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1、哈尔滨工业大学本科毕业设计（论文）第1章绪 论1.1 课题背景和意义弹性波是应力波的一种，扰动或外力作用引起的应力和应变在弹性介质中传递的形式。弹性介质中质点间存在着相互作用的弹性力。某一质点因受到扰动或外力的作用而离开平衡位置后，弹性恢复力使该质点发生振动，从而引起周围质点的位移和振动，于是振动就在弹性介质中传播，并伴随有能量的传递。在振动所到之处应力和应变就会发生变化。弹性波理论被广泛应用于地球物理和资源勘探、材料的无损探伤、工程结构的抗震抗爆、岩土动力学等领域。比如，利用不同介质中弹性波性质的变化，可以反演地层参数，获得地层信息；利用弹性波遇界面后的反射和折射等现象，可以探测材料中是否有
2、损伤情况。为了研究各种工程问题所涉及的弹性波问题，需要对这些问题中的弹性波传播进行数值模拟。由于弹性波在复杂介质结构中传播时的解析解，往往很难获得，这就需要利用有限差分、有限元、边界元等数值算法来实现。本文研究既有流体又有固体的复杂结构中弹性波传播的有限差分模拟问题。有限差分(Finite Difference, FD)是出现最早、发展最成熟的一种基于微分方程的数值算法，因其具有方法简单、概念清晰等特点被广泛应用于各种波场问题的数值分析。该方法的基本原理是1：将求解域划分为差分网格，用有限个网格节点代替连续的求解域，进而采用离散的代数形式的有限差分方程近似代替连续性的微分方程，在代数方程中将空
3、间各点待求量的值与其临近点的值联系起来。与有限元相比，在对弹性波传播问题的模拟方面，有限差分法更容易实现，而且计算效率明显更高。本文以声波测井为背景，用时域有限差分法模拟无限大固体空间中井孔内弹性波的传播。由于计算空间不能无限大，需要添加吸收边界，本文使用目前公认吸收效果最好的PML吸收边界条件来处理截断边界引起的波反射，并采用不分裂场量的PML设置方式。PML层是包围有限计算空间的、各向异性的薄层，它可以毫无反射地吸收入射波，并具有很高的耗散性。需要说明的是，尽管本文针对工程上的声波测井进行有限差分的数值模拟，所实现的算法和程序可以很方便地修改从而用于其它有关固体中弹性波传播的工程问题。1.
4、2 国内外研究现况传统的有限差分法主要用于求解标量问题，多用于求解电位场、温度场等分布问题，当然也能用于模拟声波、弹性波的传播问题2-5。为了更方便、直接地求解矢量波场问题，1966年Yee6设计了新的空间网格，同时求解电磁场所有分量，这种方法被称为时域有限差分(Finite Difference Time Domain, FDTD)方法。该方法对电磁场的电场和磁场分量在空间和时间上采取交替抽样的离散方式，每一个电场（或磁场）分量周围有四个磁场（或电场）分量环绕，应用这种离散方式将含时间变量的电磁场麦克斯韦旋度方程转化为差分格式，并在时间轴上逐步推进地求解空间电磁场。Yee提出的这种抽样方式后
5、来被称为Yee元胞。此后，这种抽样方式被移植到声波、弹性波模拟问题中，发展出了交错网格的速度-应力有限差分法(Velocity-Stress Finite Difference, VSFD) 7-11。在FDTD中，由于计算机存储量的限制，包含有限差分的网格必须是有限的，比如FDTD网格可以位于一个盒子内。为了使所求的解唯一，则必须在这一盒子的表面加上一定的边界条件。但在很多应用中，介质是无限延续的，在此情况下如果在盒子边界上加以边界条件就会引起反射，而在实际的物理过程中是不应该有这些反射的。因此，为了模拟无限大的介质，应在盒子的表面加以吸收边界条件(Absorbing boundary co
