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1、第十二讲 数阵图把一些数字按照一定的要求，排成各种各样的图形，这类问题叫数阵图.数阵是一种由 幻方演变而来的数字图.数阵图的种类繁多，这里只向大家介绍三种数阵图，即封闭型数阵 图、辐射型数阵图和复合型数阵图.为了让同学们学会解数阵图的分析思考方法，我们举例说明.例1 将18这八个自然数分别填入下图中的八个内，使四边形每条边上的三个数之和都等于14，且数字1出现在四边形的一个顶点上.应如何填？分析为了叙述方便，先在各圆圈内填上字母，如上图（2）. 由条件得出以下四个算式：a+b+c=14（1） c+d+e=14 （2） e+f+g=14 （3）a+h+g=14 （4）由（1）+（3），得： a+
2、b+c+e+f+g=28，（a+b+c+d+e+f+g+h）-（d+h）=28， d+h=（1+2+3+4+5+6+7+8）-28=8，由（2）+（4），同样可得b+f=8，又1，2，3，4，5，6，7，8中有1+7=2+6=3+5=8.又1要出现在顶点上，d+h与b+f只能有2+6和3+5两种填法. 又 由 对 称 性 ， 不 妨 设 b=2，f=6，d=3，h=5. a，c，e，g可取到1，4，7，8若a=1，则c=14-（1+2）=11，不在1，4，7，8中，不行.若c=1，则a=14-（1+2）=11，不行. 若e=1，则c=14-（1+3）=10，不行. 若g=1，则a=8，c=4，
3、e=7.解：例1为封闭型数阵，由它的分析思考过程可以看出，确定各边顶点所应填的数为 封闭型数阵的解题突破口.例2 请你把17这七个自然数，分别填在下图（1）的圆圈内，使每条直线上的三个数的和都相等.应怎样填？分析为叙述方便，先在圆圈中标上字母，如上图（2）. 设a+b+e=a+c+f=a+d+g=k，则（a+b+e）+（a+c+f）+（a+d+g）=3k3a+b+c+d+e+f+g=3k 2a+（a+b+c+d+e+f+g）=3k 2a+（1+2+3+4+5+6+7）=3k2a+28=3ka为1、4或7.若a=1，则k=10，直线上另外两个数的和为9.在2、3、4、5、6、7中，2+7=3+6
4、=4+5=9，因此得到一个解为：a=1，b=2，c=3，d=4，e=7，f=6，g=5.若a=4，则k=12，直线上另外两个数的和为8.在1、2、3、5、6、7中，1+7=2+6=3+5=8，因此得到第二个解为：a=4，b=1，c=2，d=3，e=7，f=6，g=5.若a=7，则k=14，直线上另外两个数的和为7.在1、2、3、4、5、6中，1+6=2+5=3+4=7，因此得到第三个解为：a=7，b=1， c=2，d=3，e=6，f=5，g=4. 解：共得到三个解：如下图.例2为辐射型数阵图，填辐射型数阵图的关键在于确定中心数a和每条直线上几个圆圈 内数的和k.例3 如下图（1）所示，在每个小
5、圆圈内填上一个数，使得每一条直线上的三个数的和都等于大圆圈上三个数的和.分析为叙述方便，先在每个圆圈内标上字母，如图（2）. 则有a+4+9=a+b+c（1）b+8+9=a+b+c（2） c+17+9=a+b+c（3）（1）+（2）+（3） （a+b+c）+56=3（a+b+c） a+b+c=28则a=28-（4+9）=15 b=28-（8+9）=11 c=28-（17+9）=2解：见图.例4 请你将数字1、2、3、4、5、6、7填在下面图（1）所示的圆圈内，使得每个圆圈上的三个数之和与每条直线上的三个数之和相等.应怎样填？分析为了叙述方便，将各圆圈内先填上字母，如图（2）所示. 设A+B+C
6、=A+F+G=A+D+E=B+D+F=C+E+G=k（A+B+C）+（A+F+G）+（A+D+E）+（B+D+F）+（C+E+G）=5k， 3A+2B+2C+2D+2E+2F+2G=5k，2（A+B+C+D+E+F+G）+A=5k，2（1+2+3+4+5+6+7）+A=5k，56+A=5k.因为56+A为5的倍数，得A=4，进而推出k=12.因为在1、2、3、5、6、7中，1+5+6=7+3+2=12，不妨设B=1，F=5，D=6，则C=12-（4+1）=7，G=12-（4+5）=3，E=12-（4+6）=2.解：得到一个基本解为：（见图）例5 将116分别填入下图（1）中圆圈内，要求每个扇形
7、上四个数之和及中间正方形的四个数之和都为34，图中已填好八个数，请将其余的数填完.分析为了叙述方便，将圆圈内先填上字母，如图（2）所示. 9+15+a+c=34，5+10+e+g=34，7+14+b+d=34，11+8+f+h=34，c+d+e+f=34，化简得：a+c=10 4+6=10. e+g=19 3+16=19，6+13=19 b+d=13 1+12=13，f+h=15 2+13=15，3+12=15.a，b，c，d，e，f，g，h应分别从1，2，3，4，6，12，13，16中选取.因为a+c=10，所 以只能选a+c=4+6； b+d=13，只能选b+d=13；e+g=19，只能选
8、e+g=3+16；f+h=15，只能选f+h=2+13若d=1，c=4，则e+f=34-1-4=29，有e=16，f=13.若d=1，c=6，则e+f=34-1-6=27，那么e、f无值可取，使其和为27. 若d=12，c=4，则e+f=34-12-4=18，有e=16，f=2.若d=12，c=6，则e+f=34-12-6=16，有e=3，f=13. 解：共有三个解（见图）.习题十二1.如果把例1的条件改为“使四边形每条边上的三个数之和都等于12”，其他条件不 变，又应如何填？2.请在下图（1）中圆圈内填入19这九个数，其中6，8已填好，要求A、B、C、D四个小三角形边上各数字之和全都相等.3
9、.将110这十个数填入如上图（2）的圆圈内，使每个正方形的四个数字之和都等于23，应怎样填？4.右图是一部古怪的电话，中间的十二个键分别为四个圆形、四个椭圆形和四个正方 形.若想打电话，必须首先将112这十二个数填入其中，使四个椭圆、四个圆形、四个正 方形以及四条直线上的四个数之和都为26，假如你要打电话，那么你将怎样填数？5.请在下图的空格内填入146这四十六个自然数，使每一笔直线上各数之和都等于93. 应怎样填？6.把18这八个数字分别填入下图（1）中的圆圈内，使每个圆周上与每条直线上四个 数之和都相等，给出一种具体的填法.7.下图（2）中，内部四个交点上已填好数，请你在四周方格里填上适当的数，使交点 上的数恰好等于四周四个方格内的数的和.应怎样填？习题十二解答1.2.3.共有以上六个解.4.解不惟一.5.解不惟一.6.答案不惟一.7.答案不惟一.
