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1、 毕业设计（论文） 毕 业 设 计（论文） 题 目：辅助函数在数学分析上的应用 学 院： 专业名称： 学 号： 学生姓名： 指导教师： 2014年 5月 5日辅助函数在数学分析中的应用摘 要函数思想自古以来就是数学界的经典思想，函数方法已经成为人们解决数学问题，尤其是难度较大的数学问题的重要工具辅助函数作为函数重要的一个分类，在数学分析中也有很大的应用本文详略得当地从可作为辅助函数的函数，辅助函数的构造方法和辅助函数在数学分析中的应用这三大块入手，着重介绍辅助函数法在数学分析中的运用，同时也会简略地描述辅助函数法的定义、辅助函数的一些常用构造方法与可作为辅助函数的函数，以求开拓对此类问题的解决
2、思路关键词 辅助函数，构造方法，数学分析中的应用Application of auxiliary function in mathematical analysis AbstractFunction thought since ancient times is the classical ideas of mathematics, a functional approach has become to solve mathematical problems, particularly important tool for difficult mathematical problems. A c
3、lassification of auxiliary functions as functions of the important, also has a lot of applications in mathematical analysis. This detail have local from can as auxiliary function of function, auxiliary function of constructed method and auxiliary function in mathematics analysis in the of applicatio
4、n this three chunks start, focuses on introduced auxiliary function law in mathematics analysis in the of using, while also will briefly to description auxiliary function law of defines, and auxiliary function of some common constructed method and can as auxiliary function of function, to pioneering
5、 on this class problem of settlement ideas. Keywords Auxiliary function, construction, application of mathematical analysis 目录1 引言11.1 研究意义11.2 辅助函数法的定义12 可作为辅助函数的函数22.1单调函数22.2 Lagrange函数23 辅助函数的构造方法53.1 几何法53.1.1 积分意义法53.1.2 三点定抛物线法63.2 原函数法73.3 微分方程法83.4 常数分离法94 辅助函数法在数学分析中的运用114.1 证明中值定理114.2 解决
6、有关不等式与等式的问题114.2.1 不等式的问题114.2.2 证明等式124.3 解方程及探讨方程的根125 结论14致谢15参考文献16 1 引言1.1 研究意义 在学习数学转化数学问题中，辅助函数法是的一种重要手段，特别在数学分析的学习和解题当中我们会经常遇到构造辅助函数来解决相关题目的方法通过构造辅助函数，我们求解的问题简单化，并且挖掘命题中的隐含条件使其具体化、明显化这就好像在生活中遇到阻碍，为了清除障碍，我们就会想到通过某种方式或者借助某种手段来克服障碍构造辅助函数法就是我们不对问题的本身进行求解，而是通过构造一个新的函数，此函数是与我们所求解的命题密切相关且相符的，之后从这个新
7、的函数的角度去观察、分析和解答所要求解问题作为数学类的相关专业的学生，在学习过程中，注重这种数学思想方法的学习和应用是必须的，如此不仅可以使我们的解题能力得以提高而且还可以提高我们的数学素质本文从在数学分析中的几类问题出发，介绍构造辅助函数的思想方法在解决相关问题当中的运用11.2 辅助函数法的定义 定义辅助函数法就是通过某种方式(或方法)构造恰当的函数，再利用此函数的某种（或几种）性质解决相关问题的方法注辅助函数的性质是运用辅助函数法解决问题的重中之重，应给予足够的重视例1已知函数，若，总有 成立，求实数的取值范围简解 首先构造辅助函数，且由题意可知函数为定义域内的严格单调递增函数，所以的导
8、函数大于等于零恒成立，再利用变参分离，即可求得实数的取值范围为若例1直接运用变参分离的方法进行求解，难度相对来说会比较大，但运用辅助函数法就可以轻易解决由此辅助函数的构造方向问题也就呈现了出来，寻找函数构造最恰当辅助函数，同时我们也要清楚该辅助函数的性质与功能2可作为辅助函数的函数2.1单调函数单调函数作为一种常见的函数，其中绝大部分都可以依据题意进行辅助函数的构造，通过题目给出的意思，进行移项或者作商等方法，得到辅助函数的单调性，从而得到问题的解题思路例2 设，证明：分析 对于关于两个常数的不等式，一般将其中一个常数转换成变量，再构造单调函数，利用辅助函数单调性的性质进行证明 证明 等价于
9、令 ，显然 ，又由于 得 ，所以 ，故2.2 Lagrange函数拉格朗日函数是力学系的特性函数，其明显的表现形式为，而在数学分析中其表现形式为一种多元函数，通过构造拉格朗日函数的方式，求其偏导函数得到驻点，从而找到极大（极小）值或者最大（最小）值4例3求椭圆的内接长方体的最大体积解 设椭圆内接长方体位于第一卦限的顶点坐标为，则 ，设 ，令 由 ，两式相除得 ；由 ，两式相除得 再将 ，代入 ，得 ，于是最大的体积为 不是任何函数都可以用来构造辅助函数，单调函数和拉格朗日函数都可以构造辅助函数来解决问题，当然还有部分可积函数、延拓函数等其它函数也可以构造成辅助函数，能够造成辅助函数的函数必须具
10、有其相应的性质或功能，这样才能使得问题得到解决3 辅助函数的构造方法要想进一步探究辅助函数法在数学分析中的运用，笔者认为应该明晰对怎样构造辅助函数这一问题如下将详略地介绍构造辅助函数的几种方法：3.1 几何法数学分析中，存在有些概念或命题具有特殊的集合意义例如函数在某点出的导数值为曲线对应点处切线的斜率，定积分的几何意义为曲边梯形的面积；罗尔定理的几何意义为曲线上至少存在一点处的切线平行于轴等对于这些问题，依据其集合意义构造函数，接着利用已有的知识便迎刃而解3.1.1 积分意义法例5 设函数在上连续，在内可导，且证明：存在唯一的使曲线与直线及所围成的面积是与直线及所围成的面积的三倍分析 利用定
11、积分知 因此，要证 ，可作辅助函数： ，用介值定理证明的存在性，用导数证明的存在性，用导数证明的唯一性证明 作，则 在上连续，由介值定理知，存在使 ，又在内可导，且 ，由 知，是的极小值点，即在上单调减少，而在上单调递增，故 且是唯一的3.1.2 三点定抛物线法一般地，过三点的二次抛物线的方程为： 对于含函数在二阶导数的问题，若知道函数在不同的三点处的值，便可利用“三点定抛物线”，另等于与抛物线纵坐标差值来解决例6 设在上二阶可导，且，证明存，使证明 过三点可做抛物线 ，令 ，则 ，且 ，在上对用罗尔定理，存在使得 ，在上对用罗尔定理得，存在使得，即 3.2 原函数法在利用微分中值定理求解介值（或零点）问题时，与证明的结论往往是某个函数的导函数的零点，因此可通过不定积分反求出原函数作为辅助函数具体步骤为8：（1)将欲证结论中的（或者）换成；（2）通过恒等变形，将结论化为易积分（或容易消除导数符号）的形式；（3）用观察法或凑微分法等方法示出原函数，为简便起见，可将积分常数去为零；（4）移项，使等式一边为零，则等式的另一边即为所需的辅助函数例7 设在上连续，在内可导，证明：在内必存在一点，使证明 将要证明结论中的换成，在变形为 ，则在上连续，在内可导，且 ，由罗尔定理知，存在，使得，即： 3.3 微分方程法所谓“微分方程法”，是指在遇到诸如
