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1、第 1 页 共 46 页 初中数学几何模型大全+ 经典题型（含答案） 全等变换 平移：平行等线段（平行四边形） 对称：角平分线或垂直或半角 旋转：相邻等线段绕公共顶点旋转 对称全等模型 说明：以角平分线为轴在角两边进行截长补短或者作边的垂线， 形成对称全等。两边进行边或者角的等量代换，产生联系。垂直 也可以做为轴进行对称全等。 第 2 页 共 46 页 对称半角模型 说明：上图依次是45 、 30 、 22.5 、 15 及有一个角是 30 直 角三角形的对称（翻折），翻折成正方形或者等腰直角三角形、 等边三角形、对称全等。 旋转全等模型 半角：有一个角含1/2 角及相邻线段 自旋转：有一对相
2、邻等线段，需要构造旋转全等 共旋转：有两对相邻等线段，直接寻找旋转全等 中点旋转：倍长中点相关线段转换成旋转全等问题 第 3 页 共 46 页 旋转半角模型 说明：旋转半角的特征是相邻等线段所成角含一个二分之一角， 通过旋转将另外两个和为二分之一的角拼接在一起，成对称全等。 自旋转模型 构造方法： 遇 60 度旋 60 度，造等边三角形 遇 90 度旋 90 度，造等腰直角 第 4 页 共 46 页 遇等腰旋顶点，造旋转全等 遇中点旋 180 度，造中心对称 第 5 页 共 46 页 共旋转模型 说明：旋转中所成的全等三角形，第三边所成的角是一个经常考 察的内容。通过“ 8”字模型可以证明。
3、模型变形 第 6 页 共 46 页 说明：模型变形主要是两个正多边形或者等腰三角形的夹角的变 化，另外是等腰直角三角形与正方形的混用。 第 7 页 共 46 页 当遇到复杂图形找不到旋转全等时，先找两个正多边形或者等腰 三角形的公共顶点， 围绕公共顶点找到两组相邻等线段，分组组 成三角形证全等。 中点旋转： 说明：两个正方形、 两个等腰直角三角形或者一个正方形一个等 腰直角三角形及两个图形顶点连线的中点，证明另外两个顶点与 中点所成图形为等腰直角三角形。证明方法是倍长所要证等腰直 角三角形的一直角边， 转化成要证明的等腰直角三角形和已知的 等腰直角三角形（或者正方形）公旋转顶点，通过证明旋转全
4、等 三角形证明倍长后的大三角形为等腰直角三角形从而得证。 第 8 页 共 46 页 几何最值模型 对称最值 (两点间线段最短 ) 对称最值 (点到直线垂线段最短) 第 9 页 共 46 页 说明：通过对称进行等量代换，转换成两点间距离及点到直线距 离。 旋转最值 (共线有最值 ) 说明：找到与所要求最值相关成三角形的两个定长线段，定长线 段的和为最大值，定长线段的差为最小值。 剪拼模型 第 10 页 共 46 页 三角形四边形 四边形四边形 说明：剪拼主要是通过中点的180 度旋转及平移改变图形的形 状。 第 11 页 共 46 页 矩形正方形 说明：通过射影定理找到正方形的边长，通过平移与旋
5、转完成形 状改变 第 12 页 共 46 页 正方形 + 等腰直角三角形正方形 面积等分 旋转相似模型 第 13 页 共 46 页 说明：两个等腰直角三角形成旋转全等，两个有一个角是300 角的直角三角形成旋转相似。 推广：两个任意相似三角形旋转成一定角度，成旋转相似。第三 边所成夹角符合旋转“8”字的规律。 相似模型 第 14 页 共 46 页 说明：注意边和角的对应， 相等线段或者相等比值在证明相似中 起到通过等量代换来构造相似三角形的作用。 说明：（ 1）三垂直到一线三等角的演变，三等角以30 度、45 度、 60 度形式出现的居多。 （2）内外角平分线定理到射影定理的演变，注意之间的相
6、同与 不同之处。另外，相似、射影定理、相交弦定理（可以推广到圆 第 15 页 共 46 页 幂定理）之间的比值可以转换成乘积，通过等线段、等比值、等 乘积进行代换，进行证明得到需要的结论。 说明：相似证明中最常用的辅助线是做平行，根据题目的条件或 者结论的比值来做相应的平行线。 第 16 页 共 46 页 第 17 页 共 46 页 第 18 页 共 46 页 第 19 页 共 46 页 第 20 页 共 46 页 第 21 页 共 46 页 第 22 页 共 46 页 初中数学经典几何题（附答案） 经典难题（一） 1、已知：如图， O 是半圆的圆心， C、E是圆上的两点， CD AB ，EF
7、AB ，EGCO 第 23 页 共 46 页 求证： CDGF （初二） 2、 已知：如图，P 是正方形 ABCD 内点， PAD PDA 15 0 求证：PBC 是正三角形（初二） 3、如图，已知四边形 ABCD 、A1B1C1D1都是正方形， A2、B2、 C2、D2分别是 AA1、BB1、CC1、DD1的中点 求证：四边形A2B2C2D2是正方形（初二） A P C D B A F G C E B OD 第 24 页 共 46 页 4、已知：如图，在四边形ABCD 中，AD BC，M 、N 分别是 AB 、CD 的中点，AD 、BC 的延长线交 MN于 E、F 求证：DEN F 经 典难
8、题（二） 1、已知：ABC 中，H 为垂心（各边高线的交点） ，O 为外心， 且 OM BC 于 M （1）求证： AH 2OM ； （2）若BAC 60 0，求证： AH AO （初二） D2 C2B2 A2 D1 C1 B1 CB DA A1 A N F E C D M B A D H E M C B O 第 25 页 共 46 页 2、设 MN 是圆 O 外一直线，过 O 作 OA MN 于 A，自 A 引 圆的两条直线， 交圆于 B、C 及 D、E，直线 EB 及 CD 分别交 MN 于 P、Q 求证： AP AQ （初二） 3、如果上题把直线MN 由圆外平移至圆内， 则由此可得以下命