6、ndition, ABC)以消除反射。早期的ABC包括：单向波ABC，比如Clayton和Engquist12，Reynolds13等；海绵层ABC，比如Cerjan等14。尽管这些ABC成功应用在许多数值模拟问题中，但它们只在特定的入射角和频率范围内有效，且吸收效率不高。1994年，Berenger15 提出了在计算区域以外设置完全匹配层(Perfectly matched layer, PML)的概念,开辟了ABC研究的新方向，并获得巨大的成功。与上述ABC完全不同， PML利用非物理媒质构成计算区域的边界，并具有如下特性：平面波可以无反射地射入其中，并在内部按指数规律衰减。PML的吸收效
7、率比上述ABC高出几个数量级。上述PML的应用中，对PML区域中的场进行了裂化处理，以避免进行时域卷积计算，这导致PML与计算区域中的场量表达式不同，增加了计算的复杂性。Roden和Gedney22提出了一种非裂化的PML处理方法Convolution PML(CPML)，他们采用循环卷积的方法直接离散化卷积积分，使得PML与计算区域中的场量表达式具有相同形式，简化了计算；他们还将最初的复扩展坐标进行复频率转换(complex frequency shift, CFS)，变成更为复杂的形式，用以改善当波场零度角入射到PML时的吸收效果。Wang和Tang25采用类似文献22的方法，在柱坐标系下
8、进行了不分裂场PML的处理，并对固体介质中的随钻测井波进行了模拟，但是他们只采用了普通的扩展坐标函数。1.3 基本理论1.3.1物理模型 为了获取地层的基本信息，人们可以采取钻井的方法。通过分析接收来自人造声源的声波形式，人们可以确定地质信息。为能理论上取得有益的研究，这一类问题简化成无限大固体空间中有一个无限长的液体圆柱。而本文要处理的问题则是均匀各向同性的固体介质，在圆柱轴心某点放置一个人造声源。然后在需要的地方放上接收波的装置，声源不变的话，接收到波的形状可以反映地层的信息。1.3.2数学模型首先建立柱坐标系下的三维空间(r,z)，三个空间自变量，然后附加上时间自变量。实际上在数学意义上
9、，r、z、t的地位是一样的，即作为自变量它们相互间不可区分。但是物理中，只有空间自变量相互不可区分，而时间t的特殊性是什么我给不出终极的综述，正是这个不一般的自变量，导致了时域有限差分方法的存在。已经确定了所有的自变量，本问题中涉及的函数有r方向的，z方向的，三个正应力函数,一个切应力函数。只有六个函数的原因是：在所选取的柱坐标系下，各个函数关于z轴对称，因而实际上起作用的只有r、z、t。这种说明性的证明只能表明我无法严谨地证明为什么物理模型数学化后是这样的结果，这本不算什么，或许根本就是该类问题的一些基础假设。之所以会有这样的心态主要来自于别人的影响，比如权威们认为他们有这样权力指导下一代的
10、学者只要这么想就可以了，又比如后一代学者们懒于去争辩就按着前辈们的脚印一步步走远。面对这两方面的现象，我认为还没出现什么不妥，只要需要证明的有证明，可能它远在天涯，只要添加假设时清清楚楚透彻明白，可能它藏匿在海角，只要最基础的东西是真的被发现且流传着，某一天任意后的后人需要一个完整的证明时，可以拿出来，那么可以说今天的理论是帮助人类走向永远的真理，否则告诉我们理论中哪儿是不可被证明的，你们做不到的事，我能。我只是觉得大家是真得追求真理的一群人。在物理模型数学化过程中，我有许多不解，由于不可能知道权威们到底都添加了哪些假设，此部分的论述不会有创新性，所讨论的这方面问题不会因为作者的努力而有理论上
11、的进步。 以前从未想过应力函数是否可以包含时间自变量,数学上，包含之后只是多了一元而已，物理上就没法判断是否合理。自从接触应力函数以来，只以空间为自变量，定义时也没谈及时间自变量是否会参与，突然增加时间t，我无法证明这样做是否合理。判断其是否合理意味着是否它与其他结论相矛盾，在没有与事实对照前，不存在对错，因为理论中的另一隐含假设是基于物理和数学的假设，经过一番推导所得结果与事实相一致。这同样暗示，如果最终不一致，出错的是假设集合与推导过程。现在大家在做问题时都不考虑假设集合具体是什么样，怎样保证推导过程无失误，也不深入思考为何产生某个假设，从而不能减少假设的个数，这样一旦出错，只会陷入混沌的
