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1、用心 爱心 专心 高一数学向量、向量的加法与减法高一数学向量、向量的加法与减法人教版人教版 【同步教育信息同步教育信息】 一. 本周教学内容： 向量、向量的加法与减法 二. 重点、难点： 1. 向量的概念。 2. 向量的加法与减法的定义。 3. 会用加法与减法的平行四边形法则和三角形法则作出向量的和与差。 【典型例题典型例题】 例 1 以下命题中真命题的个数是（ ） （1）0 aa （2）00a （3）aa0 （4）向量与向量平行，则、的方向相同或相反。abab A. 0B. 1C. 2D. 3 解：解： （1）假命题。因为两向量之差仍为向量，所以应。0 aa （2）假命题。因为实数与向量的积
2、是向量，所以应有。00a （3）真命题。aaa)(00 （4）假命题。若与中有一个为，则它的方向不确定。ab0 综上，应选择 B。 例 2 下列命题中假命题的个数是（ ） （1）向量与是共线向量，则 A、B、C、D 四点共线。ABCD （2）四边形 ABCD 是平行四边形的充要条件是。DCAB （3）四边形 ABCD 中，。DABCCDAB （4）若两非零向量， 与的方向相同或相反，则的方向必与或的方向相abba ab 同。 A. 1B. 2C. 3D. 4 解：解： （1）是假命题。共线向量是指平行向量，故与平行不一定 A、B、C、D 四ABCD 点共线。 （2）真命题。 （3）假命题，由
3、ABCD 为四边形，则有，故0DACDBCAB 。)(DABCCDAB （4）假命题。当时，的方向不确定。0baba 综上，应选择 C。 例 3 已知正方形 ABCD 的边长等于 1，求作向量cACbBCaAB, 和向量以及。cbacbacba 用心 爱心 专心 D A B C E b a 图 1 解：解：如图 1，由于ACBCABba 又由，延长 AC 至点 E，使得 CE=AC，则ACc AEcba 又如图 2，DBADABBCABba D A a B C b c c a - b F 图 2 过点 B 作，即，故ACBF cBF DFBFDBcba )( 如图 3，作，即。ACDG cDG
4、 D A a B C b c a - b G c 图 3 而，则baADABDBGBDGDBcba )( 例 4 设 P 是的重心，试证明：。ABC0PCPBPA A G B M P N C 证明：证明：如图设 M、N、P 分别是边 BC、AC、AB 的中点，由，ABCBMABAM CMACAM 用心 爱心 专心 则有)(2CMBMACABAM 又由 M 是 BC 中点，故，即0CMBM)( 2 1 ACABAM 同理可得，)( 2 1 BABCBN)( 2 1 CBCACG 故0)()()( 2 1 CBCABABCACABCGBNAM 又由点 P 是的重心ABC 则，AMAP 3 2 CG
5、CPBNBP 3 2 , 3 2 故)( 3 2 CGBNAMCPBPAP 又由，则0CGBNAM0CPBPAP 故0PCPBPA 例 5 试比较下列向量模的大小 （1）与；|ba |ba （2）与。|ba |ba 解：解： （1）分情况讨论 当、中至少有一个为时，=；ab0|ba |ba 当、均为非零向量时，若与同向，则=abab|ba |ba 若与异向，则ab|ba |ba 若与不共线，则ab|ba |ba （2） 当与中至少有一个为时，则ab0|baba 当与均为非零向量时，根据向量加减法的平行四边形法则可知，与ab|ba 是以、为边的平行四边形的两条对角线的长，如图分三种情况讨论，设|
6、ba | a|b 与的夹角为。ab D A B C b a - b a + b a D AB C a - b a + b a b D C AB a + b a - b 图 1 图 2 图 3 若，如图 1，则有900|baba 若，如图 2，则有 90|baba 若，如图 3，则有18090|baba 例 6 设点 G 为四边形 ABCD 对角线的中点连线 MN 的中点，点 P 为该平面内任意一点， 证明。PDPCPBPAPG4 用心 爱心 专心 D C A P B M GN 证明：证明：如图所示，设四边形 ABCD 的对角线 AC、BD 中点分别为 M、N 由 PM 为的中线，故APC )(
7、 2 1 PCPAPM 同理可知)( 2 1 PDPBPN 又由 G 为 MN 中点，则有)( 2 1 PNPMPG )( 4 1 PDPCPBPA 即PDPCPBPAPG4 特别地，当 P 与 G 重合时可以得到 0GDGCGBGA 【模拟试题模拟试题】 一. 选择题： 1. 下列命题中正确的个数为（ ） （1）若向量与共线，与共线，则向量与共线abbcac （2）共线的单位向量都相等 （3）向量与反向，则向量与的方向相同ab|ba ba a （4）向量与不共线，则、均为非零向量abab A. 1 个B. 2 个C. 3 个D. 4 个 2. 平行四边形 ABCD 中，等于（ ）ADCDBC
8、 A. B. C. D. BDABACBA 3. 非零向量、不共线，且，则向量与的关系是（ ）ab|ba abab A. 平行B. 垂直C. 相交但不垂直D. 相等 4. 已知的三个顶点 A、B、C 及平面内一点 P，若，则点ABCABPCPBPA P 与的位置关系是（ ）ABC A. P 在内部ABC B. P 在外部ABC C. P 在 AB 边上或它的延长线上 D. P 在 AC 边上且为 AC 的一个三等分点 二. 填空题 用心 爱心 专心 5. 已知 AD、BE 分别是的边 BC、AC 上的中线，且，则ABCbBEaAD , 。BC 6. 点 P 为四边形 ABCD 内部一点，点 E
9、、F 分cPCbPBaPA,dPD 别为 AB、CD 的中点，则 。EF 三. 证明题： 7. 任意四边形 ABCD 的边 AD、BC 的中点分别为 E、F，求证：。)( 2 1 DCABEF 8. 用向量方法证明：四边形为平行四边形的充要条件是它的两条对角线互相平分。 用心 爱心 专心 【试题答案试题答案】 一. 1. B（析：（1）与（4）正确）2. D3. B4. D 二. 5. 6. ba 3 4 3 2 )( 2 1 badc 三. 7. 证法一：如图，则0AEBAFBEFEAABBFEF 同理，由，则0DECDFCEF EDDCCFEF 故EDEADCABCFBFEF2 由 E、F
10、 分别为 AD、BC 中点，则 ，0CFBF0 EDEA 故)( 2 1 DCABEF D C F B E A 证法二：如图，在平面内取点 O，作、，则有OEOF )( 2 1 ),( 2 1 OCOBOFODOAOE 又由OEOFEF )( 2 1 )( 2 1 DCABODOAOCOBEF D C F B E A O 证法三：如图，作，则四边形 ABGC 为平行四边形，故对角线 AG 过 BCABCG 用心 爱心 专心 中点 F，则 EF 为的中位线，故，又由，ADGDGEF 2 1 ABDCCGDCDG 所以)( 2 1 DCABEF D C F B E A G 8. 证明：先证充分性，若四边形对角线互相平分，如图OBDOOCAO, 则有，OBAOABAOOBOCDODC 故，则四边形 ABCD 为平行四边形DCAB 再证必要性，设 AC 中点为 O1，BD 中点 O2，在平行四边形 ABCD 中 ABBCBDBCABAC, 故，)( 2 1 2 1 1 BCABACAO)( 2 1 2 1 2 ABBCBDBO 则，)( 2 1 1 BCABAO)( 2 1 2 BCABBO O C D A B 由于，因此有ABBOAO 21 BOABAO 21 又由加法法则，故BOABAO 11 BOBO 21 故 O1与 O2重合