9、 题： 设 MN是圆 O 的弦，过 MN的中点 A 任作两弦 BC、 DE，设 CD、EB 分别交 MN 于 P、Q 求证： AP AQ （初二） G A O D B E C QP NM O Q P B D E C N M A 第 26 页 共 46 页 P C G F BQ A D E 4、如图，分别以 ABC 的 AC 和 BC 为一边，在ABC 的外侧 作正方形 ACDE 和正方形 CBFG，点 P 是 EF 的中点 求证：点 P 到边 AB 的距离等于 AB 的一半（初二） 经 典难题（三） 1、如图，四边形ABCD 为正方形， DEAC，AEAC，AE 与 CD 相交于 F 求证：
10、CECF （初二） A F D E C B 第 27 页 共 46 页 2、如图，四边形ABCD 为正方形， DEAC ，且 CECA，直 线 EC 交 DA 延长线于 F 求证： AEAF （初二） 3、设 P 是正方形ABCD一边 BC 上的任一点， PFAP，CF 平分DCE 求证： PAPF （初二） 4、如图， PC 切圆 O 于 C，AC 为圆的直径， PEF 为圆的割线， AE、 AF 与直线 PO 相交于 B、 D 求证： AB DC， BCAD （初 D E DA C B F F EPC B A ODB A P 第 28 页 共 46 页 三） 经 典难题（四） 1、已知：A
11、BC 是正三角形， P 是三角形内一点， PA3，PB 4，PC5 求：APB 的度数（初二） 2、设 P 是平行四边形ABCD 内部的一点，且 PBA PDA 求证：PAB PCB （初二） 3、设 ABCD为圆内接凸四边形，求证：AB CD AD BC AC BD （初三） A P CB P A D C B C B D A 第 29 页 共 46 页 4、平行四边形ABCD 中，设 E、F 分别是 BC、AB 上的一点， AE 与 CF 相交于 P，且 AECF求证：DPA DPC （初二） 经 典难题（五） F P D E CB A 第 30 页 共 46 页 1、设 P 是边长为 1
12、的正ABC 内任一点， LPA PBPC， 求证：L2 2、已知： P 是边长为 1 的正方形 ABCD 内的一点，求 PAPB PC 的最小值 3、P 为正方形 ABCD 内的一点，并且PAa，PB2a ，PC 3a，求正方形的边长 A P CB A C B P D A C B P D 第 31 页 共 46 页 4、如图，ABC 中，ABC ACB 80 0 ，D、E 分别是 AB 、 AC 上的点，DCA 30 0 ，EBA 20 0 ，求BED 的度数 经 典难题（一） 1.如下图做GH AB, 连接 EO。由于 GOFE 四点共圆，所以 GFH OEG, 即 GHF OGE, 可 得
13、 EO GF = GO GH = CO CD ,又CO=EO ， 所 以 CD=GF 得证。 E D CB A 第 32 页 共 46 页 2. 如下图做DGC 使与ADP全等，可得PDG 为等边，从 而可得 DGC APD CGP,得出PC=AD=DC,和DCG= PCG 15 0 所以DCP=30 0 ，从而得出PBC 是正三角形 第 33 页 共 46 页 3.如下图连接 BC1和 AB1分别找其中点F,E.连接 C2F 与 A2E 并 延长相交于 Q 点， 连接 EB2并延长交 C2Q 于 H 点， 连接 FB2并延长交 A2Q 于 G 点， 由 A2E= 1 2A1B1= 1 2B1
14、C1= FB2 ，EB2= 1 2AB= 1 2BC=FC 1 ，又 GFQ+ Q=90 0 和 GEB2+ Q=90 0 ,所以GEB2= GFQ 又B2FC2= A2EB2， 可得B2FC2 A2EB2，所以 A2B2=B2C2， 又GFQ+ HB2F=90 0 和GFQ= EB2A2 , 从而可得A2B2 C2=90 0 ， 同理可得其他边垂直且相等， 从而得出四边形A2B2C2D2是正方形。 第 34 页 共 46 页 4.如下图连接 AC 并取其中点 Q，连接 QN 和 QM ，所以可得 QMF= F， QNM=DEN 和QMN= QNM ，从而得出 DEN F。 经 典难题（二）
15、1.(1) 延长 AD 到 F 连 BF，做 OGAF, 又F= ACB= BHD ， 可得 BH=BF, 从而可得 HD=DF ， 又 AH=GF+HG=GH+HD+DF+HG=2(GH+HD)=2OM (2) 连接 OB，OC,既得BOC=120 0 ， 从而可得BOM=60 0, 所以可得 OB=2OM=AH=AO, 得证。 第 35 页 共 46 页 3.作 OFCD，OG BE，连接 OP，OA ，OF，AF，OG，AG， OQ 。 由于 2 2 ADACCDFDFD ABAEBEBGBG =， 由此可得ADF ABG ，从而可得 AFC= AGE 。 又因为 PFOA 与 QGOA 四点共圆，可得 AFC= AOP 和 AGE= AOQ ， AOP= AOQ ，从而可得 AP=AQ 。 第 36 页 共 46 页 4.过 E,C,F 点分别作 AB 所在直线的高EG，CI，FH。可得 PQ= 2 EGFH+ 。 由 EGA AIC ， 可得 EG=AI ， 由 BFH CBI， 可得 FH=BI 。 从而可得 PQ= 2 AIBI+ = 2