12、猜测，准备效率很低。这不是一个不可解决的问题，大家只是意识不到这到底是一个什么样的现象。客观现象就是这样，它先被人们发现了成为脑中的认识，然后才有可能激发人去对它做些什么。纵然发现它的存在，或是看见了，但引不起联想，它就是存在而已。要做此等大手笔永恒基础的问题，需要集合现在人类几倍的数目才可能完成对客观世界与人类主观大脑有一个基本的了解。1.3.3时域有限差分 迭代是时域有限差分中蕴含的一个基本数学现象，在另一类问题的解决过程被称为数学归纳。对本问题，就涉及到将连续的定义域进行离散化，从而有可能凭借强大的计算能力获得有限区域的数值解。整个离散过程要有这样的证明，类似黎曼积分的定义，对任意的，最
13、大的单元格趋于无穷小时，数值解是否趋于某一常数。虽然我不能证明，但我需要清楚地知道使用到的基础假设是什么。离散的定义域才使迭代现象有可能发生。时间t在物理方面的特殊性使我们很容易这样猜测，并轻松地从物理角度理解：在任何时刻，空间每点都会有应力和速度值的存在；相反地，在某一空间坐标轴上的任意一点再往下我都无法思索了。因为一切函数最终都只是时间t的一元函数，这样说似乎又有不妥。时间和空间真是一件有趣的事情，我觉得大家在最基本的这件事上想错了，我会持续注意关于二者的理解。有一个事实可以得出，在某一时刻，空间里所有点的函数值是已知的。而差分之后的方程组如果是一种迭代，那么从那一时刻，如此迭代计算，整个
14、空间和从那之后的所有时间对应的应力和速度的函数值是已知的，从而得到数值解。事实上，即是时域有限差分法的一方面基本特征。本问题涉及到计算边界的选择，采用的是PML方法。添加经过调整参数的PML层可以无反射地让波通过，不影响内部空间的数值，并迅速衰减至零。关于这方面，我只能完全地站 前人肩膀远眺真理的海洋。1.4 本文主要研究内容本文以声波测井为背景，对有限差分法对弹性波的传播进行数值模拟展开研究。针对无限大的各向同性地层情况，在吸收边界方面使用不分裂的完全匹配层法。各章主要内容如下：第2章提出了模拟井外各向同性地层中轴对称声波测井响应的二维FDTD算法。使用了吸收效果最好的PML吸收边界条件来消
15、除由计算边界的截断带来的人工反射，并采用了不分裂场量的PML处理方式。第3章采用第2章的FDTD算法将不同频率和地层情况的FDTD模拟波形与实轴积分法进行比较，验证了FDTD算法的正确性，并对井外水平分层地层中声波测井响应进行了模拟。第2章 各向同性地层中声波测井的有限差分模拟2.1声波测井的简介声波测井是一种重要的测井方法，在油田勘探和开采、工程物探等许多领域有广泛的应用。声波测井使用的仪器有许多不同的种类，它们的共同特点是能够发射和接收声波。不同的仪器发射和接收不同类型的声波，达到不同的检测目的。现代的测井测量地层和井孔的许多不同的声学参数，结合电磁波、静电位和放射性其他测井方法，可以估计井外地层的性质，如地层孔隙度、含水饱和度、渗透率等，也可以分析地层应力，探测地层裂缝，还可以检测套管井中水泥胶结状态，评价固井质量。图2.1声波测井的示意图2.2固体介质中弹性波控制方程组的离散化均匀的固体介质中的弹性波分别满足如下的方程组 (2-1)和（2-2）， (2-1) (2-2)其中I是二阶单位张量，和是拉梅常数，是应力张量，v是速度向量，是密度，t是时间变量。针对测井问题，仍采用井轴为坐标轴的柱坐标系。只考虑关于井轴对称的模拟问题，所有场量都与坐标无关。数学模型图如下：井外固体介质声源 井内液体接收器 水平交界图2.2井
