当且仅当中存在由的特征向量组成的一个基. 定义2.1.2设是域上线性空间上的一个线性变换，是的一个特征值，令 .易验证 是的一个子空间，称是的属于特征值的特征子空间. 中全部非零向量就是的属于特征值的全部特征向量. 由于 因此 即线性变换的属于特征值的特征子空间等于线性变换 的核.设是域上维线性空间，上线性变换在的一个基下的矩阵为A,是的一个特征值. 设是到的一个同构映射，它把中向量对应于它在基下的坐标，则等于元齐次线性方
7、程组的解空间，即矩阵的属于特征值的特征子空间. 于是 . 定理2.1.2设是域上维线性空间上的一个线性变换，则 可对角化 有个线性无关的特征向量 中存在由的特征向量组成的一个基 的属于不同特征值的特征子空间的维数之和等于 其中 是的所有不同的特征值.例3 设是复数域上维线性空间上的一个线性变换，它在的一个基下的矩阵A是 ,称它是Frobennis 矩阵. 求的特征多项式和属于特征值的全部特征向量；是否可对角化？ 令 情形1 两两不等. 此时从而的列向量组线性无关. 于是有个线性无关的特征向量，因此可对角化.此时 从而可对角化.情形2 中有相等的. 此时 从而线性相关. 这时没有个线性无关的特征
8、向量，因此不可对角化, 从而不可对角化.例4 设是数域上维线性空间上的对合变换（即满足），(1)证明有特征值，且它的特征值是1或-1. (2)判断是否可对角化；若可以对角化，请写出它的标准形. 解：设在的一个基下的矩阵是A，由，可得. 即是数域上的对合矩阵，设是对合矩阵的一个特征值，则有使从而 由于，因此，即 由于因此 即 当时，1是的特征值，-1不是； 当时，-1是的特征值，1不是； 当时，由于 因此 从而 从而1是的一个特征值.同理可证，-1是的一个特征值.(1) 从而，有特征值，且它的特征值是1或-1.(2) 设由于，因此 属于特征值1的特征子空间的维数为 属于特征值-1的特征子空间的维
9、数为 由于 因此可对角化. 的相似标准形为 从而可对角化，且它的相似标准形为 其中2.2 特征值与特征向量在确定可对角化矩阵的应用 当矩阵可对角化时，可根据的特征值和特征向量来确定它的元素. 例5 设3阶方阵的特征值对应的特征向量分别是 求.分析：此题给了3阶矩阵的3个不相同的特征值及其对应的特征向量，那么矩阵可对角化，显然可用的特征值和特征向量来确定它的元素.解：由是方阵对应于特征值 的特征向量，于是令 ，则 ， 其中 由上式可得： 即为所求. 2.3特征值与特征向量在n阶矩阵的高次幂的求解中的应用 当n阶矩阵可对角化时，即矩阵可与对角阵相似时，可应用矩阵的特征值与特征向量计算其高次幂，且比
10、较简单.当n阶矩阵满足下面的四个条件之一时，即可对角化,即n阶矩阵有n个线性无关的特征向量.n阶矩阵有n个互不相等的特征值. n阶矩阵的每个特征值的几何重数等于其代数重数. 为是对称矩阵. 对于其中是的n个互不相等的特征值，是的属于特征值的特征向量 例6 已知矩阵 ，求（其中）.分析：矩阵的高次幂的求解一般是有技巧的，这里因为矩阵为实对称矩阵，故可对角化. 可按上面讨论的方法求之.解 因为所以矩阵为实对称矩阵，故可对角化为. 故的特征值为 当时，解齐次线性方程求出一个基础解系： 当时，可求的一个基础解系： 令 则 则 于是 2.4 特征值与特征向量在求一些特殊数列通项公式的应用 由一些特殊数列
11、的递推公式，构造关系矩阵，并列出递推关系，当关系矩阵可对角化时，可利用的特征值与特征向量求解这些数列的通项公式.例7 斐波那契（Fibonacci）数列是 它满足下列递推公式： 以及初始条件 求Fibonacci数列的通项公式，并且求 解 由 可得 令 上式可写成 又由 所以 于是求Fibonacci数列的通项公式就只要去计算.可利用的相似标准形来求简化的计算. 于是的特征值为从而可对角化. 对于特征值，解奇次线性方程组求出一个基础解系： 对于特征值，可求出的一个基础解系： 令 则 从而 由于 因此 即为Fibonacci数列的通项公式. 于是 例8已知 其中 设已知，求 解 由题可得 令 则 下面求. 因此的全部特征值是从而可对角化. 对于特征值1，解奇次线性方程组得到它的一个基础解系： 对于特征值解齐次线性方
